1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (Петрашень, Трифонов - Применения теории групп в квантовой механике), страница 2

Очень ценными являются изложения тео­рии групп для физиков, написанные математиками, в первую очередьследует отметить главу по теории групп в курсе высшей математикиакад. В. и. Смирнова. Превосходное изложение теории предcrавленийrpуппы вращении и группы Лоренца имеется в книге и. М. Гелъфанда,Р. А Минлоса, З. я. Шапиро [6]. Весьма полезными являются моно­rpaфив Мурнагана [7] и Бёрнера [8]. По приложениям теории rpуппк физике можно также отметить книги Ломонта [9], Хамермеша [10]и Макуини [11].Область применения в физике методов теории групп непрерывнорасширяется,поэтому в наcrоящеевремя вряд ли возможнонаписатьмоноrpaфию, охватывающую все эти применения.

По-видимому, болееL)Список этих КНИГ СМ. на с. 273.Предисловие к первому изданию7целесообразно вхлючать соответствующие приложения теории rpyпnв моноrpафии или учебники, посвященные специальным физическимпроблемам, как ЭТО, например, сделано в курсе теоретической физикиЛандау и Лифшица. Можно ожидать, что со временем такая тенденциябудет только усиливаться.В то же время физику-теоретику полезно иметь общие представле­ния об основных идеях и методах теории rpулп, применяемых в физике.Мы стремились к тому, чтобы наш курс способствовал этому.

Крометото, мы соЧJПI целесообразным включить в книгу ряд вопросов, кото­рые не рассматриваются в известных нам моноrpафиях или излагаютсятам недостаточно подробно. Эro в первую очередь относится к исследо­DaКИЮ симметрии шредингеровекой ВОJПIовой фyнкJ.J;ии, К объяснению(дополнительного) вырождения в кулоновеком поле и к некоторымвопросам теории твердото тела.В нашем курсе мыI оrpаничили облacrь приложений теорииrpyrmзадачами квантовой механики. Таким образом, эту книгу можно рас­сматривать как первую часть более широкого курса,вторая частькоторого должна быть посвящена применению теоретико-групповыхметодов в теории квантованных полей. Мы заканчиваем эту книryизложением смежнbIX вопросов, хасающихся условий релятивистскойинвариантности в квантовой теории.Авторы выражают глубокую блаroдарность М.

Н. Адамову, прочи­тавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний, А. Г. Жи­личу и И. Б. Левинсону, просмотревшим отдельные главы. При под­готовке рукописи к печати МbI воспользовалисъ любезной помоlДЬЮА. А Киселева, Б. я. Фрезинскоro, Р. А. Эвареетова, А А. Березинаи г. А Натанзона.М. и. ПеmрашеньЕ. Д. ТрифоН08Глава1Введениев первой главе мы постараемся, насколько это возможно в началекниги, показать естественность и целесообразность примеlфНИЯ теорииrpупп к решению физических задач. Мы надеемся, что это поможетчитателю, интересующемуся в основном приложениями теории rpуппк физике, усвоить некоторые общие сведения об абстрактных rpуппах,необходимые для ПРИJIожениЙ.1.Свойства симметрии физических системПри исследовании различных физических систем часто удаетсяпредсгавить обнаруженныIe свойства и закономерности в форме зако­нов симметрии. Эти законы выражаются в инвариантности (незави­симости вида) уравнений движения рассматриваемой физической си­стемы относительно некоторых определенных преобразованиЙ.

Если,например,уравнениядвижениянальных преобразо:ванийинварИантныдекартовыхотносительнокоординатортого­в трехмерномпро­странстве, то можно сказать, -по в данном случае симметрия проявля~ется в эквивалентности определенным образом ориенrированных друготносительнодругасистемотсчета при описании движенияствующей физической системы.принятоназыватьпротекаютЭквивалентнымитакие системы,одинаковымобразом,в которыхсоответ­системами отсчетатождественныеесли для них созданыявленияодинаковыеначальные условия. Наоборот, если в физической теории постулирует­ся эквивалентностьнекоторых систем отсчета, то уравнения движениядолжны бъпь инвариантны относительно преобразований,щих координатыв ЭТИХ системах.Так,например,связываю­постулат теорииотносительности об эквивалентности систем отсчета, движущихся друготносительно друга равномернои прямолинейно,выражаетсяв ин­вариантности уравнеНИЙ движения относительно преобразований Ло­ренца.

