metod_15.03.04_atppp_oaip_ump_2016 (Методические документы), страница 7

Поэтому данный способ рассматриваться не будет.Алгоритм перевода по формулам степенного ряда:каждая цифра числа в Р-ичной системе счисления переводится в число в десятичнойсистеме счисления – ai (p) в ai (10);полученные числа нумеруются в сокращенной записи справа налево, начиная с нуля– i = 0, 1, 2, 3, …..n-1;десятичное число, соответствующее i-ой цифре исходного числа, умножается на p↑i,где i – номер цифры в исходном числе, и результаты произведений складываются.Все арифметические действия проводятся в десятичной системе счисления.Пример. Перевести число B0F9(16) в десятичную систему счисления:B0F9 (16) = [11(10)][0][15(10)][9] = 11*16**3 + 15*16 + 9 = 45305(10).Чтобы избавиться от операции возведения в степень и минимизировать числоарифметических операций при переводе применяется алгоритм Горнера (схемаГорнера):Пример 1. Перевести ABC(16) в десятичную систему счисления.A = ABC(16) = (10*16 + 11)*16 + 12 = 171*16 + 12 = 2736 + 12 = 2748(10)При переводе числа в двоичной системе счисления в десятичную системунеобходимо в десятичной системе счисления сложить 2↑i для тех разрядов двоичногочисла, где содержатся 1.

В рассмотренном примере необходимо сложить 2↑6 + 2↑3 +2↑2 + 2↑0 = 77(10)Б.Перевод конечной Р-ичной дроби в десятичную.Алгоритм перевода конечной Р-ичной дроби в десятичную: целаячасть числа переводится в десятичную систему отдельно;29каждая цифра дробной части числа в Р-ичной системе счисления переводится вчисло в десятичной системе;полученные в результате преобразования дробной части числа нумеруются слеванаправо, начиная с единицы;десятичное число, соответствующее каждой p-ичной цифре, умножается на p↑(-k),где k – номер этого числа, и результаты складываются, причем все эти арифметическиедействия проводятся в десятичной системе счисления.5) результаты перевода целой и дробной части числа складываютсяПример. Перевести число 0, B0F9 (16) в десятичную систему счисления.0,B0F9(16) = 0, [11][0][15][9] = 11*16**(-1) + 15*16**(-3) + 9*16**(-4) = = 11*0,0625+ 15*0, 00390625 + 9*0,00024414 = 0,6912994384765625 (10)В данном случае также рекомендуется использовать схему Горнера, чтоминимизирует количество арифметических действий.Пример.

Перевести число 0,B0F(16) в десятичную систему счисления по алгоритмуГорнера: 1/16*(11 + 1/16*(0 + 1/16*15)) = 0,0625*(11+0,0625*0,0625*15 ) = 0,0625*0,05859375 = 0,003662109.2) Перевод числа из десятичной системы в P-ичнуюА. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в P – ичнуюАлгоритм перевода (все вычисления выполняются в десятичной системесчисления):1) делим исходное число A на p (основание новой системы счисления) нацело изаписываем в качестве нового значения числа А целую часть результата от деления;2) остаток от деления образует соответствующую цифру в Р-ичной системесчисления слева от полученных ранее цифр в Р-ичной записи числа А (перваяполученная цифра соответствует младшему разряду и ее просто записывают первой);3) выполняем пункты 1) и 2) до тех пор, пока число А΄ не станет меньше p.Пример. Перевести число 123 в троичную систему счисления:123 / 3 = 41 (0); 41 / 3 = 13 (2); 13 / 3 = 4 (1); 4 / 3 = 1 (1); 1 / 3 = 0 (1).Таким образом, 123(10) = 11120(3).Б.

Перевод конечной десятичной дроби в Р-ичную.Алгоритм перевода:умножим дробную часть исходного числа А на p, целая часть полученногопроизведения является первой цифрой после запятой в искомом числе (целая частьможет быть как равна нулю, так и быть больше девяти, но она всегда меньше p, чтопозволяет записать ее в виде одной цифры p-ичной системы счисления);1) дробную часть произведения снова умножим на p, целую часть полученногочисла заменяем на цифру в p-ичной системе счисления и приписываем ее справа крезультату;2) Выполняем пункт 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станетравной нулю, или не выделится период.Пример.

