Компактность вложения с ограниченной областью

§8. Компактность вложения  , где ограниченная область.

Определение 1.

Линейный оператор  называется компактным, если он любое ограниченное множество переводит в компактное.

Утверждение 1.

Линейный оператор  ограничен  он любое ограниченное множество переводит в ограниченное.

Доказательство.

Пусть − единичный шар и – ограниченное множество в . Докажем ограниченность линейного оператора . Поскольку , то . Отсюда . В обратную сторону утверждение очевидно.

Утверждение 2.

Компактное множество ограничено, т.к. в противном случае оно содержит неограниченную последовательность, из которой не выделяется фундаментальная подпоследовательность.

Рекомендуемые материалы

Следствие. Компактный оператор является ограниченным.

Утверждение 3.

Ограниченный линейный оператор переводит компактное множество в компактное.

Доказательство.

Пусть − компактное множество, имеющее конечную -сеть . Пусть , т.е.  − ограниченный оператор. Тогда  является -сетью для множества . В самом деле .

Утверждение 4.

Если − ограниченные операторы, а – компактный, то композиция − компактный оператор.

Доказательство.

Ограниченное множество   переходит в ограниченное , затем

в компактное множество , которое остается  компактным  после

применения .

Мы определили множество  как подмножество , т.е. элементами являются наборы . Определим отображение вложения   по формуле   .

Теорема 1.

− компактный оператор, если  − ограниченная область.

Доказательство.

Достаточно установить, что  − компактное множество, где . В самом деле, если  – ограниченное множество,  то , поэтому  − компактное множество. Умножение на  – ограниченный оператор переводит компактное множество в компактное,  поэтому − компактное.

Элементы   после продолжения нулем за пределы  становятся элементами , поэтому можно рассмотреть множество .

Если − куб, содержащий множество  вместе с единичной окрестностью, то . При этом,  поскольку

                .                               (1)

Далее, воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях (см.(3) §6) и свойством 4: .

Теперь, применим (1) к : .

Отсюда получаем

                   .                                                      (2)

Неравенства (1) и (2) обеспечивают равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность множества непрерывных функций .  По теореме Арцела оно является компактным в .

Доказанная в предыдущем параграфе теорема о критерии компактности справедлива и для произвольного метрического пространства.

Пространство  является, очевидно, метрическим с метрикой .

Поэтому множество  при произвольном   имеет конечную -сеть .

Покажем, что  обладает конечной  -сетью в пространстве .

Воспользуемся очевидным  неравенством

mesmes.

По свойству  6 при    для функций    имеем  .

Для функции  найдется элемент  конечной mes-сети для множества :  mes.

Тогда  mes.

Отсюда  .

Тем самым, установлена  компактность множества  в пространстве . Тем более это множество компактно в .

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. (о продолжении).

Люди также интересуются этой лекцией: Народнохозяйственное значение, развитие и размещение отрасли.

Пусть  ограниченная область с границей класса  и . Тогда существует ограниченный линейный оператор  такой, что  .

Доказательство сложное. [см.1]

Теорема 3.

Если  ограниченная область с границей класса , то оператор вложения   компактен.

Доказательство.

Пусть  − куб, содержащий  и  – оператор продолжения. Если  оператор вложения, то  компактный. Поскольку , где – оператор сужения, то компактен.