1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (Петрашень, Трифонов - Применения теории групп в квантовой механике), страница 5

Согласно свойству (а) в ней должен содержатьсяединИ':ПiЫЙ элемент. Так как единичный элемент Е ЯRЛЯется обратнымк самому себе, то, в силу (б), Д)IЯ каждого элеменra 9~ найдется обрат-ный элемент и~. Далее, из равенстваgEg- 1 = Е, где 9 -произволъныйУпражнения21элемент rpуппы д, следует 9U:9- 1 = gj Д)IЯ произволъноro элемента 9гpymIы G. УстанОШIенных здесь свойств совокупности !h, 92,··· ,9~ до­статочно, чтобы утверждать, что она образует инвариантную подгруппугрynlIыG.г) Если rpyппа G гомоморфна группе G, то элементы группы G, со­9i,ответствующие элементуобразуют сопряженную совокупность N 9i ,где 9i - любой из элементов группы G, соответствующих элемен­туа N - инвариантная подгруппа, соответствующая единичному9i,элеметУ группыG.для доказателъcrва этого свойства разобьем группуGна сопряжен­ные совокупностиN, 91 N , 92 N , ...

, 9k-1N.Любому элементу совокупности 9iN соответствует элемент 9i E = 9i,т. е. один и тот же элемент 9i группы д. Остается показатъ, что разнымсопряженным совокупностямположим обратное.соответствуют разные элемеНТhI. Пред­Пусть совокупностям 91N и 92N соответствуетодин и тот же элемент 91 группы д. Тогда элементу 91192 соответ­ствует 91101 = Е, откуда следует, Ч70 91192 ·принадлежит N. Но тогда-)II91 929.. и 92 = 919", что противоречит исходному предположениюо том, что сопряженные совокупности 91N и 92N различны. Такимобразом, между сопряженными СОВОКУПНОС'DIми 9iN И элементамигрупIIы G имеется однозначное соответствие.

Следовательно, группа Gизоморфна фактор-rpуппе по инвариантной подгруппе N.=На этом МЪ1 закончимрассмотрениеобщих свойств К,онеЧНЪJХrpупп.Ряд более специальныхтеорем будет доказан позднее, непосредственнов приложенияхметодов теории групп к, физическим задачам.УпражнеRИJI2.1.Элемеюы Е, А, В, С,D, Fобразуют группу56шеcroro порядкас таблицей умножения (первые множители сюит В cтpoKe t например, АВЕАВСD==п):FЕEABCDFAEDFBCВBFEDCAСCDFEABDDCABFEF FBCAEDАа) Найти порядки всех элемеюов.б) Найти подгруппы.В) Разбить rpуппу на сопряженные совокупности; убедиться В единствен­НОСТИ такого разбиения.Глава2211.

Абстрактныегруппыг) Разбить группу на классы сопряженных элементов.д) НаЙ11l инвариантные подгруппы. Убедиться, что сопряженные совохуп­1l0СТИ справа и слева для инвариантной подгруппы совпадают.е) Написать таблицу умножения для соответствующей фактор-грymrы.ж) Показатъ, что абстрактная группа 86 может иметь следуюпtие реализа­ции: rp}'lПIа перестановок трех элемешов и грYJПI8 матриц второго поряд'Ка,соответствующих вращениям и отражениям на 1Шоскости, совмещающим вер­ШИНЪ1 равностороннего треyrоJIЪНИXa.2.2.Доказать, чro порядок группы является целым крarnым порядка лю­бого ее элемеша.2.3.Используя понятие порядка элемеlfl'8 rpyппыtпостроить таблицыумножения для возможных rpупп третьего порядка, четвертого порядка.2.4.Доказать, что все элементы одного класса имеют один и тот жепорядок.2.5.Доказать, что любая подгруппа ИJЩекса2является инвариaнmой.%.6. Доказать, что в совокупности 99.9-1, где 9 пробеraeт всю грyrшy,каждblЙ элемеш класса, которому ПРlПiадлежит 9., встречается ОДlПiаховоечисло раз.Глава111Представления конечных группв первой главе мыI определили симметрию физической системы какинвариантностьнекоторойсимметриисоответствующихуравнений движения относительногруппы npeобразованиЙ.этих уравненийКаждоевызываетпреобразованиеопределенноеrpynпЪJпреобразованиеих решений.