Перевести число 0,375 в двоичную систему счисления.300,375 * 2 = 0,75 (0); 0,75 * 2 = 1,5 (1); 0,5 * 2 = 1,0 (1).Таким образом, числу 0,375 в десятичной системе счисления соответствует число0, 011 в двоичной системе счисления.Десятичные дроби с конечным числом цифр при переводе в другие системы могутпревратиться в бесконечные дроби. Если возможно найти период, то его следуетвыделить. Если же период выделить не представляется возможным, то определяетсяточность вычислений при переводе. Исходя из установленной точности производитсяокругление после определенного числа знаков.Перевод чисел между системами счисления с основанием 2, 8, 16В некоторых случаях (нумерация ячеек памяти компьютера, запись кодов команд,нумерация регистров и устройств и пр.) используются системы счисления соснованиями 8 = 2↑3 и 16 = 2↑4, кратными 2↑r (к – показатель степени основания новойсистемы счисления).Правило 1 – перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную илишестнадцатеричную.

Переводимое число достаточно разбить справа налево нагруппы по 3 цифры для восьмеричной и на 4 цифры для шестнадцатеричнойсистем счисления и каждую полученную группу перевести в цифру новогооснования.При преобразовании числа из восьмеричного кода в шестнадцатеричную системусчисления и обратно используется промежуточное преобразование в двоичнуюсистему.Пример. Выполнить преобразование 110001(2) в восьмеричную и шестнадцатеричнуюсистемы счисления.110001 = 110 001 = 61(8);110001 = 0011 0001 = 31(16).Правило 2 – обратное, каждую цифру переводимого числа достаточно заменить3 – разрядным числом в восьмеричной системе счисления или 4 - разряднымчислом в шестнадцатеричной системе счисления, дополняя его при необходимостинезначащими нулями слева.Пример.

Выполнить преобразование D3 (16) в двоичную и восьмеричную системусчисления.D3 = 11010011(2) =011 010 011 = 323(8).4.2. ЯЗЫК ЛОГИКИЛогика – наука, изучающая методы установления истинности или ложности однихвысказываний на основе истинности или ложности других высказываний. Вматематической логике содержание рассуждений отбрасывается, а используется толькоих форма и логическое значение. Основой внутреннего языка базового техническогосредства информатики – компьютера является язык логики, называемый еще булевойалгеброй.

Булева алгебра чрезвычайно важна в проектировании аппаратных средствЭВМ, в разработке языков программирования и в конструировании дискретныхустройств автоматики.31Логические функцииВ 17 веке немецкий ученый Лейбниц задумал создать новую науку, в которойкаждому высказыванию соответствовал бы свой символ, а рассуждения имели бы видвычислений.

Эта идея была воплощена в жизнь в 19 веке ирландским математикомДжорджем Булем, который заложил основы алгебры логики, схожей с обычнойалгеброй, но вместо чисел буквами обозначаются высказывания. На языке алгебрылогики можно описать рассуждения и получить («вычислить») результаты. Однакоданной алгеброй охватываются не все рассуждения, а только определенный их тип.Основными понятиями в математической логике являются логическоевысказывание, высказывательные формы, предикаты и кванторы.Высказыванием (суждением) называется повествовательное и утвердительноепредложение, о котором можно сказать в данный момент, что оно истинно или ложно,но не то и другое одновременно. Высказывание истинно, если оно отражаетдействительное положение вещей и ложно, если оно противоречит действительности.Обозначаются высказывания буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Истинностьвысказывания выражается через логические величины, принимающие значения True(истина) или False (ложь) и обозначаемых, соответственно, цифрой 1 - True, а цифрой 0– False.Логическая величина может быть логической переменной или логическойконстантой.Над логическими переменными или константами определены логические операции,посредством которых могут строиться сложные логические выражения.Высказывательной (пропозициональной) формой называется предложение,содержащее хотя бы одну переменную и становящееся высказыванием приподстановке хотя бы одного значения этой переменной.Из математики известно, что функция определена, если задано:1) область определения функции, т.е. некоторое множество возможных значенийаргумента;2) область значений функции, т.е.