Компактные множества в гильбертовом пространстве
§7. Компактные множества в гильбертовом пространстве.
Определение 1.
Подмножество гильбертова пространства называется компактным, если любая последовательность элементов из содержит фундаментальную подпоследовательность.
Определение 2.
Компактное множество в называется компактом, если оно замкнуто.
Утверждение. Множество является компактом оно ограничено и замкнуто.
Доказательство предлагается в качестве упражнения.
Определение 3.
Говорят, что множество является -сетью для множества , если .
Рекомендуемые материалы
Теорема 1.
Множество компактно при любом оно обладает конечной -сетью.
Доказательство.
Пусть – компактное множество. Пусть − произвольное число. Возьмем произвольную точку . Пусть нашлась точка . Пусть нашлась точка . Очевидно . Если процесс обрывается, т.е. не существует , то точки образуют, очевидно, -сеть для множества . Если же процесс может быть продолжен бесконечно, то возникает последовательность точек из , попарно удаленных не меньше, чем на . Из такой последовательности нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность, что противоречит компактности множества .
Пусть теперь для множества при любом существует конечная -сеть.
Докажем, что множество – компактное.
Пусть и – сеть для множества . Тогда
.
Возьмем произвольную последовательность . Тогда найдется шар , содержащий бесконечное число членов этой последовательности . Для удобства эту подпоследовательность обозначим так: .
Пусть теперь и – сеть для множества . Тогда . Поэтому найдется шар , содержащий бесконечное число членов последовательности , т.е. . Обозначим подпоследовательность через .
Процесс выделения подпоследовательностей продолжается бесконечно. Возьмем теперь диагональную подпоследовательность . Ее элементы, начиная с номера , принадлежат выбранному шару . Поэтому . Это и означает фундаментальность выбранной подпоследовательности.
Теорема доказана.
Нам понадобится также критерий компактности в пространстве непрерывных функций.
Пусть – компакт. – пространство непрерывных на функций. Напомним, что норма на пространстве непрерывных функций определяется так .
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 2.2.Картография средневековья.
Определение 4.
Множество непрерывных функций называется равномерно ограниченным, если .
Определение 5.
Множество непрерывных функций называется равномерно непрерывным, если .
Теорема 2. (Теорема Арцела).
Множество – компактное оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Доказательство сложное.