1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (Петрашень, Трифонов - Применения теории групп в квантовой механике), страница 8

В главе11бьmо доказано, что всевозможные произведения элеменroв двух клас­сов группы образуют совокупность, состоящую из целых классов этой12.Вычисление характеров Henpивoдuмых представлениигруппы. Этот результат был записан нами в виде равенстваС.С;=L43(2.5):h,jlc Clc.(3.99)kРассмотрим теперь одно из неприводимых npeдставлений D<P)поряд.ха Пр группы G. Составим произведения матриц ЭТОГО пред­crавления, соответствующих npoизведениям элементов, образующихсовокупность CiCj:9i Е Ci, 9j Е Cj.D<P)(9i)D(P)(9j),Напишем теперь матрицы представления п<Р) ~ соответствующие эле­hi;1cCI;. Очевидно, что в силу (3.99) постро­ментам совокупности Еенные такимобразомIcСОВОкyIПfОСТИматрицпредставлениядолжнысовпадать.

Ясно, что будет иметь место равенствоL n(P)(gi)D(P)(9;) = L"ЕС,ha;IcD(P) (91с)·(3.100)9tECt9,ЕС,Если ввести обозначениеs1") ==LD(P)(9i),(3.101)9,ЕС,то формула(3.100)может быть переписана в видеSi(P)SY) = Lhijlc Sr).(3.102)lсНо матрицы SY') кратны единичным (см. ynp.3.3):sl.!) = ~~) Еп•8l'•(3.103)Найдем след матрицы Sr). с одной стороны, мы имеемSpS?) =LSpD(P)(9i) = ~X~),(3.104)91ЕС.гдеki-число элементов в классе С;. С дрyroй стороны,Sp SY') == np~r)·(3.105)Поэтому,(3.106)Глава44111.Представления конечных группПодставляя (3.103) в (3.102) и ИСПWIЪЗуя (3.106), мы получим соотно­шения(р)(р) -~(р)kikj'X.i 'Х.; - Пр LJ h.j,k,'X., ,(3.107)1которым должны удовлетворять характеры неприводимых предcrавле­ний.

Практически, как правило, нет необходимости решать эти урав­нения, поскольку характеры представлений большинства конечныхгрупп, ИСПО.1IЪЗуемых в приложениях, вычислены и затабулированы.Упражнения3.1. Доказать, что любое предетаВJIение простой группы (Т. е. группыбез нормального делителя) изоморфно самой rpyппе.3.2.С помощью первой леммы Шура доказать, что все неприводнмыепредставления абелевой грynпы первого порядка.3.3.С помощью первой леммы Шура доказать, что сумма матриц непри­водимогопредставления,соответствующих элементам одного класса,кратнаединичной.3.4.Построить матрицы регулярного представления для группы шестого3.5.Доказать, что обратным элеметам соответствуют КОМI1Лексно сопря­порядка (см.

ynp.2.1)..женные характеры представления.3.6. Доказать, что равенство ~ Е x(g)x(g) == 1 является достаточным9условием неприводимости представления.3.7.Доказать, что сумма по группе матричных элементов любого неприво­ДИМОГО представления, кроме тождественного, равна нулю.ГлаваNКОМПОЗИЦИИ предстаВJIенИЙи прямое произведение группПеред тем как переходить к приложениям, введем еще понятиекомпозиции, или прямоro произведения, представлений rpynnы и по­нятие ПРSIМого произведенИJI rpупп.С этой целью введем сначалапонятие прямого произведенИJI матриц.1.ПРJIМое произведение матрицПусть имеются две квадратные матрицы:и матрица В порядка т с элементамиматрицаА порядкаaik (i, k == 1, 2, ...

