Слабая сходимость

§9. Слабая сходимость.

Понятие слабой сходимости является важнейшим инструментом при доказательстве теорем существования решений дифференциальных уравнений.

Определение 1.

Последовательность  векторов гильбертова пространства  называется слабо сходящейся к вектору  если  .

Слабая сходимость обозначается знаком   при  .

Ниже мы докажем, что всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена. Отметим, что ограниченность последовательности векторов  равносильна неравенствам  .

Здесь мы использовали обозначение  для шара радиуса  с  центром  в  точке  .

Лемма 1.

Если последовательность  не ограничена, то   найдется вектор  и натуральное   такие, что  .

Рекомендуемые материалы

Доказательство от противного.

Пусть , такие, что при любом  и любом  выполнены неравенства .  Тогда при любом   и любом 

.

Здесь мы воспользовались тем, что . Последнее неравенство противоречит неограниченности последовательности .  Лемма доказана.

Теорема 1. (Теорема Банаха-Штейнгауза).

Слабо сходящаяся последовательность векторов ограничена.

Доказательство от противного.

По лемме для   найдется номер   и вектор  такие, что . По непрерывности функционала  найдется шар  такой, что .

Далее, для  найдется номер  и вектор   такие,

что .  По  непрерывности функционала   найдется шар  такой, что  .

Продолжая процесс, получим последовательность вложенных шаров , имеющую хотя бы одну общую точку . Тогда , что противоречит ограниченности сходящейся последовательности . Теорема доказана.

Лемма 2.

Пусть последовательность  ограничена. Пусть линейная оболочка векторов  плотна в . Пусть  , тогда   слабо.

Доказательство.

Пусть   – произвольный вектор из линейной оболочки, , тогда

=.

Если теперь  произвольный вектор, то в силу плотности линейной оболочки найдется вектор  такой, что . В силу ограниченности ,  По определению предела, найдется  такое, что при  выполнено неравенство .

Имеем       

                    

          Это означает, что  .

Лемма доказана.

Лемма 3.

Если   слабо,  сильно, то .

Доказательство, благодаря ограниченности последовательности , аналогично доказательству леммы 2.

Теорема 2.

Из ограниченной последовательности векторов гильбертова пространства можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство проведем для случая сепарабельного гильбертова пространства. Общий случай сводится к этому взятием линейной оболочки

исходной последовательности.

Пусть – счетное всюду плотное множество в . Пусть  заданная ограниченная последовательность. Тогда числовая последовательность  ограничена и из нее можно выделить сходящуюся числовую подпоследовательность . Для удобства векторы  переобозначим так: . Далее числовая последовательность  также ограничена и из нее можно выделить сходящуюся числовую подпоследовательность . Для удобства векторы  переобозначим так: . Процесс продолжается бесконечно. Возьмем диагональную последовательность .  По построению она обладает свойством: .  Поэтому она сходится на любом векторе , то есть существует предел 

                                 .                                                        (1)

Убедимся, что на самом деле существует предел при любом  . Выберем  так, чтобы . Тогда, в силу (1), выполнен критерий Коши: .Поэтому  

            

                       .

Таким образом, выполнен критерий Коши, обеспечивающий существование предела . Теперь положим по определению .

Легко проверить, что – линейный ограниченный функционал. По теореме Рисса существует .  Теорема доказана.

Далее понадобится понятие сопряженного оператора.

Определение 2.

Пусть  – ограниченные операторы в гильбертовых пространствах над полем . Если , то эти операторы называются взаимно сопряженными: .

Утверждение.

Всякий ограниченный оператор имеет сопряженный оператор.

Доказательство.

 является линейным непрерывным функционалом на , поскольку .

По теореме  Рисса  найдется единственный вектор  такой, что

. Тем самым определено отображение .

Поопределению,

                       . (2)

Остается проверить, что оператор – линейный и непрерывный.

Имеем         

                        .

Отсюда получаем , что и означает линейность оператора  . Установим его ограниченность. Подставим в формулу (2)  . Тогда    .  Отсюда . Что и требовалось.  Более того,  мы доказали равенство .

Теорема 3.

Компактный оператор слабо сходящуюся последовательность переводит в сходящуюся последовательность.

Доказательство.

Пусть – компактный линейный оператор и  слабо  в  пространстве  .

По теореме1 множество  ограничено. Поэтому множество – компактное. Из него можно выделить фундаментальную подпоследовательность . Тогда существует предел . Докажем, что . Имеем

      . Отсюда  .

Установим теперь, что . В ином случае найдется  и подпоследовательность  такая, что . Это противоречит выше изложенному.  Теорема доказана.

В следующей теореме возьмем – произвольная ограниченная область,  – оператор вложения.

Теорема 4.

Если   слабо в пространстве , то  сильно в  и  слабо  в  . ( − ограниченная область).

Доказательство.

Сходимость  следует из теоремы 3 и компактности оператора

вложения. Из ограниченности последовательности   в пространстве   

следует ограниченность   в . Тогда можно выделить слабо сходящуюся в  подпоследовательность  при  .

Поэтому  для   функции    имеем

                    .

Отсюда заключаем, что . Покажем, что на самом деле вся последовательность слабо сходится  при . Если предположить противное, то найдется  такая, что . Тогда найдется подпоследовательность  такая, что . Тогда из нее нельзя выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к , что противоречит вышеизложенному. Теорема доказана.

Теорема 5.

Вам также может быть полезна лекция "16 Надежность отказоустойчивых систем (ОУС)".

Если  слабо в пространстве , где – произвольная область, то  в   и  в .

Доказательство.

Пусть шар . Выберем  так, чтобы . Пусть – срезающая функция, равная 1 в шаре . Тогда – ограниченная последовательность в пространстве . По теореме 2 можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность  при . По теореме 4 имеем сильную сходимость  в  и слабые сходимости  в . Поскольку  в , то отсюда следует, что   в  и  в . Далее, выбирая подпоследовательности, можно добиться, чтобы   в   и   в  для любой ограниченной области  такой, что .

Поскольку , то фактически . Аналогично,  и по теореме Лебега об ограниченной сходимости  в . Далее, функции из  образуют плотное множество в , поэтому из леммы 2 следует слабая сходимость  в . Имеем

Если  , то отсюда заключаем,  что .