Если уравнение инвариантно относительно некоторогопреобразования, то это еще не означает, что все его решения такжеинвариантны по отношению к этому преобразованию.Каковы возможные npeобразования: решений уравнения при опе­рациях из его ГPYJD1Ы симметрии? Оказывается, что отвеТИТЬ на этотвопрос можно, опираяСЬ только на свойства самой rpуппы. Говорят,что совокупность преобразований решений, вызываемых операциямииз группы симметрии уравнения, образует представление данной груп­пы. Далее мы дадим cтporoe определение линейного представления, ГРУIПIЫ, а в качестве примера рассмотрим преобразования симметриидля решеНИЙ уравнения Шрёдингера, принацлежащих одному и томуже собственному значению энергии.

В целом данная глава посвяще­на изучению общих свойств представлений группы и ее содержаниеявляется важным для вcero последующего изложения.1.Опредмевие представлеИИJI rpуппыРассмотрим некоторую конечную rpyпnуGс элементами91,92,... ,От. Если группа Т линейных операторов ~. в некотором про­странствеR гомоморфна группе G, то roворят, что группа Т образуетпреДСТ8аление группы G. В силу гомоморфизма мы имеем~.TIt =71,,9.·(3.1)Rn,Если пространerво R есть n-мерное векторное пространството любой его элемент z может быть разложен по портам е,=, образу­ЮIJD{М базис этого пространства:z=Хlеl+ Х2е2 + ...

+ хnе n .TОператор 9t будет определен, если мы зададим его действие на кaждыйиз ортов е". ПустьnTg,e,== L: D r,=(9a)er •r==l(3.2)Глава24111.Представления "онечных группgi нашей группы сопocraвляетсяIfDrk(gi)ll. Ясно, что единичному элементу rpулпы долж­на быть сопоставлена единичная матрица, а обратным элементам обратные матрицы. Похажем, что для матриц D выпOJПlЯется равенствоМы видим, что каждому элементуматрица(3.3)Действительно, применив к орту ek последовательно операторы ~1и Tg., МЫ получимTg.Tg,e"=L= Tg• L: D,Ic(Uj)ef' =,Drlc(gj)D/r(gi)e/ =/,'L (L D/r(gi)Drlc(gj)) е/о,/(3.4)Но, с другой стороны,Tg.~,e" ==LT!ltg,e"(3.5)D/ k (Ui9j)e/"/Сравнивая окончательные результаты в (3.4) и (3.5), мы видим, что ра­венство (3.3) действительно выполняется.

Мы будем говорить, что мат­рицы D(gi) образуют представление порядка n фynnы G. Прост­Rnранствоназывают lIространствомпространстве -представленuя,а базис в этомбазисом представления. При действии оператораT!Itна произвольнъlЙ вектор ж пространства В П мы получаемТg.ж=LxkTg.ek1с= L: X.D,k(Ui)e, = Е x~e"t,r'(3.6)rгде X~ == Е D,k(Ui)X".

Рассмотрим, как изменяется матрица представ­kления, если в пространстве Rп выбрать новый базис e~, связанныйс базисом е" линейным преобразованием:ej= L{V-l}kie~.k,(3.7)-для этого подействуем на орт ej оператором Tg,. Исполъзуя (3.7 ) , мыполучим- , = L...J VtjTg.et- = L...J VlcjD,t(Ui)e, =Tg.ej~Ic~k"=Lt,B,'VkjD,t{V-l}"е~= L{V-lDV},jе~.(3.8)2.Таким образом,Прuмеры представлениипри переходеления испыТhlВают125к новому базису матрицыпреобразованиеподоБИЯ.представ­Представлениематри­цами V- DV называется э"8и8шlентнымпо отношению к предстаШIе­иию матрицами пЕсли.матрицыпредставленияназывают унитарнымивсе унитарные,Если группа матрицD(gi)изоморфна группематриuыI дают точное представлениеrpуппы2.то представление.G,то говорят, чтоG.Примеры предстаВJIенийСреди представлений группы всегда имеется тривиальное тож­дественное представление, в котором каждому элементу группы со­поставляетсяединица.. Если элементами ГРУПIIhI ЯВЛЯЮТСЯ линеЙНЫепреобразования,то матрицыэтих преобразованийсами дают пред­ставление, изоморфное rpуппе.

