- Равномерное движение жидкости

6. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ И ТРУБАХ

При равномерном напорном движении жидкости в трубах  (при турбулентном режиме) средняя скорость и расход определяются по формулам Шези

,

где С - кэффициент Шези () определяется по таблицам или эмпирическим формулам, в частности по формуле Маннинга

,

Пьезометрический уклон I_p в этих уравнениях представляет собой потерю напора, обусловленную трением, на единицу длины потока, т. е. .

Подставив последнее выражение в уравнение равномерного напорного движения и решая его относительно h_f , получим:

Рекомендуемые материалы

                                           

Обозначив

                                             С².w².R = K² ,

последнюю зависимость приведем к виду:

.

Это выражение называется водопроводной формулой, в которой:

- h_f  - потери напора на трение в трубе диаметром d и длиной L;

- Q - расход воды;

- K - модуль расхода (или расходная характеристика), .

Из уравнения для определения расхода следует, что

,

откуда видно, что размерность модуля расхода совпадает с размерностью расхода Q. Для случая напорного равномерного движения модуль расхода является функцией диаметра трубы и ее  шероховатости, так как

    где 

Расчет элементов сложного трубопровода

В случае последовательного соединения труб разного диаметра потери напора суммируются. Суммарная потеря напора должна быть равна разности пьезометрических высот в начале и в конце системы труб, или напору H = H₁ – H_{2 .}

При параллельном соединении труб потери напора в каждой ветви будут равны между собой. При определении суммарной потери напора потеря напора в параллельных ветвях учитывается один раз.

А. Последовательное соединение труб.

При последовательном соединении труб может иметь место два расчетных случая:

I случай, когда начальный расход Q проходит транзитом по всей системе без отвода воды в каких-либо точках (узлах) системы (пример простого трубопровода);

II случай, когда в отдельных узлах трубопровода отводится некоторый расход воды (пример сложного трубопровода). Поскольку методы расчета трубопровода для этих двух случаев имеют много общего, рассмотрим их в одном разделе данной главы.

1-ый случай.  Последовательное соединение труб без отвода воды в сторону.

Рассмотрим трубопровод, состоящий из труб разных диаметров d₁, d₂,и d₃ при длине участков, соответственно L₁, L₂ и L₃  (рис. 6.1). Пусть начальный и конечный напоры Н₁  и Н₂ известны,  а требуется определить величину расхода Q, проходящего транзитом по всей системе. Поскольку вода из системы никуда не отводится  (т.е. q_С = 0 и q_Д = 0) то Q₁ = Q₂ = Q₃ = Q . Общая потеря напора в трубопроводе будет складываться из потерь на отдельных участках 

h_f1 + h_f2 + h_f3 = h_f..

Последнее выражение с учетом водопроводной формулы можно переписать в виде 

.                                 (2 – 8)  

Отсюда нетрудно найти величину расхода Q .По вычисленному значению расхода определяются потери напора на отдельных участках водопровода h_f1, h_f2, h_f3, после чего строится пьезометрическая линия. Как видно из рис. 6.1 пьезометрическая  линия представляет собой ломаную линию. По графику на рис. 6.1, построенному в масштабе, легко найти величину напора H_M  в любой точке M трубопровода или определить величину напора h_fm, потерянного на длине L .

При расчете последовательного соединения труб могут возникнуть и другого рода задачи, в частности:

а) по определению начального H₁ или конечного H₂ напора при известных значениях расхода, длин и диаметров последовательно соединенных труб и одного из напоров (конечного или начального);

б) по определению одного  из диаметров труб в системе трубопроводов.

Первая задача решается преобразованием уравнёния (2 – 8) относительно неизвестной величины. Во второй задаче, как и для случая простого трубопровода одного диаметра, уравнение (2 – 8) решается относительно неизвестной величины К ,по которой подбирается ближайший большой стандартный диаметр трубы. Beличина расхода при этом регулируется задвижкой.

2-ой случай. Последовательное соединение труб с отводом воды в сторону

В этом случае расходы ,отводимые в точках С и Д, известны и больше нуля (т.е. q_С > 0, q_Д > 0).  Пусть требуется определить величину транзитных расходов Q₁, Q₂, Q₃ . Для решения такой задачи необходимо составить три уравнения.

Первое уравнение, называемое уравнением общей потери напора в  систе-ме получим, аналогично 1-му случаю, в следующем виде:

,

где  Н – действующий напор, определяемый по формуле  (2 – 6).

