Оценка параметров и выборочные распределения случайных переменных

1.11. Оценка параметров и выборочные распределения случайных переменных

Значение  является усреднённым отдельной выборки результатов наблюдений, которая имелась в распоряжении. Без дополнительного допущения мало, что ещё можно об этом сказать. Однако если результаты наблюдений рассматриваются как случайная выборка из некоторой их популяции со средним y и дисперсией s², то

1. Случайная величина  имеет своим средним среднее y исходной популяции,
2. Значения  варьируют около y со стандартным отклонением s/.

Таким образом, если размер выборки делается всё больше и больше, то получающиеся значения  стремятся всё ближе и ближе к y и являются его оценкой.

Подобным образом можно показать, что оценка s² имеет среднее значение s² и варьирует около этого значения также со стандартным отклонением пропорциональным 1/. Следовательно, на основании статистического допущения случайной выборки можно считать s² оценкой дисперсии s².

Проблема выбора наилучших статистик для оценки параметров является сложной и, как можно догадаться, в большой степени зависит от того, что значит наилучших. Важно помнить, что соответствующее случайной выборке допущение независимого и одинакового распределения наделяет оценки среднего и дисперсии специальными свойствами распределения.

Часто представляет интерес распределение суммы двух независимо распределённых случайных переменных y_А и y_В. Положим, что y_А имеет распределение со средним y_А и дисперсией s_А², а y_В имеет распределение со средним y_В и дисперсией s_В². Что можно сказать о распределении переменной y=y_А+y_В?

На этот вопрос можно снова ответить с использованием лотерейных барабанов, содержащих соответствующие популяции билетов А и В. Положим, что после каждого случайного извлечения из барабана А для получения значения у_А, другое случайное извлечение делается из барабана В для получения значения у_В, и их сумма у=у_А+у_В записывается на красном билете помещаемом в третий лотерейный барабан. После многих таких извлечений и суммирований, что можно сказать о распределении значений сумм, записанных на красных билетах в третьем лотерейном барабане?

Оказывается, что среднее значений переменной (y) равно сумме средних для y_А и y_В

Е(y)=Е(y_А+y_В)=Е(y_А)+Е(y_В)=y_А+y_В.

Рекомендуемые материалы

Далее можно показать, что при независимых извлечениях дисперсия суммы y=у_А+у_В равна сумме дисперсий случайных переменных y_А и y_В

D(y)=D(y_А+y_В)=s_А²+s_В².

Соответственно для разности двух случайных переменных y_А и y_В

Е(y)=Е(y_А–y_В)=Е(y_А)–Е(y_В)=y_А–y_В

Бесплатная лекция: "6 - Равномерное движение жидкости" также доступна.

и при независимых извлечениях дисперсия разности случайных переменных y_А и y_В

D(y_А–y_В)=D[y_А+(–y_В)]=s_А²+s_В²=D(y).

Результат для разности следует из результата для суммы, если записать –y_В=y'_В, то дисперсия конечно не изменится D(y_В)=D(y'_В), следовательно,

D(y_А–y_В)=D(y_А+y'_В)=s_А²+s_В².

Эти результаты для суммы и разности не зависят от форм исходных распределений случайных переменных y_А и y_В. В результате эффекта центрального предела распределения, как для суммы, так и для разности стремятся быть ближе к нормальному, чем исходные распределения. Тогда, если у_А и у_В являются независимыми извлечениями из одной и той же популяции с дисперсией s² или из разных популяций, имеющих одну и ту же дисперсию s², то дисперсии суммы и разности одинаковы, то есть,

D(y_А+y_В)=2s² и D(y_А–y_В)=2s².