1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (Петрашень, Трифонов - Применения теории групп в квантовой механике), страница 4

Так как мы рассматриваемконеч­ную rpуппу, то члены в этой последовательностиобязательно должны16Глава11. Абстра"тныегруппыповторяться. Пусть, например,k1k29i =9i =91,Тогдаи, следовательно,k2- k } -9iНаименьший показатель степениЕ-.h, длякоторого имееt: место равен­ствоh9i =Е,называют nоряд"ом элемента9;. Периодом или циклом элемента gi на­зывается совокупность элементов Oi,,9t Е. Очевидно, периодэлемента образует подгруппу группы G. Легко видеть, что все элемен­gl, ...=ТbI этой подгруппы коммутируют друг с другом, и, следовательно, этаподгруппа будет абеле вой.Если h -порядок элемента Oi, то 0;-1 = о; 1. Поэтому для ко­нечных групп существование обратных элементов является.

следствиемтрех других групповых свойств.4.Сопряженные совокупностиПусть Н подгруппа rpуппы G с элементами h 1 , h 2 ,.·.) h m ;порядок группы Н. Составим следующую последовательность со­вокупностей элементов группы G. Сначала возьмем элементы подгруп­пы Н, затем выберем из группы G какОЙ-ЮIбудь элемент 91, не содер­т-жamийся в Н, и составим совокупность элементов 91hl,91 h 2".·которую будем обозначатьчерез 91 Н. Выберем теперь из группы,9thт,Gэле-мент 92, который не содержится ни в Н, ни в 01Н, и составим ещеодну совокупность 92Н. Мы можем продолжать построение таких со­вокупностей, пока не исчерпаем всю группу.

В резулътате мы пoлytПlМследующую последовательность:(2.3)Совокупности элементов9iHназывают соnряженнымu сово"упностямuслева по подгруппе Н.Покажем, что построенные сопряженные совокупности не имеютобщих элементов. Действительно, предположим, что в совокупнос­тях9tH и 92Н имеется один общий элемент, например, 91 h l = 92 h 2.Тогда 92 = 9t h t h "2 1 == 91 h з, и мы получим, что 92 принадлежит со­вокупности 9tH. Но этот результат противоречит построению. Такимобразом, :к.aждый элемент груnпыженных совокупностей.Gвходит только в одну из сопря­5.Сопряженные элементы и к.ласс17Так как группа G содержит n элементов, а каждая из сопряженныхсовокупностей т ЭJ[ементов, то тЧисло k называют инде"сом= 1.подгруппы Н для группыG.Мы видим, ЧТО порядок подгруппыЯWlЯется делителем порядка группы.Аналогичнымобразом можно провести разложениегpynnы G на со­пряженные совокупности справа:Н, H9~, H9~,···, H9~-1'При построениив выборе элементовсопряженных9i.совокупностей(2.4)имеетсяпроизволПокаж.ем, что при любом допустимом выбореэлементов 9i мы получаем один и тот же набор сопряженных совокуп­ностей И, следовательно, одно и то же разложение.

Этот результат не­посредственно следует из теоремы: две сопряж:еННЪJе совокупности 9;Ни 9kH (9i и 9" -два любых элемента групIПd G) либо совпадают,либо не имеют ни одного общего элемента. Действительно, если этисовокупности имеют хотя бы один общий элемент 9i h a= 9"h/J'pто9" = 9i hah l и, следовательно, 9k Е 9iH. Но тогда любой элементсовокупности 9"Н представим в виде 9"h, := 9ihoh~lh, = 9ih6 И такжепринадлежит сопряженной совокупности 9iH.Таким образом, группа G может быть однозначно разложена на со­пряженные совокупности слева (или справа) по подгруппе Н.5.СОDpJIЖенные элементы и классПустьg'9 - некоторый элемент группы G.