Недостающие уравнения подучим, исходя из рассмотрения расходов в системе. В сиду непрерывности потока жидкости и по условиям задачи

Q₁ = Q;      Q₂ = Q – q_С;       Q₃ = Q – (q_С + q_Д).

Подставив вьражения расходов Q₂ и Q₃  из уравнений расходов (2 – 10) в уравнение общей потери напора, систему  из трех   уравнений можем привести к одному уравнению в общем виде

Последнее уравнение содержит лишь одну неизвестную величину Q и решается относительно нее как квадратное уравнение. Найдя значение Q, по формулам  (2 – 10)  вычисляются  расходы  Q₂  и  Q₃ . Затем используя формулу (2 – 5), определяют потери напора на отдельных участках трубопровода (h_f1, h_f2, h_f3) и строят пьезометрическую линию.

Б. Параллельное соединение труб.

Задача по расчету параллельно-разветвленного трубопровода часто сводится к определению расходов и напоров в каждом участке трубопровода. Но в отдельных случаях могут возникать и другие задачи, в частности, по определению диаметра одного из участков трубопровода, а также напора в начале или в конце трубопровода. Прежде чем составлять расчетные уравнения, рассмотрим вопрос о потерях напора в параллельных ветвях. Для этого в точке С (рис. 6.2), где трубопровод разветвляется на две параллельные ветви (трубы диаметром d₂ и d₃  и длиной, соответственно, L₂ и L₃ ) и в точке D, где эти ветви соединяются, мысленно подключим пьезометры.

Обозначим напоры в точках C и D, соответственно через H_C  и H_D, а высоту положения этих точек относительно какой- либо плоскости сравнения (в частном случае  -  нивелировочные отметки)  через z_С  и z_Д. Тогда потеря напора (h_f) на пути от точки С до точки D будет равна

h_f  = z_C + H_C  z_Д – H_Д.                                                  

С другой стороны потери напора h_f2 и h_f3  в параллельных ветвях составят:

                             

Из  рис. 6.2  видно, что потери напора в параллельных ветвях одинаковы, т.е. h_f2 = h_f3 :

                               

Этот вывод, весьма важный для расчета параллельного соединения труб может быть распространен и на случай, когда число параллельных ветвей больше двух. В этом случае потери напора во всех трубах, соединенных параллельно одинаковы. Наконец выясним, как распределяется расход воды в точках разветвления или соединения ветвей. Применительно к схеме  приведенной на рис. 6.2, расходы, проходящие транзитом по системе, обозначим через Q₁, Q₂,  Q₃, Q₄, а расходы, отводимые в сторону из узловых точек C и D, через q_C и q_D. Жидкость, притекающая к узлу С с расходом Q₁, растекается по параллельным ветвям (трубам с диаметрами d₂ и d₃) с расходом, соответственно, Q₂ и Q₃  и частью отводится в сторону (если q_C > 0 ). Отсюда, уравнение распределения расходов жидкости для узла С:

Q₁ = Q₂ + Q₃  – q_C .

В точке D расход жидкости, идущей по параллельным трубам, суммируется, но из этого узла также отводится некоторый расход q_D. Поэтому уравнение распределения расходов для узла D можно записать в следующем виде:

Q₂ + Q₃ – q_D = Q₄ .

Очевидно, расход Q₄ можно выразить  и через расход Q₁ :

Q₄ = Q₁ – q_C – q_D .

При решении задач по определению расхода параллельно-разветвленного трубопровода число неизвестных расходов будет равно числу участков труб (по схеме на рис. 6.2 - четыре участка). Поэтому число уравнений, составляемых для такого трубопровода, должно быть равно числу участков. Все виды расчетных уравнений для параллельно-разветвленного трубопровода можно разделить на три группы:

I.   Уравнение общей потери напора в системе;

II.  Уравнения равенства потерь напора в  параллельных ветвях;

III. Уравнения распределения расходов в системе.

При составлении уравнения общей потери напора в системе следует учитывать ранее сделанный вывод о равенстве потерь напора в параллельных ветвях. Поэтому в уравнение общей потери напора следует включить лишь потерю напора в одной из параллельных ветвей данного разветвления. С учетом этих предварительных замечаний о распределении напоров и расходов в параллельных ветвях составим систему уравнений для расчета трубопровода, представленного на рис. 2 - 4, в наиболее общем случае, когда имеется отвод воды в сторону в точках С и D системы.

I.   Уравнение общей потери напора в системе:

.

