Компактные множества в гильбертовом пространстве

§7. Компактные множества в гильбертовом пространстве.

Определение 1.

Подмножество  гильбертова пространства называется компактным, если любая последовательность  элементов из  содержит фундаментальную подпоследовательность.

Определение 2.

Компактное множество в  называется компактом, если оно замкнуто.

Утверждение. Множество   является компактом  оно ограничено и замкнуто.

Доказательство предлагается в качестве упражнения.

Определение 3.

Говорят, что множество  является -сетью для множества , если .

Рекомендуемые материалы

Теорема 1.

Множество  компактно  при любом  оно обладает конечной -сетью.

Доказательство.

Пусть – компактное множество. Пусть − произвольное число. Возьмем произвольную точку . Пусть нашлась точка . Пусть нашлась точка . Очевидно . Если процесс обрывается, т.е. не существует , то точки   образуют, очевидно, -сеть для множества . Если же процесс может быть продолжен бесконечно, то возникает последовательность  точек из , попарно удаленных не меньше, чем на  . Из такой последовательности нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность, что противоречит компактности множества  .

Пусть теперь для множества  при любом  существует конечная -сеть.

Докажем, что множество  – компактное.

Пусть    и   – сеть для множества  . Тогда

.

Возьмем произвольную последовательность . Тогда   найдется шар , содержащий бесконечное число членов                 этой последовательности  . Для удобства эту подпоследовательность обозначим так: .

Пусть теперь   и   – сеть для множества . Тогда . Поэтому найдется шар , содержащий бесконечное число членов последовательности  , т.е. . Обозначим подпоследовательность через .

Процесс выделения подпоследовательностей продолжается бесконечно. Возьмем теперь диагональную подпоследовательность . Ее элементы, начиная с номера , принадлежат выбранному шару  . Поэтому . Это и означает фундаментальность выбранной подпоследовательности.

Теорема доказана.

Нам понадобится также критерий компактности в пространстве непрерывных функций.

Пусть – компакт. – пространство непрерывных на  функций. Напомним, что норма на пространстве непрерывных функций определяется так .

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 2.2.Картография средневековья.

Определение 4.

Множество   непрерывных функций называется равномерно ограниченным, если  .

Определение 5.

Множество непрерывных функций  называется  равномерно непрерывным, если  .

Теорема 2. (Теорема Арцела).

Множество  – компактное оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Доказательство сложное.