1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (Петрашень, Трифонов - Применения теории групп в квантовой механике), страница 9

Покажем, что из неком­мyrирующих подrpупп таким образом нельзя составить npимоro произ­ведения. Действительно, согласно закону умножения(1)(уа,и(2») (9(1) g(2»{jа' Jf1(4.24)мы имеем_ 9(1)9(I)g(2)g(2)- а ~ 13 (jf.(4.26)Если теперь в качестве gi1) и g~) взять единичные элементы группы,то получим соотношение(2)g(l) _ 9(1)9(2)g {j 01- ~ (j'которое не ВЬПIолняется,(4.27)если рассматриваемыеподгруппы не комму"тируют.Докажем, что число классов группы G(1) Х G(2) равно произведениючисел классов сомножителей. для этого рассмотрим совокупность техэлементов rpуппы a<l) х G(2), в которых первый множитель принад­лежит определенномуклассу rpynnы G(1), а второй - определенномуклассу rpуппы G(2). Покажем, что эти элементы rpуппы G(I) Х G(2)образуют класс.

В самом деле, если элемент (gil), g~2» принадлежитвыдленнойй совокyrrnости, то для любого элемента (9~O J g~2) rpуппымы будем иметь(g~l) J g~2») -1 (gi1), 9~2) (9~1) J 9~2))== (g~l)-l, g~2)-I)(g~), g~2»(g~I), g~2»_ ( (1)-1 (1) (1)-979а91=,9,(2)-1 g{j(2) g6(2),(4.28)Т. е. получим элемент, npинадлежаЩИЙ той же совокупности. Нетрудноувидеть, что все элементы совокупности MOIyr быть получены с помо­щью сопряжения из одного. Таким образом, выделенная совокупностьэлементов действительно образует класс rpyrmblG(l)ХG(2).Отсюдаследует, что число классов прямоro произведенияравна произведеюuoчисел классов сомножителей.4.Неприводимые представлеlDUlПРJIМОro npоизведенияrpynnПерейдем теперь к рассмотрению представлений пря:моro произ­1ведения групп.

Пусть задано предстаWlение D(gi » порядка 11 группы G(l) и представление d (g~» порядка 12 группы а<2) . Покажем, что4.Henpивoдuмыe представления nря.мого nроuзведенuя групп51прямое произведение матриц D(9i1») х п' (9~») образует представлениепорядка'l l2группы G(l) х G(2).Действительно,если(1) 9(2») (0(1) 9(2») _ (9(1) 9(2»)(9о,fJlЖ'fJl trJ' {1"то согласно(4.29)(4.4) для прямых произведений матрицмы получаем аналогичное равенство:(D(gi'» х D'(g~2»)(D(g~~» х D'(gW») == (D(g~»D(g~~») х (п'(y~2»п'(y~:))= п(y~1) х п'(y~~).(4.30)Докажем теперь, что если предстамения D и п' неприводимы, топредстамение D х п' группы G(l) Х G(2) также неприводимо.для этогомы покажем, что единственнаяматрица, которая коммутируетсо всемиматрицами D х D' , крата единИ'DiОЙ.

Обозначим эту матрицу через Х .Мы знаем, что матрицу D х п' можно рассматривать как суперматрицу,элементами которой являются матрицы DjkD'. Запишем матрицу Хв виде аналогичной супермаТР~1 с элементами Хи"которые в своюочередь являются матрицами того же порядка, что и п'. Суперматри­цы одинаковой структуры можно перемножатъ, как обычные матрицы(см. упр.4.2). Итак, предположим, что матрица Х коммугирует со все-ми матрицамиDхD'.НаПlШlем сначала условие коммутации с темиматрицами, которые соответствуют единичному элементу группыG(l),Т.

е. с матрицамиЕ/) xп'(y~2». Записанныекак суперматрицы,они яме­юr вид матрицы, кратной единичной, с диагональными элементами,равными матрице п'. Мы имеемп'ооОооОD' Ооо...D'=Глава52IVКомпозиция представлениигруппыили111.L Xi/c 6L бi/с D' Xk=1"=1kj D' =kj ,откудаXjjD' = D'Xij.(4.31)Таким образом, мы видим, что все субматрицы Хц ДОЛЖНЫ коммути­ровать со всеми матрицами неприводимого представления группыG(2) ,и поэтому они по первой лемме Шура кратны единичным матрицам:(4.32)Xik == XikE'2'где Xik -некоторые числа. Запишем теперь условие коммугации Хс теми матрицами прямого произведения, которые соответствуют еди-ничному элементу группыЭти матрицы имеют вид D х E 12 •G(2).Записанное через суперматрИЦЪJ условие коммутации имеет видLXik D kjE'2=kL(4.32),образом,11мы(4.33)XikDkjмы имеем=LkрядкаDik E '2 Xk j.kОтсюда, используя формулуТакимL(4.34)Di/cXkj.kпоказали,чтоматрицас элементамиXikпо­коммугирует со всеми матриuами неприводимого представле-ния D(g(1)), следовательно, эта матрица кратна единичной и ХиС = бikХ.Но отсюда также следует, что матрица Х, имеющая вид~.I~~'~ ~.l~~/~••(x,.lE'2Xl 12E '2~I./~~r~) ,•• '.'.

