Определение элементов из L2 и его свойства
§6. Определение элементов из и его свойства.
Поскольку элементы из не имеют конкретного значения в отдельно взятой точке, то работа непосредственно с ними вызывает затруднения. После осреднения эти элементы обретают в каком-то смысле свойство непрерывности, что позволяет выделять из класса эквивалентности конкретный представитель − функцию.
Рассмотрим в пространстве оператор сдвига аргумента .
Для функции этот оператор определен и сохраняет норму . Поэтому он по непрерывности продолжается до линейного оператора на всем .
Утверждение.
при .
Доказательство.
Пусть сначала . Тогда при найдется шар такой, что supp.
Функция равномерно непрерывна в замкнутом шаре , поэтому
Рекомендуемые материалы
.
Следовательно,
.
По заданному элементу и числу выбираем так, чтобы .
Тогда .
Утверждение доказано.
Ядро осреднения.
Выберем неотрицательную четную функцию так, чтобы . Положим .
Тогда .
Определение.
Осреднением элемента называют функцию вычисленную по формуле
.
Замечание. Осреднение определено также для элементов так как их можно продолжить нулем на всем , получив тем самым элемент из .
Свойства осреднения:
1 – следует из теоремы о дифференцируемости интеграла по параметру.
2 .
Доказательство.
По неравенству Коши-Буняковского
.
По выбору ядра осреднения имеем
.
Следовательно,
.
После замены порядка интегрирования получаем требуемое
.
3 при .
Пусть сначала . Тогда
Последнее равенство получено заменой переменной . Пользуясь четностью функции и неравенством Коши - Буняковского будем иметь:
.
Последний интеграл равен единице, поэтому
. (1)
Выбирая , добиваемся того, что интегрирование в (1) ведется по шару что влечет неравенство .
Меняя порядок интегрирования в (1), будем иметь
. (2)
Отсюда .
В случае произвольного элемента выбираем так, чтобы .
Тогда
.
4 Если существует обобщенная производная , то .
В самом деле,
.
5 Если , то при .
Доказательство.
Сходимость в пространстве эквивалентна набору сходимостей , в пространстве . Последние сходимости вытекают из свойств 3 и 4.
Информация в лекции "4.2. Н.Я. Данилевский о культурно-исторических типах" поможет Вам.
6 Если , то .
Доказательство.
Очевидно, . (3)
Поэтому .
Далее интегрируем и меняем порядок интегрирования
Остается воспользоваться неравенством (2) и заметить, что .