- Неравномерное движение жидкости

7. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ

Рассматривается неравномерное движение жидкости в призматических  руслах.   Призматическими называются такие  русла,  форма  и размеры поперечного сечения которых не изменяются по длине.

Свободная поверхность  потока  при неравномерном движении имеет криволинейное    очертание.    След    от    пересечения вертикальной плоскости,   проведенной   по   оси   потока   (в призматическом русле),  со свободной  поверхностью  называется кривой свободной  поверхности.

Примеры неравномерного движения:                                                          

а) движение   воды   в   верхнем   бьефе   водоподпорного сооружения (плотины) (рис. 1 – 1,а). Это движение характеризуется увеличением глубины потока  в  направлении   движения   жидкости.   Кривая свободной поверхности в этом случае называется кривой подпора.

б) движение воды в канале, уклон дна которого возрастает  (рис.1 – 1,б).

В этом   случае  глубина  потока  уменьшается  по  направлению движения жидкости,  кривая  свободной   поверхности   жидкости называется кривой спада.

Рекомендуемые материалы

Удельная энергия сечения потока

Вспомним, что удельной энергией потока называется сумма

.

Удельной энергией сечения потока по определению называется сумма

Удельная энергия потока вследствие потерь на трение  убывает вниз  по течению потока.  Удельная энергия сечения потока при равномерном движении остается для всех сечений постоянной, так как  при равномерном движении и скорость течения и глубина постоянны по длине потока. Т.о. если удельная энергия потока определяется относительно произвольно выбранной, но одной и той же для разных сечений, плоскости сравнения, удельная энергия сечения потока определяется относительно своей для каждого сечения плоскости сравнения, проходящей через нижнюю точку живого сечения (рис. 2 – 1 и 2 – 2).

Заменяя среднюю скорость течения v отношением расхода Q к площади  поперечного  сечения w и принимая a @ 1, получим следующее выражение для удельной энергии сечения потока:

Критическое, спокойное и бурное состояние потока

При постоянном расходе  Q   глубина потока h  может  быть различной, в зависимости от уклона дна I_o  , шероховатости  n .

Учитывая, что площадь живого сечения при заданной форме и размерах поперечного сечения русла однозначно определяется глубиной h:  w = f(h), замечаем, что при постоянном расходе удельная энергия  сечения потока является функцией только глубины h. Нарисуем график этой функции (рис. 2 – 3).

При h ® 0  w ® 0, и второе слагаемое в выражении для удельной энергии сечения потока стремится к бесконечности, а с ним стремится к бесконечности и удельная энергия сечения потока. При этом кривая графика асимптотически приближается к оси абсцисс.

При  h ® ¥    второе слагаемое стремится к 0,  а кривая графика удельной энергии сечения потока Э асимптотически приближается к прямой Э = h, так как при больших h

.

Так как  функция,  выражающая  зависимость удельной энергии сечения потока от глубины непрерывна, существует некоторое значение глубины h, при котором удельная энергия сечения потока принимает минимальное значение.

Графическое изображение удельной энергии сечения потока в функции от глубины называется кривой удельной энергии  сечения потока.

Критическая глубина.

Глубина h, при которой удельная энергия сечения потока при данном расходе  Q  принимает минимальное значение, называется критической глубиной и обозначается h_к.. Состояние потока при критической  глубине называется критическим.  Критическими называются и все гидравлические элементы потока, соответствующие его критическому состоянию. Они обозначаются с индексом "к" –  v_к, w_к, R_к, C_к  и т.д.

Критическая глубина потока может быть найдена как экстремум непрерывной функции Э = Э(h). Для этого приравняем нулю первую производную функции

Из рис. 2 - 2 видно, что дифференциал площади живого сечения может быть представлен в виде dw = B.dh, где  B  - ширина потока (B = B(h)).

С учетом последнего выражения имеем

Выделяя в левую часть величины, зависящие от глубины h, уравнение для определения критической глубины  h_к  окончательно получаем в виде

Для русла прямоугольной формы  B = const , w = B.h  и  уравнение для критической глубины принимает вид

Отсюда   получаются   формулы  для  непосредственного  вычисления  h_к  (с учетом, что расход   Q = w_к.v_к =  B.h_к.v_к )

        

Вводя понятие удельного расхода жидкости на единицу ширины прямоугольного потока  q = Q / B, выражение для критической глубины запишем в виде

Для  круглого сечения диаметром d    (рис.2 – 5)  безразмерное   отношение  w³/B.d⁵ является    функцией     отношения     h/d.

 Например, при   h > d/2,  

По этим формулам составлены таблицы зависимости w³/B.d⁵ от h/d. С помощью этих таблиц по известному значению отношения  Q/g.d⁵ можно найти отношение h/d, при котором выполняется равенство

и т.о. определить значение критической глубины h_к. Такие вычисления выполняются при расчете дорожных труб.

При расчете параметров волн  прорыва  форму  долины  реки часто представляют в виде параболы степени k_o : ; (рис. 2 – 6) площадь живого сечения для такого русла выражается формулой

Из уравнения

    или   

получаем формулу для определения критической глубины и скорости

         

Критический уклон.

Для характеристики   потока  при  неравномерном  движении необходимо определение величины критического уклона.

Критическим уклоном  называется  такой  уклон дна потока,  при котором заданный  расход  проходит  в  условиях   равномерного движения с критической глубиной,   т.е.   при  котором  нормальная  глубина  потока  равна критической h_o = h_к.    Вспомним, что   нормальной  глубиной  называется  глубина потока, с которой при данном  уклоне  дна  I_o  заданный  расход  Q  проходит  в  условиях    равномерного    движения.   Величина критического уклона в общем случае определяется  из  уравнения равномерного движения,   которое   при  критических  значениях элементов потока пишется следующим образом:

откуда

Подставив в эту формулу выражение для Q² из уравнения , а также учитывая, что  R_к = w_к/c_к , получим следующую зависимость для определения критического уклона

Для суждения  о  состоянии  потока  и  построения  кривых свободной поверхности  необходимо  иметь  данные  о  следующих основных элементах потока: критической глубине  h_к,  критическом уклоне I_к, нормальной глубине h_o   и уклоне дна  I_o .

