Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Глава 2.  Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

§1. Линейные операции над векторами.

Геометрический вектор                  - представитель                       Длина ( модуль ) 

Нулевой вектор                   

1. Сумма векторов                               

2. Умножение вектора  на вещественное число  k  - это вектор   

1)                2)  при  k>0            при  k<0          

Свойства. 1.    2.       3.        4.       

5.             разность               6.              7. 

Рекомендуемые материалы

8.                     9. 

          орт  (единичный вектор)

Система векторов    линейно зависимая, если     : 

Свойства.  1.  линейно зависимая    они коллинеарны.

2.   линейно зависимая    они компланарны.

§2. Базис и координаты вектора.

  - базис (на прямой),  

 - базис (на плоскости)  

 - базис (в пространстве)       (1)          Х₁,Х₂,Х₃ - координаты

(1) – разложение вектора по базису                              Разложения единственны (см. 9 и 11 кл.)

              

Прямоугольный базис             

  и ось l               - составляющая вектора по оси.           

Свойства проекции. 1.           2.          3.

§3. Декартова прямоугольная система координат.

( О, Е )      1) О – начало координат         2) прямоугольный базис 

Ox, Oy, Oz – координатные оси

 – радиус-вектор точки  М

Теорема.          Oxyz             

Свойства. Если ,  то

1.            2.        3.  

4. 

5. Если    и  ,  то   - деление отрезка в заданном отношении.

§4. Скалярное произведение векторов.

( a,b ) = a ^. b =

Свойства.

1. Если , то   f – острый   a ^. b>0     f – тупой   a ^. b<0     f – прямой   a ^. b=0  

2.              3.  a ^. b=b ^. a            4. (ka) ^. b = k(a,b)             5. (a + b) ^. c = a ^. c + b ^. c

Теорема. Если   а ( X₁, Y₁, Z₁ ), b (X₂, Y₂, Z₂ ) , то  a ^. b = X₁X₂+Y₁Y₂+Z₁Z₂

Следствия. 1.   

2. Условие перпендикулярности ( ортогональности) a,b     X₁X₂+Y₁Y₂+Z₁Z₂ = 0

3. 

§5. Направляющие косинусы вектора.

Oxyz              Углы с осями a,b,g       

                                

§6. Прямая на плоскости.

1. Ах + Ву + С = 0  -  общее уравнение прямой

2. А(х-х₀) + В(у-у₀) = 0   через точку М(х₀, у₀) перпендикулярно нормальному вектору   n(A,B)

3.       через точку М(х₀, у₀) параллельно направляющему вектору    q ( l, m )

4. y = kx + b      k – угловой коэффициент,     b – начальная ордината.    

5.       параметрические уравнения прямой     

6.       в отрезках

7.  x cosa + y cosb  – p = 0        нормальное уравнение

Формулы. 1.    

2.           3.      

Условие параллельности  k₁ = k₂             Условие перпендикулярности  k₁^.k₂ = -1

§7. Полярные координаты.

( О, р )            О – полюс        Луч р – полярная ось

Полярные координаты точки   - 2 числа: полярный радиус  r ( M ) =    и полярный угоп  f ( M )                  M ( r, f )                         - главное значение угла

                    полярные – декартовы прямоугольные

Уравнение кривой:  F ( r, f ) = 0   или  r = f ( f )   

        

Параметрические координаты   

§8. Плоскость в трехмерном пространстве.

Р       Oxyz

1.  Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение

2.  A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0  - уравнение плоскости, проходящей через точку  M(x₀,y₀,z₀)  перпендикулярно нормальному вектору 

3.   - уравнение плоскости в отрезках

4.  x^.cos a + y^.cos b + z^.cos g – p = 0     – нормальное уравнение плоскости.

Формулы. 1.  Плоскость, параллельная 2 векторам  a₁ (X₁, Y₁, Z₁),  a₂(X₂, Y₂, Z₂),  

                                        имеет нормальный вектор  n = 

2.  Косинус угла между плоскостями  A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0  и  A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 

                                                 

§9. Прямая в трехмерном пространстве.

1.    -  общие уравнения (пересечение двух плоскостей)

2.                               q – направляющий вектор прямой

параметрические уравнения

3.    - канонические уравнения

Формулы. 1.  Косинус угла между прямыми    и 

2. Синус угла между прямой   и плоскостью  

Ax + By + Cz + D = 0

                    

§10. Полезные формулы (для решения задач).

1.  Условие перпендикулярности двух плоскостей       A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

2.  Условие параллельности двух плоскостей      

3.  Условие перпендикулярности двух прямых   l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

4.  Условие параллельности двух прямых   

5.  Расстояние от точки   M(x₀,y₀,z₀)   до плоскости    Ax + By + Cz + D = 0

               

6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 

7. Если 3 точки A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃) не лежат на одной прямой, то уравнение определяемой ими плоскости                 

8. Условие перпендикулярности прямой и плоскости    

9. Условие параллельности прямой и плоскости     A l + B m + C n = 0

10.  Объем параллелепипеда с вершинами A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃), D(x₄,y₄,z₄) и ребрами AB, AC, AD                          

§11. Описание геометрических образов.

f ( x, y ) = 0                линия на плоскости

Неравенство  f ( x, y ) ≤ 0                          (  f ( x, y ) < 0  - исключая точки линии )

В трехмерном пространстве  f ( x, y, z ) = 0                поверхность

      линия

f ( x, y, z ) < 0                    f ( x, y, z ) > 0                       f ( x, y, z ) = 0             

   f ( y, z ) = 0           цилиндрическая  поверхность, параллельная Ох.

Линейные образы   

§12. Двумерная задача линейного программирования (транспортная).

3 дома, 2 бетономешалки (А, Б).     Ежедневно:  1-й дом – 16 машин, 2-й – 14, 3-й – 10.             А отправляет 25 машин, Б – 15. Стоимость доставки 1 машины – в таблице:

Требуется составить наиболее экономный план перевозок.         х:  А – 1,  у:  А – 2

Р = 3х + 4у + 6(25 – х – у) + 3(16 – х) + 5(14 – у) + 2(х + у - 15) = 238 – 4х – 5у

Вершины  многоугольника  (1,14),  (11, 14),  (16,9),  (16,0),  (15,0).

Линия уровня, проходящая через точку (10,10)    238 – 4х – 5у = 148   или   4х + 5у = 90.

Линия уровня, проходящая через точку (12,12)    238 – 4х – 5у = 130   или   4х + 5у = 108.

Таблица перевозок