Распределение t и распределения усреднённых

1.10. Распределение t и распределения усреднённых

Считая случайную переменную (у) распределенной по нормальному закону и зная её среднее y и стандартное отклонение s, из раздела 1.5 ясно, что можно найти вероятность появления значений этой переменной больших некоторого заданного значения у₀. Эта искомая вероятность Pr(y>y₀) находится из выражения (1.5.3). Например, пусть уровень примесей в реакторе распределён приблизительно нормально со средним y=4,0 и стандартным отклонением s=0,3. Какова вероятность, что уровень примесей в случайно выбранный день превысит 4,4? Здесь у₀=4,4, y=4,0 и s=0,3, так что вероятность

Pr(y>4,4)=1–pnorm(4,4, 4, 0,3)=0,091.

Поэтому в случайно выбранный день с вероятностью приблизительно 0,09 уровень примесей превысит 4,4. Эта вероятность может быть найдена также с помощью нормированной случайной переменной z₀ и таблицы вероятностей стандартного нормального распределения [Box с соавт. (2005) стр. 39].

На практике стандартное отклонение s почти всегда неизвестно. Поэтому допустим, что в выражении z=(y–y)/s нормированной случайной переменной стандартное отклонение s можно заменить получаемым на основе результатов наблюдений его результатом s оценки. В результате этой замены получаем случайную переменную

t_y=(y–y)/s.                                                     (1.10.1)

Эта случайная переменная имеет распределение называемое распределением t(n) со степенью свободы n. Ясно, что вычисляемая с использованием этого распределения вероятность зависит от того, насколько верен s. Поэтому это распределение зависит от числа степеней свободы n =n–1 используемого при оценке s.

Функция р(t_y) плотности вероятности случайной переменной t_y, имеющей распределение t(n), математически выражается в виде

р(t_y) =.

Рекомендуемые материалы

Графики функций плотности вероятности случайных переменных, имеющих распределение t(n) со степенями свободы n =1, 9 и ∞, показаны на Рис.1.10.1. Среднее этого распределения не зависит от числа n и всегда равно 0, а стандартное отклонение равно  при n>2. Следовательно, стандартное отклонение распределения t(n) уменьшается с увеличением n и стремится к 1.

Положим, что, в силу (1.4.4), оценка s=0,3 стандартного отклонения получена на основе результатов семи наблюдений. Тогда число степеней свободы равно шести и вероятность, что результат случайно выбранного наблюдения превысит 4,4, находится на основе вычисления значения случайной переменной t_y0=(y₀–y)/s=(4,4–4,0)/0,3=1,33.

Для распределения t(n) искомая вероятность Pr(t_y>1,33) может быть вычислена на компьютере с использованием встроенной функции pt(t_y0, n) программы Mathcad для интегральной вероятности распределения t(n) с n степенями свободы. Эта вероятность для n=6 находится из выражения Pr(t_y>1,33) =1–pt(1,33, 6) =0,12, что, как можно было ожидать, несколько больше 0,09, найденной при допущении, что s было известно.

Рис.1.10.1. Графики функций плотности вероятности случайных переменных с распределением t(n) и степенями свободы n =1, 9 и ∞.

На Рис.1.10.1 показано, что когда число степеней свободы мало, то недостаточная достоверность оценки s даёт большую вероятность предельных отклонений и отсюда кривая распределения t(n) получается с более пологими конечными участками [Student (1908)]. Показанные ниже величины вероятности Pr(t_y>2) подтверждают это

Когда n больше 15, то распределение по нормальному закону приблизительно аппроксимирует распределение t(n), за исключением предельно крайних участков кривой этого распределения.

Случайная выборка, независимость и допущения

Случайная выборка является физическим методом получения статистической независимости. Возьмём очень большую популяцию числовых данных, записанных на билетах и помещённых в лотерейный барабан. Положим, что после того, как билеты были тщательно перемешаны, из барабана случайно извлечены два билета. Допустим, что число на первом билете статистически независимо от числа на втором билете. Таким образом, случайная выборка предложенным способом гарантировала бы достоверность того, что называется допущением независимого и одинакового распределения. При этом наблюдения были бы распределены независимо и одинаково. Это значит, что отдельные распределения одинаковы и знания об одном из них ничего не говорят об остальных.

Было бы прекрасно, если всегда можно было полагать, что делается случайная выборка, так как это гарантировало бы достоверность допущения независимого и одинакового распределения и создавало бы определённые существенные упрощения. В частности, это дало бы статистике  усреднённого выборки очень особые свойства.

Распределение усреднённых случайно полученных наблюдений

Для пояснения того, что понимается под выражениями Е()=y и D()=s²/n, положим, что очень большое количество белых билетов с числами в белом лотерейном барабане представляют популяцию отдельных наблюдений случайной переменной (y) и эта популяция имеет среднее y и дисперсию s². Далее допустим, что из неё сделана случайная выборка n=10 белых билетов. По числам на этих билетах найдено усреднённое , записано на синем билете и этот билет помещён в синий лотерейный барабан, а белые билеты возвращены в белый барабан. Повторив много раз описанную последовательность операций, получим, что числа на билетах в синем барабане формируют популяцию усреднённых , имеющих то же среднее y, что и исходная популяця наблюдений на белых билетах, но с другой дисперсией s²/n, которая в n=10 раз меньше дисперсии исходных наблюдений.

Исходное распределение результатов наблюдений, записанных на белых билетах, часто называется исходным распределением. Любое распределение, полученное из этого исходного случайным выбором, называется распределением выборки или выборочным распределением. Поэтому распределение чисел, представленных на синих билетах в синем лотерейном барабане, называется распределением усреднённых  выборочных наблюдений.

Нормальность распределения усреднённых выборочных наблюдений

Для объяснения формул математического ожидания и дисперсии усреднённых выборочных наблюдений необходимо допустить, что делается случайная выборка, но эти формулы останутся верными независимо от формы исходного их распределения. В частности, исходное распределение необязательно должно быть по нормальному закону. Если оно не является нормальным, то, как показано на Рис.1.10.2, при случайной выборке усреднение не только уменьшает стандартное отклонение в  раз, но одновременно порождает и распределение усреднённых, которое более близко к нормальному. Это происходит из-за проявления обсуждённого ранее центрального предельного эффекта. Тогда, по присущей случайной выборке гипотезе независимого и одинакового распределения, получаем в итоге следующую таблицу:

Рис.1.10.2. Распределение (b) получено при усреднении n=19 наблюдений, случайно выбранных из популяции с асимметричным распределением (а).