'••••••X'lliE'2также крата единичной. Таким образом, наше утверждениедоказано.Представления rpуппы G(I) х G(2) , построенные таким образомиз неприводимых представлений групп G(I) и G(2) , не MOryт бытьэквивалентны друг другу.Это легко проверить по ортоroнальностихарактеров этих представлений, которые равны произведениям харак­теров представлений D и п'. Доказательство предостаWIЯем читателю.Число представлений D х п', ·очевидно, равно произведению числаразличных неприводимых представленийDна число различных не­приводимых представлений п' или произведению чисел хлассоВ в груп-пахG(l)иG(2).Но так как число ЮIассов прямого произведенияравнокак раз произведениючисел классов сомножителей,то, таким образом,МbI получаем все неприводимыепредставления группыG(I)хG(2).Упражнения53Упражнения4.1.Доказать, что тождественное представление содержится в КО:МПОЗИIJИИдвух неприводимых представлений только в том случае, если эти предста.аленияявляются комплексно сопряженными.4.2.Убедиться в том, что суперматрицы с одинаковым разбиением на стро­ки и столбцы можно перемножать по тому же правилу, что и обычные матрицы.4.3.Доказать, что построенные в п.3неприводимые представления пря­моro произведения двух групп не эквивалентны.4.4.

Показать, что подгруппы (gi1) , Е(2») и (E(I), y~2») будуг нормальнымиделителями группы G(I) Х G(2) .4.5. Доказать, что перестановка множителей в примом произведении мат­риц эквивалентна некоroрому преобразованию подобия: А х В = V(B х A)V- 1 •ГлаваVТеорема ВигнераПосле того, как мы познакомились с некоторыми основными по­нятиями И теоремами теории конечных групп, можно перейти к рас­смотрению конкретных групп и к приложениям методов теории группк физическим задачам. Большая часть приложений, как мы увидим~основана на тереме Ви.гнера, которая будет доказана в этой главе.1.Симметрия квантовомеханической системыотносительно rpуппы преобразованийМы знаем, что состояние квантовомеханической.ваетсярешением уравнения Шрёдингера.системы описы-Поэтому симметрия этойсистемы относительно некоторой группы означает инвариантность со­ответствующего уравнения Шрёдингера относительно преобразованийэтой IРУППЫ.

Мы Оlраничимся сейчас рассмотрением стационарнойзадачи, для которой уравнение Шрёдингера и~еет видН(Х)ф(х)где х-= Еф(х),(5.1 )совокупность переменных, характеризующих конфигураци­онное пространство системы. Напомним (см. главувариаlfl1l0СТЬЮ111),что под ин­уравнения Шрёдингера мы понимаем сохранение еговида при подстановке х-+g-l x, ф(ж)-+fgф(х) = ф(g-lх), где 9 -преобразование из группы симметрии G системы. Очевидно, что ин­вариантность уравнения Шрёдингера относительно преобразования 9является следствием инвариантности гамипьтониана системы:ii(gж) == ii(ж).Покажем, что условие инвариантности уравнения(5.2)(5.1)относитель­но групnыIGможет быть записано в виде условия хоммугативностиоператоровfgи оператора энерГии Н:(5.2а)Пусть фв(Х) - собственная функция оператора Н, соответствую­щая собственному значению Е. Тогда Тg'ФЕ(Х) - также собственная1.Сu.м.метрuя "вантовомеханuчес"ой системыфункция оператораii,55соответствующая тому же собственному .значе­нию, т.е.НоЕfgфЕ == ТgiiфЕ.Таким образом, для любой собственной функции оператораимеемiiмыiiтg'Фв = fgН'ФЕ.Очевидно,что это равенство справедливо также для любой функ­ции, которая может быть разложена по собственныIM функциям опера-тора Н.Условие (5.2) инвариантности гамильтониана можно также записатьв матричной форме.

Если использовать некоторую поJU-lУЮ системуортонормированных функций 'Фi(Х) , то из (5.2а) получимLHikDkj(g) = L(5.2б)Dis(g)Hsj,kгде Hik ==J фjНфk dx,ПрактическиприходитсяприDis ==J 1Рifgфs dx.решенииограничиватьсяквантовомеханическойнекоторойнеполнойзадачичастои неортонормиро­ванной системой функций. Докажем, что в этом случае условие инва­риантности (5.2) сохранит свой вид, если только на выбранной системефункций реализуется унитарное представление группы G. Предполо­ЖИМ, что для любого элемента 9 имеет место равенствоТgФi(Z) = 'Фi(g-I х ) = LDki(g)Фk(Х).(5.3)kПокажем, что матрицыD(g)образуют представление грyrшы. С этойцелью рассмотрим два преобразо"ания УlМы имеем, с одной стороны,Фi((g1g2)-l х )==и92,И пусть9192 =='Фi(gз 1х ) == LD ki (gЗ)ФI:(Х);9з.(5.4)kс другОй стороны,фi ((9192) -1 ~) == Фi (g2 1gllж) ===LDji (g2)'Фj(91 Iz )=LjjСравнивая результатыIDji(g2) LDkj(91)Фk(Z).1:(5.4) и (5.5), мы получаемDki(gз) = LjD kj(g1)Dji (g2),(5.5)Глава У.