,n), }Ьор (а, р = 1, 2" .. ) т).n(4.1)ПРЯМЫМ nроuзведенuе.м матрицы А на матрицу В называют суnер.мam­рицу А х В порядкаn, (i, k)-й элемент которой есть матриuа 4i,Bпорядка т. для примера напишем ПРJL\fое npoизведениедвух матрицвторого порядка:411( 421а12) х (Ь 1lа22b12) == (4 11 В 412ВB) ==~1 Ь22а21В422ан bl1411 Ь 12а12 6 11412 Ь 124l1~1а21 ы l421 ~141l~2421 b12421 ~2412Ь.21422 ы l422~1412~2а22 Ь 124nЬn(4.2)МЫ ВИДИМ, что элементами матрицы А х В являются всевозможныепроизведения элементов матриц А и В. для нумерации строк и столб­цов прямого произведения двух матриц удобно использовать не один,а два индекса. Тогда мы можем написать{А х B}ia,kp == 4ikbap.(4.3)Очевидно, что порядок прямоro npoизведения матриц равен произве­дению порядков сомножителей.Из определения прямого npoизведенияматриц следует,что пря­мое произведение диагональных ма1plЩ будет диагональной матрицей,а прямое проиэведение единичных матриц-еДИЮlЧНОЙ матрицей.46ГлаваIV.Комnозuцuя nредсmа8JleНUЙ группыРассмотрим некоторые свойства npямоro произведения матриц:а) ЕCJDI АО) и А(2) -матрицы порядка n, а B(l) и в(2) - матрицыпорядка т, то(A(l) Х B(I)) (А(2) х в(2))для доказательcrва напишем(ia,= A(l) А(2) х B(l) в(2).(4.4)k{J)-Й элемент для левой и правойчастей этого равенства.

Элемент матрицы, написанной слева, равенЭлемент матрицы, написанной справа в формуле(4.4),можно предста­вить в виде(4.6)и t следовательно,он равен соответствующемуэлементу матрицы, сто­ящей в левой части формулы (4.4). Таким образом, мы видим, чтоформула (4.4) действительно имеет место.б) Если матриuы А и В унитарные, то маТРlЩа А х В тожеунитарная.Действительно, из свойства а) следует, что(4.7)с дрyroй CТOpoHbl t очевидно, что(А х В)+= А+ Х в+.(4.8)= A- 1 ,Так как матрицы А и В унитарные, то А+в+==в- 1 , И мы= A- 1 Х в- = (А х в)-l,(4.9)имеем(А х В)+ = А+ Х в+1что и требовалось доказать.мы ввели понятие прямоro произведения для квадратных матриц.Однако иногда оказывается полезным понятие пря:моro npoизведенияпрямоyroльиыхматриц,которое определяетсятак же, как и для квад­ратных.

Ясно, что MOIНO рассматривать прямое произведение не двух,а произвольноroчисла матриц.2.2.Композиция представлении группы47КОМПОЗИЦИJI предcтaВJIенd rpуппыТеперь мы можем ввести понятие композиции, или nрямого произве­дения, представлений rpуппы.Пусть заданы два представленияD и D' (не обязательно неприво­димых) группы а.

Мы будем рассматривать матрицы этих представ­лений:как матрицы преобразованийсоответственно в11- И '2-мерныхпространствах В'1 и В'2. Тогда для ортов и, пространства Н,. имеемTgUi=LDma:(g)um ,(4.10)та для ортов"kпространстваполучимRl2i: = L D'nlc(g)Vn.(4.11)17knВыберем в пространcrвe ~. вектор ж (Zl' Ж2" .• , ж,.), а в простран­стве Н'2 вектор !I (Yl, У2,··· 'У'2)' Образуем 1112 произведений ZiYkсоста.вля:ющих векторов ж и'11и будем рассматривать эти числа каккомпоненты вектора в пространстве R'.12' этот вектор будем называтьпрямым произведением вeкrOpoB ж и у. Пространство R'.11 будем на­зывать прЯМЫМ npoизведением прос1рЗнств Rl. и Я' 2 И обозначать черезх В'2.

Ясно, что базис пространства Н,. х Н' 2 может быть образованиз прямых произведений базисных OprOB Ui И Vk пространств ~1 и Н' 2 :R,J1Dii=Ui Х 17k.ОпредеJDIМ теперь линейные операторыRl1 Х R12 ' формулой(4.12)7;', действующиевпростран -ствеТg'WiJ:= ~Ui Х f;17J: = LDтi(g)Um Х D~k(g)Vn =т,п=L D i(g)D'n1c(g)1Dmn .m(4.13)т,Пf','Мы вИДИМ, что операторамсоответствуют матрицы, являющиесяпрJIМЫМ произведением матриц D(g) и D' (g) .Проверим, что матрицы D(g) Х D'(g) образуют представление груп­пы а. Действительно, пустьg.;g"= g"так чтоD(gi)D(gk) = D(gl), }D'(gi)D'(gk) = D'(gl).(4.14)Тогда, используя свойcrво а) прямоro произведения матриц, мы по­лучим(D(ga:) х D'(ga:») (D(gk) х D'(gk»)= (D(g.;)D(g,,»)=х (n'(gi)D'(gk»)= D(g,) х п'(т).(4.15)Глава48IVКомnозuция nредсmtl8ЛенийгруппыПредставление матриuами D(g) Х D'(g) называют "омпозицией или пря­мым произведением представлений D(g) и D'(g).

