Обобщенные постановки краевых задач для эллиптического уравнения

§11. Обобщенные постановки краевых задач для эллиптического уравнения.

Третья краевая задача для эллиптического уравнения

                                                                 (1)

в классической постановке формулируется так: требуется найти функцию , ,  удовлетворяющую уравнению (1) в  и краевому условию:

                          .                                                            (2)

Здесь производная по конормали определяется формулой:

                          ,                                                 (3)

где  – компоненты внешней нормали к границе. При этом предполагается, что .

Рекомендуемые материалы

В тех случаях, когда  функции не дифференцируемы, классическое решение может не существовать просто потому, что неизвестно, как понимать производные в уравнении (1). Поэтому определяется обобщенное решение задачи (1), (2), которое имеет то преимущество, что не требует дифференцируемости коэффициентов .

Введем интегральное тождество для определения обобщенного решения, предполагая, что приводимые ниже выкладки законны. Умножим уравнение (1) на произвольную функцию  и проинтегрируем по :

.

Применив формулу интегрирования по частям из §5, получим с учетом (2) и (3):

                                                               (4)

– обобщенная постановка третьей краевой задачи.

Пусть – неотрицательные измеримые ограниченные функции, не равные тождественно нулю обе сразу. Симметричные  измеримые коэффициенты удовлетворяют условию (1) §10.

Функция  называется обобщенным решением третьей краевой задачи (1), (2), если

                   .                                                   (5)

Поскольку формулы (4) и (5) эквивалентны, то классическое решение задачи (1), (2) при соблюдении перечисленных выше условий является обобщенным.

Теорема 1.

При  любой  функции    в случае ограниченной области    с границей класса  обобщенное решение третьей краевой задачи (1),(2) существует и единственно.

Доказательство.

Рассмотрим линейный функционал  в пространстве . Он ограничен . Ограничен он также относительно эквивалентной нормы  .  По теореме Рисса найдется единственный элемент  такой, что  . Теорема доказана.

Докажем теперь существование  обобщенного решения первой краевой задачи  в неограниченной области.  Подчеркнем, что при этом скалярное произведение , определенное формулой (1) §10, не эквивалентно исходному  скалярному произведению в . Более того,  неполно относительно скалярного произведения . Его пополнение обозначим через . В случае ограниченной области . Для простоты будем рассматривать такие области, для  которых пересечение с полупространством  ограничено. Тогда для этих пересечений   справедливо неравенство Стеклова-Фридрихса (3) §10 при всех .

Классическая первая краевая задача требует отыскания функции , удовлетворяющей уравнению (1) и краевому условию

                                 .                                                             (6)

В обобщенной постановке мы ограничимся рассмотрением случая, когда

                                                                                                      (6′)

и функция  имеет ограниченный носитель  supp,   .

Обобщенным решением первой краевой задачи (1), (6′) будем называть функцию  такую , что  .

Теорема. Если пересечения  ограниченны,  supp и, то обобщенное решение первой краевой  задачи (1), (6′)  имеет единственное решение.

Люди также интересуются этой лекцией: 8.4 Технологический детерминизм Л.Уайта.

Доказательство.                                                                            

Рассмотрим линейный функционал   на . Убедимся в

его ограниченности.  Применяя неравенства Стеклова-Фридрихса  и (2) §10,  будем иметь

            .

По теореме Риссанайдется единственный элемент  такой,  что  .

Теорема доказана.