эги два представления соответствуютдвумтривиальныминвариантнымподгруппам,которыеупоминалисъв предыдущйй главе.для иллюстрации других представлений группы рассмотрим получе­ние одного из представлений группы матриц С собственных линеЙНЫХпреобразованийn переменных Zl, %2'· .... ,Ж n :(3.9)Рассмотрим квадратичную формуЕ 4&J: Жi Ж t,aiJ:=(3.10)aJ:i·i,1cПреобразованиепеременнъlX Жl, Ж2, ••• , Жn индуцирует преобразова­иие коэффициентов этой формы. Действительно, если мы произведемподстановкуЖj= Е{с-l}j,ж~,,(3.11)то получим выражение квадратичной формы (3..

10) в новых (штрихо­ванных) переменных:~L..Jй.ilc{C-1} ijЖj'{c- 1} IclX'I= ~,L..J аj,ЖjI ХI'1(3.12);,1i,J:,;,lгдеaj, = Е {C- I };jt1it{Сi,1:1}l:l.(3.13)Глава26Вводя обозначениеПредставления "онечных групп111.Ilaikll=А, мы можем записать преобразованиекоэффициентов 4it в матричной форме:А' = C- 1*AC- 1,(3.14)где C- 1* - матрица, траспонированная относительно C- l • Применимтеперь кпеременным Zl, Х2, .•• ,ХП последовательно преобразованияС1 и С2. Тогда мы получим матриuуА" == Ci l * A'Ci lили= Ci 1·C11*Ac11Ci 1,А" = (C2 C I)-I*A(C2 CI)-1.Мы видим, что последовательное(3.15)применение сначала преобразова­ния C 1 и затем преобразования С2 эквивалеН1НО применению пре­образования С2Сl.

Поэтому можно yrвeр:жцать, что преобразова­ния(3.13)коэффициентовквадратичной формы образуют представ­ление группыI С.3.ПредстаВJIение rpynпы симметрииуравнения Шрёдингера, реализующеесJlнаeroсобствeRllltlX фynlЩИJlXТак как нашей основной целью является рассмотрение прШIож:енийметодов теории rpупп к физическим задачам, то уместно сразу показать,насколько важным для этих ПрШIож:ений окажется изучение предетав­леНИЙ группы.

В качестве примера рассмотрим квантовомеханическуюсистему, которая описывается уравнением Шрёдингера:[-;~ д + v(r)] t/J(r) = Et/J(r).(3.16)Предположим, что группа симметрии этой системы состоит из ортого­нальных преобразований и.,:rкак МbI знаем из главы1,I= u,r.(3.17)подетановкаr== и,-1 r Iдолжна сохранять вид уравнения(3.16).(3.18)Так как оператор Лапласаинвариантен относительно любых ортоroнальных преобразований ко­ординат, то в результате этой подстановки мы получим[- ;~ дr ' + v(u;l r )] t/J(u;lr) = Et/J(u;lr).(3.19)3.Представление группыcUAf},fempuu27в силу инвариантности уравнения Шрёдинreра относительно преОбра­зований и, должно въmолняться равенство(3.20)V(U;l r ) = V(r).Поэтому преобразованная волновая функцияф'(r') = Тu,Ф(r) == ,p(u;lr )(3.21)также является собственной функцией уравненюi Шрёдингера (3.9)с тем же собственным значением Е.

Пусть Фl(r), ... ,Фlc(r) - ПОЛНЫЙнабор оргонормированных собственных функций этого уравнения, со­ответствующих собственному значению Е. Докажем, что эти функцииобразуют базис представления группы. Действительно, каждую из пре-06разованных функций ТU • Фi (r) можно представитьв видеkТu, ф&(r)= фi (u;l r ) = L: Dji(u,)фj(r).(3.22)j=1Функции Та,'Фi(r) (iрованы,посколькупреобразован~= 1,замена(3.18)2, ...