Эквивалентные нормы в гильбертовых пространствах
§ 10. Эквивалентные нормы в гильбертовых пространствах.
Определение 1.
Две нормы и
в пространстве
называются эквивалентными, если существуют
такие, что
и
.
Следствие. Если последовательность фундаментальна в одной норме пространства
, то она фундаментальна и в эквивалентной норме.
Определение 2.
Два скалярных произведения в евклидовом пространстве называются эквивалентными, если эквивалентны соответствующие им нормы.
Пример1. Пусть измеримая в
функция, удовлетворяющая неравенствам
для п. в.
.
Тогда скалярное произведение эквивалентно исходному в пространстве
:
.
Аналогично, .
Рекомендуемые материалы
Теорема 1.
В конечномерном векторном пространстве любые две нормы эквивалентны.
Доказать самостоятельно.
Теорема 2.
Пусть – измеримая ограниченная неотрицательная функция, определенная в произвольной ограниченной области
. Пусть
– измеримые функции в
, удовлетворяющие условию:
, для п. в.
, (1)
тогда формула
определяет в пространстве скалярное произведение, эквивалентное исходному.
Доказательство.
По неравенствам (1)
. (2)
В обратную сторону
.
Если бы удалось доказать, что
, (3)
то получили бы
,
и эквивалентность норм была бы установлена.
Остается доказать неравенство (3), называемое неравенством Стеклова-Фридрихса.
Пусть . Тогда
.
Возведем его в квадрат, воспользуемся неравенством Коши
.
Теперь проинтегрируем по :
.
Для функции , где
имеем
.
Всякая ограниченная область может быть помещена в слой
, поэтому
, и справедливо неравенство
.
Поскольку плотно в
, то предельным переходом устанавливается неравенство (3) с
.
Теорема 3.
Пусть – ограниченная область с границей класса
,
– измеримая ограниченная неотрицательная функция на
.
Пусть – те же, что в теореме 2. Тогда формула
(4)
определяет в пространстве скалярное произведение, эквивалентное исходному, если
одновременно не равны тождественно нулю.
Доказательство.
В интеграле по в формуле (4) под
понимаются следы этих функций на границе. Тогда, ввиду ограниченности оператора следа,
.
Поэтому .
Остается оценить вторую норму снизу. От противного, пусть имеется последовательность такая, что
. Можно считать, что
. Тогда по неравенству (1) имеем:
Информация в лекции "4.6 Разгон центрального микропроцессора" поможет Вам.
.
Отсюда следует, что в
при
. Из ограниченной последовательности
в пространстве
можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность
. По теореме о компактности вложения
эта же подпоследовательность является сходящейся в пространстве
. Сходимость функции и ее производных в
эквивалентна сходимости в
. Поэтому
в
, причем
. Следовательно,
.
Переходя к пределу в неравенстве , получаем:
.
Поскольку и функции
не являются нулями одновременно, то
. Это противоречит тому, что
.
Теорема доказана.