1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (Петрашень, Трифонов - Применения теории групп в квантовой механике), страница 7

е.(3.69)= 1, еслиТак как матрица Х произвольна, то мы можем положить X.1es == 11 И k = /Э, и Х.1: = О Д1IЯ других значений индексов s имы получимLD~(g)Dg2(g-l)= о.k.Тогда(3.70)gEGЗаметим, что до сих пор мы не предполагали унитарности представ­лений. Поэтому равенствопредставлений.из(3.70)справедливо также для неунитарныхЕсли же представления D(i) и D(j) унитарные, то(3.70) мы получаем соотношение (3.66).8.Соотношение ортогональностиПерейдем теперь к доказательству37второго соотношенияортоro­налъности.Составим матрицуN=:LD(i) (g)XD(i) (g-l ).(3.71)gEGЗдесь Х-произволъная квадраrnзя ма1рица порядка Па' Аналогичноможно показать, что она коммутирует со всеми матрицами неприво-димою представления D(i).

Следовательно, по первой лемме Шураматрица N крата единичной, т. е.N pa=LLD~~(g)Х,tD12(g-1)= >'брао(3.72)gEG ,.):Выберем теперь такую ма1рИЦУ Х , у КОТОРОЙ единственный ОТЛИЧНЫЙОТ нуля элемент Х,,/3 равенчерезA"fj.1.Соответствующую KOHcraнтy ~ обозначимТогда получимLD~t(g)Dg~(g-l)= >."fJбра.(3.73)gEG= Q И просуммируемДля: определения >',,/3 По"'10ЖИМ в этом paвeHcrвe Робе его части по Р от 1 до n•.

Мы получимLLD~Z(g)Dg~(g-l)gEGили= >'lIfJR i(3.74)IJLD:;~(E) = Dl'fJrn = Av/3ni.(3.75)gEGОтсюда находим, что(3.76)Таким образом, мы имеем'L...J" DlJv(i)()(i) ( -1)9 D/3o9~G=6т(3.77)6 /3;:.1J0 11IЕсли представление D(i)(g) унитарно, то из (3.77) мы получаем (3.67).ДоказанНhIе нами соотношения ортогоналъности(3.66)и(3.67)MOryr быть объединенw в QДНОЙ формуле:тn(i)()9 = - Dij6раб"fj'L D (i)()9 D(J/3n·p"gEG•(3.78)Глава38Соотношение111.(3.78)Представления "oHeatHых группMOJ,КНO интерпретировать как условия ортоro­нальности и нормировки системы векторов в т-мерном пространстве.КаждъlЙ из этих векторов характеризуется тремя индексами:i,р, JJ,а его составляющие равны элементам матриц неэквиваленrныхнепри-ВОДИМЫХ предстaвnенИЙ. Вектор D~t, например, имеет составляющие(i)(i)(i)D/W(gl), DII ,,(g2), ...

, DplI(gm). Число таких векторов, соответствующих одному неприводимому представлению, скажем D(i) , равноПоэтому общее число ортонормированныхn;.векторов В этой системеравняется~nf,(3.79)iгде суммированиепроводится только по неэквиваленrnымнеприводи­мым представлениям.

В силу ортогональности все эти векторы должныбыть линейно независимыми. Так как число mmейно независимых век­торов не может превышать размерности векторного пространства,то(3.80)Отсюда,в часrnости,мы получаемважное утверждениео том,что число различных неприводимых представлений конечной группыконечно. В п.l0 этой главы мы покажем, lfi'O в действителън~всегдаимеет место равенство(3.81)9.Характеры преДCТ8ВJIеНИЙВведем понятие хара1Сmера представления.