По уклону  дна естественных и искусственных русел принято различать:   

-   русла   с  горизонтальным   дном   при I_o = 0 (рис. 2 – 7,а);

- русла с прямым уклоном дна при I_o > 0 (рис. 2 – 7,б);

- русла  с  обратным  уклоном  дна  при I_o < 0 (рис. 2 – 7,в).

Наиболее часто  встречаются  русла  с прямым уклоном дна; искусственные русла  (в  частности  дорожные  трубы)   нередко устраиваются с горизонтальным дном.

 При заданном расходе Q прямой уклон дна потока может быть равным критическому  уклону  I_к,  меньшим  или большим его.  При уклоне дна,  равном  критическому  для  заданного  расхода  Q, нормальная глубина потока  h_o равна  критической  глубине h_к. Если при том же расходе Q уменьшать уклон дна I_o , нормальная глубина h_o начнет  возрастать,  критическая же  глубина h_к, зависящая для данного русла  только  от  величины  расхода  Q, остается неизменной. Таким образом, при I_o < I_к  будет h_o > h_к. С увеличением уклона дна  сверх  критического  уклона  глубина  равномерного  движения h_o становится меньше критической,  т.е. при I_o  > I_к  имеем h_o < h_к .

Формы свободной поверхности потока.

Соотношение между глубиной неравномерного движения h, нормальной глубиной h_o и критической глубиной h_к характеризует собой вполне определенные формы свободной поверхности потока.

При глубине потока большей критической h_к состояние потока называется спокойным.  Спокойному  состоянию  потока  отвечает верхняя ветвь  кривой удельной энергии сечения (рис. 2 – 3).  С увеличением глубины спокойного потока  увеличивается  и  удельная  энергия сечения. Примерами спокойных потоков являются равнинные реки с незначительными уклонами.

При глубине потока  меньше критической h_к поток находится в бурном состоянии. На кривой удельной энергии сечения (рис. 2 – 3) бурному состоянию соответствует  нижняя  ветвь.  С увеличением глубины потока удельная энергия сечения  уменьшается.  Горные  реки  с большими уклонами  могут  служить  примером бурных потоков.  В бурном состоянии поток обладает значительной энергией, главным  образом за   счет   скорости   течения.  При  этом  происходит

интенсивный размыв дна и стенок русла. При устройстве искусственных водопропускных сооружений во избежание деформации русла бурные потоки   стремятся   превратить   в   спокойные   путем выполнения ряда   инженерных   мероприятий,  главным  образом, устройством гасителей энергии различной конструкции.

Гидравлический прыжок

В заключение  отметим,  что  переход  потока  из  бурного состояния в спокойное происходит скачкообразно.  Такое явление называется гидравлическим прыжком           (рис. 2 – 8).

Целью  расчета  неравномерного движения жидкости является определение состояния  потока,  его глубин в  различных  сечениях  и  построение  кривой свободной поверхности.

Построение кривой свободной поверхности производится по точкам с помощью основного уравнения неравномерного движения:

.

Средние величиы C_ср, w_ср, R_ср вычисляются для сечения, где глубина .

Удельной энергией сечения потока называется сумма

.

Заменяя среднюю скорость течения v отношением расхода Q к площади  поперечного  сечения w и принимая a @ 1, получим следующее выражение для удельной энергии сечения потока:

.

Глубина h, при которой удельная энергия сечения потока при данном расходе  Q  принимает минимальное значение, называется критической  глубиной   и  обозначается   h_к.. Состояние  потока  при критической  глубине называется критическим.  Критическими называются и все гидравлические элементы потока, соответствующие его критическому состоянию. Они обозначаются с индексом "к" –  v_к, w_к, R_к, C_к, I_k  и т.д. Критическая глубина потока может быть найдена как экстремум непрерывной функции Э = Э(h). При этом для определения критической глубины получается уравнение

,

которое в общем случае решается графо-аналитическим способом.

Для русла прямоугольной формы  (B = const , w = B.h) получается  формула  для  непосредственного  вычисления  h_к:

.

Глубина потока, при которой заданный расход Q в данном русле протекает при равномерном движении, называется нормальной глубиной и обозначается h₀.

При глубине потока h большей критической h_к (уклон дна меньше критического уклона) состояние потока называется спокойным.

При глубине потока h меньшей критической h_к (уклон дна больше критического уклона) поток находится в бурном состоянии.

Переход  потока  из  бурного состояния в спокойное происходит скачкообразно.  Такое явление называется гидравлическим прыжком.

Пример.

Определить критическую глубину, критический уклон дна канала и критическую скорость течения, а также скорость течения  и состояние потока воды в канале при заданных глубинах h₀₁ и h₀₂.

Исходные данные:

- расход воды в канале Q = 10 м3/с;

- ширина канала по дну b = 5 м;

- заложение откосов m = 1,5;

- коэфициент шероховатости дна и стенок канала n = 0,025;

- глубина h₀₁ = 1,0 м; глубина h₀₂  = 0,5 м.

Решение

Критическую глубину находим из уравнения

Методом подбора находим  При этом (см. 1.6)

Далее, из формулы Шези находим критический уклон

Критическая скорость течения

Глубина , течение – спокойное.

При этом

 

 

В лекции "12. Ультрафиолетовое излучение" также много полезной информации.

Аналогично находим

, течение бурное.