Теорема Вигнера56илиD(g) )D(g2) ==D(gз).Составим теперь матрицу гамильтонианаHik=/ Ф;(ж)ii(Ж)Фk(Ж) dжи аналогичную матрицу на штрихованных Функциях 'Ф/(ж)Покажем,= Фi(g-lж):что в силу инвариантности гамильтониана orносительнопрсобразования9(5.6)Действительно,Сделаем замену переменой g-lx= х'= dx').(dxТогда в силу(5.2)получимHIk = /Фi(ж')Н(gж')'Фk(Ж') dж' =С другой стороны, согласнон:"=L: //фj(ж)Н(ж)'Фk(Ж) dж =H ik .(5.3)i51i (g)ф,(ж)Н(ж)Djk(g)'Фj(Ж) dж = L i5Ii HIjDjk,1,;l,jт.е.н'== D+HD.Если матрицы D унитарные, Т.

е. DI= п-(5.7)1,тоH'=D-1HD.(5.7а)Но так как Н' = Н, то окончательно получаемD(g)H= HD(g),(5.8)что и требовалось доказать.Таким образом, условие симметрии квантовомеханической систе­группы преобразований может быть выражено какмы относительноусловие коммутацииматрицы гамилътонианапредставления этой группы.с матрицами унитарного2.2.Симметрия системы частиц, совершающих малые колебания57Симметрия системы частиц,совершающих малые колебанииЭнергия системычастиц, совершающих малые колебания, пред­Nставляется в виде суммы квадратичных форм Д1JЯ кинетической и по­тенциальной энергий:(5.9)где mi -массы чаСТИЦ, а Хё -декартовы состаВЛЯЮllще смещенийиз положений равновесия.

Величина тiЖi при классическом рассмо­- состаВЛЯЮЩУЮ оператора импульса, имеюшую вид -т д~c. Как известно,трении обозначает составляющую импульса, а при квантовомрешение задачи на малые колебания значительно упрощается в резуль­тате одновременной диаroнализации матриц этих двух квадратичныхIlvikllформ. Матрицаявляется вещественной эрмитовой матрицей.Если ввести новые переменные Yi...;тiЖi, то кинетическая энергия=выразится в виде суммы квадратов:Т=~N12 LyI,(5.10)1=1иследовательно,задачасводитсятеперьк диагонализацииматрицыквадратичной формы потенциальной энергии, которая в новых пере­менных примет вид1V= VikYiY1c,2 .1,"L(5.11 )LМатрицаIlvikll,так же как иIlvikll,эрмитова .

Поэтому ее можнопривести к диагональному ВИДУ с помощью унитарного преобразова­ния и:и - t 'бu == [л 1, Л2,... , л3Н ],где ЛI, Л2,...,>'ЗN-собственные значения матрицыIV. Если мывведем новые переменные(5.12)то получимV~2= -21 L.JЛjqi·.1(5.13)Thaвa у. Теорема Вигнера58При этом матрица кинетической энергии в силу унитарности npeобра­зования(5.12) сохранит свой вид:Т=1 ~ .2- LJqj.2 .(5.14)•Если система устойчива, т. е. в положении равновесия потенциаль­ная энерrия имеет минимум, то собственные значения'\iдолжны бытьнеоорицательны и MOгyr бытъ представлены в виде'\; = 1.U1.(5.15)Фунщия Лагран:жа, записанная впеременныхL=Т -Vqi,~ 222= -21 LJ(tii-l.Ujqi),.(5.16)•приводит к системе независимых уравнений движения:qi + I.U;Qi == о.Orсюда следует, что величиныI.Uj.Qi.(t)(5.17)описывают независимые осцилля­Qiторы с частотамиПеременныеназывают нормальными координа­тами системы.

При квантовомеханическом описании рассматриваемойсистемы ее оператор Гамильтона jjпринимает вид= т + v в НОР~fальных координатахjNIYi=laQiii = ~ L: (- ",2-2 + I.Ulq:)2И уравнение Шрёдингера приводится к системенений1 2 8223N(5. 16а)независимыхурав­I.U;-;i''' дq'f'Ф(q,) + 2"q,'Ф(q,)= Е'Ф(q,).(5.17a)Предположим теперь, Что положеlUUl равновесия часпщ, соверша­ющих малые колебания, образуют некоторую симметричную конфигу­рацию,например являютсявершинамиправильноroшестиугольника,куба и Т. п. При использовании обозначения для смещеНИЙ из положе­ний равновесия мы должны помнить, что значок i нумерует не толькоразличные частицы' но и декартовы СОСтaвJlJllOщие смещения одной ча­стицы.