metod_15.03.04_atppp_oaip_ump_2016 (Методические документы), страница 6

Формальные языки – это искусственно созданные языки дляпрофессионального применения. Они, как правило, носят международный характер иимеют письменную форму.С любым языком связаны следующие понятия:алфавит – множество используемых символов;синтаксис – правила записи языковых конструкций (текста на языке);семантика – смысловая сторона языковых конструкций; прагматика –практические последствия применения текста на данном языке.Все названные компоненты языка ориентированы на специфику предметнойобласти применения.Способ представления данных в техническом устройстве информатики (например, вкомпьютере) называется языком представления данных в информатике, Информацию,циркулирующую в техническом устройстве, можно разделить на два вида: данные дляобработки и управляющие сигналы (команды, программы, операторы).Для каждого вида различается внешнее и внутреннее представление данных.Внешнее представление ориентировано на человека, определяет вид данных наинтерфейсных устройствах технической системы: экран, принтер.

Внутреннеепредставление – это данные на носителях внутри технической системы: памяти, линияхпередачи данных.В самом общем смысле можно сказать, что внутренним языком представленияданных технической системы является язык двоичных кодов. Но для разных типовданных и различных типов технических устройств используются различные языкивнутреннего представления.Языки внешнего представления данных обычно приближены к привычной длячеловека форме: числа представляются в десятичной системе счисления, при записи24текстов используются алфавиты естественных языков, традиционная математическаясимволика и пр.Внутренним языком представления действий над данными (языком управлениятехническим устройством) является командный язык, выраженный как языкпрограммирования высокого уровня, или входного языка пакета прикладных программ,или командного языка операционной системы (пользовательской оболочки), или языкаманипулирования данными в СУБД и т.д.

Следует иметь в виду, что любой языквысокого уровня может включать в себя как средства представления данных (разделданных), так и средства представления действий над данными (раздел операторов).4.2.ЯЗЫК ЧИСЕЛ (СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ)Обработка данных техническими средствами информатики предполагает проведениеразнообразных вычислений даже при решении задач не связанных с какими-торасчетами. В связи с этим встает вопрос о выборе оптимального представления чисел втехническом устройстве обработки.Представление чисел в компьютере по сравнению с формой чисел, известной сошколы, имеет два важных отличия:1) используется двоичная система счисления;2) количество разрядов записи числа ограничено.Любое число имеет значение (содержание) и форму представления.Значение числа задает его отношение к значениям других чисел (>, <, ═) и,следовательно, порядок расположения чисел на числовой оси.Форма представления определяет порядок записи числа с помощьюпредназначенных для этого знаков.

При этом значение числа не зависит(инвариантно) от способа его представления, т.е. число может быть записано поразному. В связи с этим возникают вопросы о представления чисел и о возможности испособах перехода от одной формы представления к другой. Способ представленияопределяется системой счисления.Система счисления – это способ записи (изображения) чисел с помощьюзаданного набора специальных знаков – цифр и соответствующие ему правиладействия над числами.Существуют унарная, позиционные и непозиционные системы счисления.Унарная – это система счисления, в которой для записи чисел используется толькоодин знак -1 («палочка»).Непозиционная система счисления - каждой цифре в любом месте числасоответствует одно и то же значение – количественный эквивалент.

Пример, римскаясистема записи чисел, в которой используются базовые числа: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 –L, 100 – C, 500 – D, 1000 - M. Все другие числа строятся комбинацией базовых всоответствии со следующими правилами: если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения суммируются; если слева – то меньшее значение вычитается из большего; цифры I, X, C и M могут следовать подряд не более трех раз каждая; цифры V, L, D могут использоваться в записи не более одного раза.25Недостатками непозиционных систем счисления являются трудность записибольших чисел и сложность формализации правил проведения арифметическихопераций.Унарное и непозиционное представления чисел относятся к аддитивным, в которыхзначение числа определяется операциями сложения и вычитания.