Составим элеменr9i Е G. Элементы 9 и 9' называются соnряженны.м•.теперь 9i пробегает все элементы группы G. Тогда мы полу­= 9;99; 1;Пустьчимnэлементов, среди которых MOryr оказаться. одинаковые. Пустьчисло разных элементов равно k. Обозначим их через 91, 92, ... )9" ·Очевидно, что эта совокуrrnость включает в себя все элементы груп­пы G, которые сопряжены с элементом 9. Легко показать, чтовсе элементы этой совокупности являются взаимно сопряженными.-1-1 "г-1пусть 9110990 , 929fj99p . J.ОГда 990 9190-1-1-1 (-1)-1...Д е иствительно,И====92 =9р9а 919a!Jfj = 9fj9(!l 91 9fj9a·Совокупность всех взаимно сопряженных элементов называют клас­СОМ. Таким образом, элементы91,92, ...

,9"образуют класс сопряжен­ных элементов. Как м.ы ВИДИМ~ класс вполне определяется заданиемодного из элементов. Число элементов в классе называют порядкомкласса. Всякая конечная группа может бьпь разбита на несколько клас­сов сопряженных элементов. Единичный элемент rpynIПd сам по себеобразует хласс. Легко убедиться в ТОМ, что все элеменТhI одного и тогоже класса имеют одинаковый порядок.Глава1811.Абстрактные группыПокажем, что совокупность произведений элементов двух классовсостоит из целых классов.

Условно это может быть записано в следую­щем виде:CiCj =Lhijk C",(2.5)kгдеCi - совокупность элементов i-ro класса, а h jjk - целые числа.Прежде всего докажем, что есJПI элемент 9, Е CiCj, то И весь класс С"в который входит gp, принадлежит совокупности CiCj. Действительно,пусть О, = OiOj, gi Е Ci , g; Е C j . Тогда при любом 9 Е Gg-l g,g ::::: g-Igigg-Igjg Е CiCj.для доказательства формулы(2.5)(2.6)остается показать, что каждЫЙ эле­мент класса Ср входит в совокупностьCjCjодинаковое число раз.Пусть, например, элемент g, входит два раза, т. е.(2.7)причемOi # Oi',gj# gj'.(2.8)Тогда каждЫЙ элеменг g'-l g,g' (о' Е G) будет содержаться в совокуп­ностиCiCjне меньше двух раз. Действительно,O'-1 g,g' = g,-lgjgjg' == (g,-lg.g')(g,-lgjg'),g,-IО,g'причем из(2..

8)== 0,-1 0i ,gj,g'}= (g,-1 0i,g')(О,-1 0j,g'),(2.9)следует, что-J.. '-1'9 '-1 gig, -r9 gi,gИ-J.. '-1,9'-1'gjO -rО g;,o·(2 .1 О)Ясно, что элемент g,-lg,О' не может содержаться больше чем два раза,так как в противном случае с помощью аналогичногорассуждения мымогли бы показать, что элемент Ор также встречается бwrьше двух раз,что противоречит6.сделанномувначалепредположению.Инвариантная подrpуппа (нормальнЫЙ дeJIИТeJlЬ)Пусть Н - подгруппа rpyппы G и gj Е G. Составим совокупностьэлемеtпOв giHgil (элемент gi Фиксирован). Эта совокупность такжеявляется группой, так как для нее выполняются все групповые аксио­мы. Такую подгруппу называют подобной подrpynпе Н.

Если 9i Е Н ,1'0 подобная подгруппа, очевидно, будет совпадать с Н. Однако, еCJПfgi f/. Н, то в общемпы G, отличную отслучае мы получим некоторую подгруппу груп­Н. В тех случаях, когда подгруппа Н совпадаетсо всеми своими подобными подrpуппами, она называется инвариант­ной подгруппой или нормальным делителем. Инвариантную подrpуппу7.Фактор-группа19мы будем обозначатьинвариаlПНаятовместе сжит9.буквой N~· Из ·определения следует, что еCJПfподгруппа содержит некоторый элемент 9 гpymrы G,IDIМона содержит ивесь класс,к которому принадле­Поэтому говорят, что инвариaнrnаяподгруппа состоит из uелыхклассов группы.для инвариантной подгруппыNгруппыGсопряженные совокуп­НОСТИ слева и справа совпадают. Действительно,9i Nтак как== 9i N 9;19i = N9i,(2.11)9iN 9; 1 = N.(2.12)Всякая группа имеет две тривиальные инвариaнrныеподгруппы:первая совпадает с С~'\IОЙ группой, а вторая состоит из единичного эле­мента группы.

