Обобщенные постановки краевых задач для эллиптического уравнения
§11. Обобщенные постановки краевых задач для эллиптического уравнения.
Третья краевая задача для эллиптического уравнения
(1)
в классической постановке формулируется так: требуется найти функцию 
, 
, удовлетворяющую уравнению (1) в 
и краевому условию:
. (2)
Здесь производная по конормали определяется формулой:
, (3)
где 
– компоненты внешней нормали к границе. При этом предполагается, что 
.
Рекомендуемые материалы
В тех случаях, когда 
функции не дифференцируемы, классическое решение может не существовать просто потому, что неизвестно, как понимать производные в уравнении (1). Поэтому определяется обобщенное решение задачи (1), (2), которое имеет то преимущество, что не требует дифференцируемости коэффициентов .
Введем интегральное тождество для определения обобщенного решения, предполагая, что приводимые ниже выкладки законны. Умножим уравнение (1) на произвольную функцию 
и проинтегрируем по :
.
Применив формулу интегрирования по частям из §5, получим с учетом (2) и (3):
(4)
– обобщенная постановка третьей краевой задачи.
Пусть 
– неотрицательные измеримые ограниченные функции, не равные тождественно нулю обе сразу. Симметричные 
измеримые коэффициенты удовлетворяют условию (1) §10.
Функция 
называется обобщенным решением третьей краевой задачи (1), (2), если
. (5)
Поскольку формулы (4) и (5) эквивалентны, то классическое решение задачи (1), (2) при соблюдении перечисленных выше условий является обобщенным.
Теорема 1.
При любой функции 
в случае ограниченной области с границей класса 
обобщенное решение третьей краевой задачи (1),(2) существует и единственно.
Доказательство.
Рассмотрим линейный функционал 
в пространстве 
. Он ограничен 
. Ограничен он также относительно эквивалентной нормы 
. По теореме Рисса найдется единственный элемент 
такой, что 
. Теорема доказана.
Докажем теперь существование обобщенного решения первой краевой задачи в неограниченной области. Подчеркнем, что при этом скалярное произведение 
, определенное формулой (1) §10, не эквивалентно исходному скалярному произведению в 
. Более того, неполно относительно скалярного произведения . Его пополнение обозначим через 
. В случае ограниченной области 
. Для простоты будем рассматривать такие области, для которых пересечение с полупространством 
ограничено. Тогда для этих пересечений 
справедливо неравенство Стеклова-Фридрихса (3) §10 при всех 
.
Классическая первая краевая задача требует отыскания функции 
, удовлетворяющей уравнению (1) и краевому условию
. (6)
В обобщенной постановке мы ограничимся рассмотрением случая, когда
(6′)
и функция 
имеет ограниченный носитель supp
, 
.
Обобщенным решением первой краевой задачи (1), (6′) будем называть функцию такую , что 
.
Теорема. Если пересечения ограниченны, 
supp и, то обобщенное решение первой краевой задачи (1), (6′) имеет единственное решение.
Люди также интересуются этой лекцией: 8.4 Технологический детерминизм Л.Уайта.
Доказательство.
Рассмотрим линейный функционал 
на . Убедимся в
его ограниченности. Применяя неравенства Стеклова-Фридрихса и (2) §10, будем иметь
.
По теореме Рисса
найдется единственный элемент такой, что 
.
Теорема доказана.
