Эквивалентные нормы в гильбертовых пространствах
§ 10. Эквивалентные нормы в гильбертовых пространствах.
Определение 1.
Две нормы и в пространстве называются эквивалентными, если существуют такие, что и .
Следствие. Если последовательность фундаментальна в одной норме пространства , то она фундаментальна и в эквивалентной норме.
Определение 2.
Два скалярных произведения в евклидовом пространстве называются эквивалентными, если эквивалентны соответствующие им нормы.
Пример1. Пусть измеримая в функция, удовлетворяющая неравенствам для п. в. .
Тогда скалярное произведение эквивалентно исходному в пространстве : .
Аналогично, .
Рекомендуемые материалы
Теорема 1.
В конечномерном векторном пространстве любые две нормы эквивалентны.
Доказать самостоятельно.
Теорема 2.
Пусть – измеримая ограниченная неотрицательная функция, определенная в произвольной ограниченной области . Пусть – измеримые функции в , удовлетворяющие условию:
, для п. в. , (1)
тогда формула
определяет в пространстве скалярное произведение, эквивалентное исходному.
Доказательство.
По неравенствам (1)
. (2)
В обратную сторону
.
Если бы удалось доказать, что
, (3)
то получили бы
,
и эквивалентность норм была бы установлена.
Остается доказать неравенство (3), называемое неравенством Стеклова-Фридрихса.
Пусть . Тогда
.
Возведем его в квадрат, воспользуемся неравенством Коши
.
Теперь проинтегрируем по : .
Для функции , где имеем
.
Всякая ограниченная область может быть помещена в слой , поэтому , и справедливо неравенство
.
Поскольку плотно в , то предельным переходом устанавливается неравенство (3) с .
Теорема 3.
Пусть – ограниченная область с границей класса , – измеримая ограниченная неотрицательная функция на .
Пусть – те же, что в теореме 2. Тогда формула
(4)
определяет в пространстве скалярное произведение, эквивалентное исходному, если одновременно не равны тождественно нулю.
Доказательство.
В интеграле по в формуле (4) под понимаются следы этих функций на границе. Тогда, ввиду ограниченности оператора следа, .
Поэтому .
Остается оценить вторую норму снизу. От противного, пусть имеется последовательность такая, что . Можно считать, что . Тогда по неравенству (1) имеем:
Информация в лекции "4.6 Разгон центрального микропроцессора" поможет Вам.
.
Отсюда следует, что в при . Из ограниченной последовательности в пространстве можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность . По теореме о компактности вложения эта же подпоследовательность является сходящейся в пространстве . Сходимость функции и ее производных в эквивалентна сходимости в . Поэтому в , причем . Следовательно, .
Переходя к пределу в неравенстве , получаем:
.
Поскольку и функции не являются нулями одновременно, то . Это противоречит тому, что .
Теорема доказана.