II. Уравнение равенства потери напора в параллельных ветвях:

        

III. Уравнения распределения расходов в системе:

Таким образом мы получили замкнутую систему уравнений, достаточную для определения неизвестных расходов. При отсутствии отвода жидкости в определенных точках системы (q_C = 0, q_D = 0) уравнения упростятся.

По найденным значениям расходов, аналогично описанному выше, определяются потери напора в отдельных участках системы и строится пьезометрическая линия.

Пример 1.

1. Определить расход воды Q, вытекающий по заданной системе труб.

2. Построить линию падения напора.

Исходные данные:

Напор H = 10 м.

d₁ = 200 мм; l₁ = 400 м; d₂ = 100 мм; l₂ = 300 м; d₃ = 300 мм; l₃ = 600 м.

Решение

1. По таблице П2.1 (стр.95) определяем модули расхода

 м³/с;      м³/с;       м³/с.

2. Составляем уравнения

потерь напоров

;

;

расходов

3. Переписываем уравнения с учетом водопрводной формулы

;                               .

4. Из уравнений получаем

;,                   

где

.

5. Подставляем значение Q₃ из (4) в (1¢)

,

откуда

 м³/с.

35

Далее, получаем

 м³/с;

 м³/с.

6. Построение линии падения напора.

По водопроводной формуле вычисляем потери напора:

 м;

 м;

 м;

Проверка – подставляем найденные значения потерь напора в уравнения (1) и (2):

Уравнения удовлетворяются. В решении ошибок нет.

Построение линии падения напора показано на рисунке.

Расчет каналов

Гидравлический расчет каналов производится по формуле Шези с заменой пьезометрического уклона геометрическим уклоном дна канала

.

Для каналов трапецеидального профиля с заложением откосов m, шириной по дну b и глубиной наполнения h₀ площадь живого сечения w и смоченный периметр c определяются по формулам

;

.

Расход воды в канале определяется по формуле Шези; если требуется определить глубину наполнения канала или его ширину по дну при заданном расходе, задачу решают методом подбора.

В проектируемом канале значение средней скорости должно находится в определенных пределах в соответствии с неравенством

,

где:  v_max  –  максимальная  допустимая (неразмывающая) средняя

                      скорость  течения воды в канале;

        v_min - минимальная  допустимая  (незаиляющая)  средняя  ско-

                   рость   течения  воды  в  канале;   она   определяется  по

                  формуле

,

где e - эмпирический коэффициент, зависящий от крупности

            наносов (см. таблицу П2.7).

Пример 2.

Канал, отрытый в грунте, имеет постоянное по длине трапецеидальное сечение и уклон I₀. Ширина канала по дну b. Определить глубину наполнения канала при пропуске расхода Q. Произвести проверку канала на размыв и заиливание. При необходимости подобрать крепление стенок и дна канала.

Исходные данные:

- грунт дна и откосов –  суглинок плотный;

- ширина канала по дну –                 b = 6 м;

- заложение откосов канала  -          m = 1,5;

- расход воды в канале –            Q = 20 м³/с;

- уклон дна канала –                    I₀ = 0,0004;

- коэффициент шероховатости –  n = 0,025 (см. таблицу П2.5);

- наносы – мелкие.

Решение

1. Глубину наполнения канала определяем методом подбора в табличной форме:

По результатам расчетов для значений h₀ = 1,0, 1,5, 2,0 м строим график зависимости Q(h₀)_.  По графику находим, что Q = 20 м³ /с  при h₀ = 1,65 м. Расчет показывает, что при этом значении  h₀  расход Q = 19,5 @ 20 м³ /с. Окончательно принимаем h₀=1,65 м.

2. Производим проверку канала на размыв и заиливание.

Средняя скорость течения воды в канале

м/с.

По справочным данным находим, что максимальная допустимая скорость течения в каналах, отрытых в супесях и суглинках

 м/с.

Люди также интересуются этой лекцией: 2.5 Анализ качества САУ по переходной характеристике.

Верхний предел максимальной допустимой скорости 1,0 м/с относится к более тяжелым грунтам. Поэтому считаем скорость течения в канале v = 0,97 м/с для тяжелого суглинка допустимой. Крепление дна и стенок канала не требуется.

Минимальную допустимую скорость течения в канале определяем по формуле

 м/с,

где  значение  a  по  таблице  П2.7  для  мелких  наносов  равно 0,41 … 0,45, принимаем (в запас) максимальное знчение 0,45.

Значение скорости течения воды в канале 0,97 м/с превышает значение минимальной допустимой скорости течения. Заиливания канала не будет.