В отличии от нихпозиционные системы счисления относятся к аддитивно – мультипликативным,поскольку значение числа в них определяется операциями умножения и сложения.Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждойцифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в рядудругих цифр. Позиционных систем счисления существует множество и отличаютсяони друг от друга алфавитом – множеством используемых цифр.Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр,используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.Основанием системы счисления (величиной алфавита данной системы счисления)называется величина p, равная отношению веса любого разряда числа к весу соседнегомладшего разряда.Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое изкоторых задает вес каждого разряда.

Если основание системы счисления обозначитьбуквой p, то базис позиционной системы счисления представляет собойпоследовательность чисел p↑i, где i = 0, 1, 2, ...Например, для десятичной системы счисления базис представляет ряд цифр:.....10^(-2), 10^(-1), 10^0, 10^1, 10^2......Главная особенность позиционного представления чисел – возможностьпосредством ограниченного набора знаков (цифр, разделителя целой и дробной частей,обозначения знака) записать неограниченное количество различных чисел.Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой формезаписи чисел. Для произвольной системы счисления с основанием p любое число А,удовлетворяющее условию p ^ (-k) < A < p^ n, может быть представлено в видемногочленаА = an-1*p↑(n-1) + an-2*p↑(n-2) + …+ a1*p↑1 + a0*p↑0 + a(-1)*p↑(-1) +… + a(-k)* p(-k) =∑ai*p↑i, где –k ≤ i ≤ n-1Из коэффициентов ai при степенях основания строится сокращенная запись числа:А = (an-1an-2 …a1a0a-1a-2…)(p).Посредством несложных преобразований целой и дробной частей числа можнополучить развернутую запись числа по схеме Горнера:Для целой части:A = (….((an-1*p + a n-2)*p + ….+ a1)*p + a0;Для дробной части:A = (1/p)*(a(-1) + (1/p)*(a(-2) + ….+ (1/p)*(a(-k+1) + a(-k)* (1/p))…))Индекс p у числа А указывает, что оно записано в системе счисления с основанием p,общее число цифр в дробной части равно k, а в целой части – n.

Все коэффициенты ai –целые числа, удовлетворяющие условию:0 ≤ ai ≤ p – 1.В десятичной системе счисления основание p = 10 и для записи используется десятьцифр –0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Каждая цифра числа занимает в нем определенный разряд,26который имеет соответствующий весовой коэффициент, определяемый числом 10 встепени:для разрядов влево от запятой – 0, 1, 2 …..для разрядов вправо от запятой – (-1), (-2), (-3), ….Таким образом, запись числа 547,35 в десятичной системе счисления означает:547,35 = 5*10↑2 + 4*10↑1 + 7*10↑0 + 3*10↑(-1) + 5*10↑(-2) или по схеме Горнера:547 = (5*10 + 4)*10 + 7 и 0,35 = 0,1*(3 + 5*0,1)Основное преимущество позиционных систем счисления перед непозиционными –удобство выполнения арифметических операций.Позиционные системысчисления 1) Двоичная система счисления.Основание системы счисления – 2 и алфавит состоит из двух цифр : 0 и 1.

Базиссистемы 2↑i, т.е. вес разрядов целой части 1, 2, 4, 8, 16, 32 …., а дробной соответственно1 / 2, 1 / 4, 1 / 8 …..Пример. Число 11010,11 двоичной системы счисления соответствует числу 26,75 впривычной десятичной системе счисления11010,11(2) = 1*2↑4 + 1*2↑3 + 0*2↑2 + 1*2↑1 + 0*2↑0 + 1*2↑(-1) + 1*2↑(-2) = 16 + 8 +0 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 26,75Арифметические операции над одноразрядными двоичными числами весьма просты(табл. 1.1), а над многоразрядными числами производятся по тем же правилам, что и вдесятичной системе счисления.Таблица сложения и умножения:Сложение0+0=00+1=11+0=11 + 1 = 10Вычитание0-0=01-0=11-1=010 - 1 = 1Умножение0*0=00*1=01*0=01*1=1Сложение двоичных чисел выполняется столбиком, начиная с младшего разряда.При сложении трёх и более двоичных чисел необходимо внимательно следить заобразующимися при сложении переносами в старшие разряды, поскольку эти единицымогут переходить не только в соседние старшие разряды, но и в более удалённые.Примеры.1.