Если представления Dи п' унитарны, то по свойству б) их прямое произведение такжеунитарно.Если представленияи nи) непривоДИМbl, то их прямое про­n(i)изведение оказывается в общем случае приводимым. Разложение ком­позиции представленийна неприводимыепредставленияназываетсяразложением Клебша- Гордана:n(i)(g) х D(j)(g) = I: 'Yij/n(l) (g),Ф(4.16)1где D(l)(g) -неприводимыe представления группы G. Мы знаем, чтос помощью соотношеНИЙ ортоroналъности для xapa.кrepoB неприво­димых представлений и по извеcтныM характерам приводимого пред­ставленияможноопределить,столькораз в нем содержитсякаждоенеприводимое представление.

Используя формулу (З.88)t мы получим'Yij.= ~ 2: ~·)(g)х(iЛ(g),(4.17)9где через х(iЛ(g) обозначены характеры представления n(i) х DU).Найдем выражение для характеров x(i j ). Так как элементы матрицыn(i) х n и ) имеют вид{ D(i) Х пи)} la,1cfJ--n(i) D U)'1сa(3)(4.18)то характер X(i j ) этого представления, очевидно, равеНх(iЛ(g) = Sp (D(i)(g) Х n(t)(g» =I:{n(i)(g) х nU)(g) }/а,/а =1,0=2: D~:)(g)D~J(g) = X(i)(g)X(j)(g).(4.19)1,0Таким образом, характер композиции двух предста.влеНИЙ равенпроизведению характеров сомножителей.

Подстав.ляя: этот результатв формулу(4.17),мы получим'Yij. =~ I: x.<·)(g)X(i)(g)X(j)(g).(4.20)9Пусть композиция неприводимых представлений D(i) и nи) раз­ложена на неприводимые части, так что матрицы этого представления3.ПрJШое nроuзведенuе групп49имеют квазидиагональный вид. Мы знаем, что такое разложение полу­чается в результате перехода к новому базису. В нашем случае это про-исходит в результате перехода от базиса 'Шр " = и~) х t1~) К базису w~'7'),s нумерует неэквивалентные неприводимыIe представления,где значока индекс 1, yчJпыIает кратность неприводимоroпредставления D(') ,причем новые орты ЯВЛЯЮТСЯ линейной комбинацией старых:W~·7.)= ~(ip,jkls, 1" q)u~) х ,,~).(4.21)р,lcКоэффициенты(ip, jkls, 1" q)в этой формуле называют коэффици­ентами Клебша-Гордана или коэффициентами Виrнера.Если орты W~'7~) И i ) Х "'~) образуют ортонормированныебазисы,то связывающая их матрица с элементамидолжнаu1(ip, jkls, 1" q)быть унитарной.

В этом случае для коэффициентов Клебmа- Горданавыполняютсяследующие условия ортогональности:L (ip, jkls, 1"L (ip, j"lS,1"q)(ip, jkls', 1:, q') == 6qч 6", 61.1-'(4.22)q)(ip', jk'rS,I" q) = 6ур 6lclc , ..(4.23)р,"',7.,1Аналогичнымобразом может быть рассмотрена композиция трехи большего числа предстаWIенИЙ.3.Прямое произведение группВведем понятие прямого произведенияrpyrmи исследуем непри­водимые представления прямого произведения.Пусть заданы две группы: G(l) с элементами gi1) и G(2) с элементами g~2). Определимновую группу G(l) Х G(2) , элементами которой явля-ются пары(gi1), g~», причем порядок расположения элементов в паренесуществен. Такая группа называется прямым nроuзведенuем групп G(l)и G(2). Закон умножениядля нее определяетсяследующим образом:(п!Р.

п~»(п~), п~)гдеп~} = gil)g~),= (g~J, п~}).п~} = g~2)g~).(4.24)(4.25)Легко показать, что единичный элемент прямого произведения групп-это пара единичных элементов сомножителей. обратным элементомпо отношению к (gi1), gg) будет ЭJ1емент (gi1)-l, ggH). Важной ре­ализацией прямого произведения двух групп является случай, когда50Глава ~ Композиция представлении группыrpynIThI G(I) и G(2) оказываются коммутирующими подгруппами од­ной rpуппы. В этом случае пара элементов (9i1) , 9~») поним:ается какрезулътar rpупповоro умножения элементов.