Характером представле­нияD(g)называют функцию элементов rpуппы, определенную фор­мулойx(g) = ~ Dii(g) = SpD(g).(3.82)Выясним некоторые свойства характеров представлеНИЙ.а) Эквивалентные предста.аления имеют одинаковые характеры, таккак след матрицы инварианген относительно преобразования подобияи, следовательно, Sp y- 1 D(g)У= Sp п(о).б) Xapaкrepы матриц представления, соответствующие элементамодного класса, совпадают.В) Характеры неприводимыхортогональности:преДСТ8влеНИЙL X(i)(g)X(j)(g) = mgEG6ij,обладают свойством(3.83)39Харо"теры представлении9.где X(i)(g) и хи)(у) - характеры неприводииыx представлеНJfЙ n(i)и DU) соответственно. Учитывая свойство а), достаточно провестидоказательство (3.83) для унитарных представлений. Из(3.78) мы имеем:L: D~t(g)d!l(g) = т {;ijб,lа.(3.84)n;gEGПросуммируемобе часги этого равенства по р, и ПОLQ.Тогда получим= т njбjj = тбjj ,X(i) (g)X(j)(g),Ей(3.85)niчто и требовалосьдоказать.

для элементоводного и того же класса х(у)имеет одно и то же значение. Поэтому полученноесооТношениеможнотакже записать в видеU) - т ~ ..~ k 6 X(i)XL.J66иl] ,где k. - число элементов в классе С" а x~i)(3.86)-значение характерапредставления, соответствующее элементам этого класса.г) Характер npиводимоro представлеЮIЯD равен сумме xapatcrepoBнеприводимых npeдставлеНИЙ, на которые оно может быть разложено.для ТОГО чтобы это стало очевидным, достатоtfilо вспомнить квазидиа­гоналъный вид приведенноro представления, а также учесть свойство а).Если обозначить черезX(g)характер приводимоro представления, ТОх(у) =Lrjx(j)(g),(3.87)jгде числоrj показывает, сколько раз неприводимоепредставление D(j)входит в разложение приводимого представления D.

Из условия ор­roгональности(3.83)характеровмы легко получаем очень важнуюдля приложений формулуТ; = ~ :L: X(g)X(j)(g).(3.88)gEGОтсюда, в частности, следует, что разложение приводимого представ­ления на неприводимыe части может быть выполнено единственнымобразом.Разложение приводимого представления' D на неприводимые мыбудем символически записывать в виде суммы:D='L$jTjD(j).Глава40111.Представления конечных группЗначок ЕВ над знаком суммы должен напомнить, что вь.rpаж:ение,стоящее в правой части равенства, не является суммой матриц в обыч­ном смысле.10.РеryJlJlриое представлениеВведем понятие регуJlJlРНого представления. Пусть задана грYJПIаG.Возьмем произвольный ее элемент у, и произведем операцию сдвига•.по группе, т. е.

каждыЙ из элементов rpynnы умножим слева на оТогда, как мы знаем (см. п.! главы 11), еслиg. f:.Е, то ни один из эле­ментов rpуппы «не останется на месте». Если же98 =Е, то никакогосдвига не произойдет.Сдвиг, соответствуюЩИЙ любому элементу у"записать с помошью матрицы"Rij(g,),1g,gj =Lможно формальнопорядка т(3.89)Rti(g.)9t.tОчевидно, Ч1О в каждом столбце матрицыRимеется только одинэлемент, отличный от нуля и равный единице. ЕслиRji(9,) = 1,аRti(g.)=опри t =1- j. Матрицы9,9jR(g,),таким образом, дают представление порядка т= gj,топостроеЮlЫеrpyrmbl G, котороеназывается регулярным.Из определения реryлярного представления следует, что его харак­теры таковы:Х(В)(У8)X(R)(g.)= т, если У8 = Е, }(3.90)== О, если у, :f. Е.Разложим регулярное представление на неприводимые части, Т.

е.выясним,сколькораз в нем содержитсякаждоене при водимоепред-ставление nи) . для этого воспользуемся фоРмуЛой (3.88). Мы получим(3.91)или, согласно (3.90),Т; = ~тхШ(Е) = ХШ(Е) = nj.(3.92)тТаким образом, мыI ВИДИМ, что каждое неприводимое представлениесодержится в регулярном представлении столько же раз, каков порядокэтого неприводимоroС помощьюпредставления.этой теоремылярного представлениямы можемвыразитьчерез порядки неприводIL\fыхпорядокрегу­представлений,11.Число Henpuвoдuмыx представлении41на которые оно распадается.