10012.101,011+ 1010+ 1,11100112.111,001Вычитание двоичных чисел производится по обычному правилу. Примеры.1. 10112.101- 111- 10,110,110027Умножение двоичных чисел выполняется путём образования частичныхпроизведений и последующего их суммирования. Положение запятой определяется также, как при умножении десятичных чисел.Пример.1011* 10110111011110111Деление двоичных чисел сводится к операциям умножения и вычитания.Примеры. 1.

11110 1102. 110000 110110 111101000110011002) Восьмеричная система счисления.Алфавит включает восемь цифр 0,1,2,3,4,5,6,7, а основание системы p = 8 = 2↑3.Базис системы счисления 8↑i, т.е. вес разрядов целой части 1,8,64,256,…., а дробнойчасти 1/8,1/64,1/256,… Например, восьмеричное число 756,25 равно десятичному 494,328125:7*8↑2 + 5*8↑1 + 6*8↑0 + 2*8↑(-1) + 5*8↑(-2) == 448 + 40 + 6 + 0,25 + 0,078125 = 494,3281253) Шестнадцатеричная система счисления.Алфавит и основание системы – 16 = 2↑4, т.е.

для изображения чисел употребляетсядесять цифр и шесть букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3,….9, A (10), B (11), C (12), D(13), E (14), F (15). Шестнадцатеричное число А7В,С8(16) переводится в десятичное:А7В,С8(16) = 10*16↑2 + 7*16↑1 + 11*16↑0 + 12*16↑(-1) + 8*16↑(-2) = 2560 + 112 + 11+ 0,75 + 0,03125 = 2683, 781254) Двоично-десятичная система счисления.Данная система счисления имеет основание p = 10 и каждая цифра алфавита(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) изображается в этой системе счисления четырёхразряднымдвоичным числом, называемым тетрадой (0–0000, 1–0001, 2–0010, 3-0011, 4-0100, 50101, 6-0110, 7-0111, 8-1000, 9-1001).

Она используется в ЭВМ как вспомогательнаясистема счисления при вводе и выводе данных и в качестве основной при решениинекоторых задач (когда в ЭВМ вводится и выводится большое количество чисел, авычислений над ними производится мало). Для ее реализации в АЛУ ЭВМ имеетсяблок десятичной арифметики. Использование двух основных систем счисления(двоичной и двоично-десятичной) позволяет создавать ЭВМ чрезвычайно высокойпроизводительности.Преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоично-десятичнуюлегко реализуется посредством простейших электронных схем. Двоично-десятичныечисла преобразуются в десятичные автоматически в ЭВМ по особой программеперевода.28Перевод чисел из одной системы счисления в другуюТеоретически возможно осуществить любой переход из q-ичной системы счисленияв p-ичную систему счисления.

Однако при этом придется выполнять операции поправилам арифметики указанных не десятичных систем счисления. Поэтому болееудобна форма перехода через промежуточную систему счисления, например,десятичную. Следовательно, необходимо рассмотреть два варианта:1) перевод чисел из p-ичной системы счисления в десятичную;2) перевод чисел из десятичной системы счисления в p-ичную.Перевод целой и дробной частей числа осуществляется по разному и результатысуммируется.1) Перевод чисел из P-ичной системы в десятичнуюA.Перевод целой части числа из P-ичной системы счисления в десятичную.Существует три варианта перевода: по формулам степенного ряда, по схеме Горнера,по правилам перевода.Перевод чисел в соответствии с правилами предполагает знание и использованиеправил выполнения арифметических операций в p-ичной системе счисления, что оченьсложно.