грyIпIыI' не имеющие инвариантных подгрупп, отличныхот тривиальных,7.называютсяnростыми.Фак.тор-rpуппаПусть N - инвар~антная подгруппа группына сопряженные совокупности по группе N:G.Разложим груnпyGN, 9. N , 92N, ... ,9,,-.N.Образуем теперь -совокупность 91N92N, которая состоит из различ­ных элемеlfГOВ 91nа92nр, когда Па И Пр независимо пробегают всюподгруппу N. Легко видеть, что9. N 92 N== 91929i 1N92 N= 9.92 NN = 9.92 N == 9зN.(2.13)Если совокупность 91N92N называть произведеlDlем совокупнос­92N, то можно сказать, что произведениядвух сопряженныхс N совокупностей дают опять некоторую сопряженную с N сово­тей 91Н икупность. Далее, умножение (в указанном смысле) сопряженной ссовокупности наNNслева или справа не изменяет этой сопряженнойсовокупнocrи:N9 J N== 91911NgIN = 91 NNдля каждой сопряженной совокупности9iN= 91N.(2.14)имеется такая сопряжен­ная совокупность 9;lN, что их произведениеравно N:9;INgiNИз этих результатовследует,= NN = N.что сопряженные(2.15)совокупностиинва­риантной подrpуnпы можно рассматривать как элементы некоторойновой группы, в которой N иrpает роль единичного элемента.

ЭТУгруnпy называют фактор-группой по инвариантной подгруппе. Ее по­рядок равен индексу инвариантной подгруппы.ПIава208.11. АбстрактныегруппыИзоморфизм и гомоморфизм rpуппЕсли между элементами двух групп существует взаимно однознач­ное соответствие,котороене нарушаетсяпри rpyпnовомумножении,то такие rpуппы называются uз0морфны.м.. Пусть G и G - изоморф­ные группыI. Тогда, если элементам и; и g" rpуппы G соответствуютэлементы gi и g1c группы д:gi +-+то9i9"9i,91с +-+9",= 91 +-+ 9, = 9i9,,·Установление изоморфизма групп позволяет свести исследование рас­сматриваемой группы к изучению другой грyIп1ыI' изоморфной С нею.Другим важным понятием в теории rpyrm является понятие го­моморфизма.

Если каждому элеменгу rpynпы G соответствует толькоодин определенный элемент группы д, а каждому элементу грyJпIы GG, причем это сoorвeтсгвиесохраняется при rpynповом умножении, то говорят, что rpуппа Groмоморфна группе G. Гомоморфные группы обладают следующимисоответствует несколько элементов группысвойствами.а) Если rpуппа G roмоморфна группе G, то единичному элементугруппы G соответствует единичный элемекr группы д. Действительно,пусть Е - единИ':ПiЫЙ элемент rpyrmbl G, тогда для любого 9 Е GЕ9 = оЕ = 9; пусть Ё и 9 - элементы из rpyJпIы д, соответствующиеЕ и и, тогда, в силу гомоморфизма групп,Во =йЕ =0,orкyдa следует, что Е - единичный элемент JPYППЫ д.б) Если rpуппа G гомоморфна группе G, то взаимно обратнымэлементам группы G соответствуют взаимно обратные элементы груп-ПЫ д.

Действительно, пусть 9ig, = Е, тогда, в силу соответствия,9ig" == Е.в) Если rpуппа G roмоморфна rpynne G, 1'0 все элемеНТЫгруппы G,которые соответствуют единичному элеменry грyJпIы д, образуют ин­вариантную подгрyrmy N rpуппыI G. Действительно, пусть единичномуIэлементу Е группы G соответствуют элементы !1i, !h, ... ,g, груп ..пы G. Тогда произведению 9;9~ соответствует ЕЕ Е. Следовательно,9;9~ =и совокупность 91' o~,,9~ зaмкнyra относительно груп­g;...=пового умножения.