Мы получим~n~=т.(3.93);Вспомним теперь, что выражение, стоящее в левой части этогоравенства, определяет число ортоroнальных векторов D~J. МЫ видим,чтоэточислосовпадаетсразмерностьювекторногопространства,в котором реализуется регулярное npедсгав.ление. Поэтому векторы D~Jобразуют в нем полную систему. Этим результатом мы воспользуемсяв следующем пункте для до:казатeлъcrвa теоремы о числе различныхнеприводимых представлений конечной группы.11.Число иеприводимых npедставлеиийХарактеры представленияX(gL), x(g2), ...

, X(gm)также можно рас­Rm.сматривать как составля::ющие вектора в т-мерном пространствеПри этом характеры неприводимых предста.влениЙ, как это следу­ет из(3.83),образуют систему ортонормированных векторов. Так какдля элементов одного класса характеры совпадают, то все такие векторыпринад.лежат подпространствухарактеризуетсяэлементамтем,чтоодного класса,произвольноro вепораRxпространсгвасостаВЛЯЮIЦИеRm.векторов,Пространство Вхсоотвeтcrвующиесовпадают друг с ДРУГОМ.F(F(gl), F(g2) , ...)дают свойствомСостаВЛЯЮIЦИеподпростра.нства Вх обла­(3.94)при любыхg' и 9 из rpуппы G.

Так как число различных соста&1JЯ­F не может превышать числа классов в группе G, 1'0ющих векторамаксимальноечисло х линейно независимыхвекторов в подnpocтpан­стве ВН равно числу классов в группе. Покажем, что произвольныйвектор F подпростра.нстваможет быть разложен по векторам х и),Rxсоответствующим неприводимhIМ представлениям rpynnы G.Так :как вектор F принадлежит пространству Вт, то он может бытьразложен по ПOJDfой сиcreме векторов D~J, и ДЛJl составляющих этоговектора будем иметьF(g')= ~ C~D~J(g').(3.95)j,a,fjИСПWIЪЗуя свойство (3.94), мы можем написатьF(g')= F(g-lg'g) = ~ C~D~JVJ-lglg).j,a,{J(3.96)Глава42111.Представления I(OHelfНЫX группУсредним полученное равенство по элементуF(g') =~ 2: 2: С~JD~J(g-lg'g)Тоrда получимg.=j,o,{J9~ ~ Е c~J ~ D~Нg-l)D~)(g')DW(g) ==9i,O,IJ1,6"и) n{;)_ 1и)и)- - ~ LJ CapD70,(g)D6{J(g)D7,(g)·т.

А9 1,а,р,7,6Используя соотношения ортогоналъности, _ 1и) т"F(g) - -т.(j),LJ CO,p~ б16бОfjD16 (g)А6N,',0',р,7,(3.67),(3.97)МЫ получим== 2- ~ с!!2 т D~;(g') =т j,0',6InjLBjX(j) (s'),(3.98)jгдеB1·-~LCU)n·0,0,.,аМЫ ВИДИМ, что произвольный вектор F Е Нх может бhIТЪ разложенпо векторам х(}). Отсюда следует, что система векторов хи) являетсяполной в подпространстве Ях, и, следовательно, число этих векторовравно числуi(классов группыG.Таким образом, мы получаем важную теорему: число ра3JIUЧНЫХHenpuвoдuмыx представлении группы равно .,ислу ее lCЛаССQ8.12.вычIIJlевиеe характеров веприводимых представлeнdМы знаем, что характеры неприводимых предетавлеНИЙ удовлетво­рJIЮТ соотношениям ортоroнальности и нормировки(3.83).Кроме того,разбивая порядок группы т на )t квадратов целых чисел, мы можемнайти согласно (3.93) порЯДЮI неприводимых представлеНИЙ, которые,очевидно,равныxapaктep3J.\fэтих npeдставлеllИЙ,соответствующихединичному элементу группы. Однако в общем случае этих условийнедостаточно для однозначного определения значений всех характеровнеприводимыxпредставлеНИЙ.Покажем сейчас,что для характеровнеприводимых представлений можно ДОПOJDiительно получить:квадра­ТИЧНЬ1е соотношения,которые позволяют решить задачу.