Класс эквивалентных систем отсчета для данной задачи частоопределяется из наглядных геометрических соображений, ОТНОСЯIЦихсяк модели рассматриваемой физической системы, как это имеет местодля симметричныхмолекул, кристаллов и т. д.Однако не всегда преобразования, относительно которых инвари­антны уравнения движения, можно интерпретировать как преобразова­ЮIЯ перехода к новой системе отсчета. Симметрия физической системы2.Onределение группыможет не обладать геометрической наглядностью. Например, ох б..ПО показано В. А Фоком, уравнение Шрёдингера для атома ВОДОРОдаmmaриантно crrносительно вращений в четырехмерном простраиCТ!JC,связанном с пространством импульсов.Свойства симметрии физической системы являются общими•очень существенными ее характеристиками.

Общность этих свойcritобычно обуслаWIИвает их стабильность в процессе уточнения нашихзнаний о данной физической системе. Не следует, однако, их аб­сwпотизироватъ. как и любое описание физической системы, ониявляются приближенными. Приближенность ОДЮIX свойств симметриисвязана с уровнем нanrnx знаний, другие свойства симметрии являют­ся следствием сознательного упрощения модели физической системы,облегчающего решение задачи.Итак, под симметрией системы мы всегда будем пониматъ mmaри­антность ее уравнений движения относительно некоторой совокупнос­ти преобразований. Всеrда имеет место следующее важное свойство:если уравнение инвариантно относительно преобразований А и В, тооно инвариантно также относительно преобразования С, представляю­щеro результат последовательного применения преобразований А и В.Преобразование С принято называть произведением преобразований Аи В.

Таким образом, совокупность преобразований симметрии даннойфизической системы замкнуга относительно определенной нами опера­ции умножения. Такую совокупность пре06разований называют rpуп­пой преобразований симметрии рассматриваемой физической системы.Дадим cтporoe определение группы.2.Определение rpуппыГруппой G называют совокупность объектов или операций (элемен­тов rpyпnы), обладаюlWfX слеДУЮЩR.\fИ свойствами.1.для этой совокупности определен за"он «умноженuв», Т. е. закон,по которому любым двум элементам А и В совокупности G, взятымв определенном порядке, единственным образом сопоставляется не­который элемент С этой совокупности, называемый произведениемэлементов А и В; С = АВ.2.это умножение должнообладатьсвойствомт.

е. дOJDКНO ВЫПОЛНЯТЬСЯ равенство (.A.В)Dассоциативности,= A(BD) для любых эле­ментов А, В и D совокупности. Переместительным свойством этоумножение может не обладать; в общем случае АВ #; ВА. Те грynIIbl,в которых умножение обладает переместительным свойством, называ­ются абелевы.ми группами.з. Среди элементов совокупности имеется единlf\П{ЫЙ элемент, т.

е.такой элемент Е, что равенствоАЕ=ЕА=Аимеет место для любого элемента А совокупности.IЛава104.мент1.ВведениеНаряду с элементом А в совокупноститакой, чтоGвсегда имеется эле­FAF=E.Эroт элементFназывается обратным по отношению к элементу Аи обозначается A- 1 •эти четыIеe свойства и определяют группу; мы ВИДИМ, что онапредставляет собой совокупность, замкнугую О1Носительно заданногоВ ней закона умножения. Из перечислеюiыx свойств вытекают такиеследствия:а) Вrpynne имеется только один единичный элемент.

Если мыG существует два единичныхпредположим, например, что в rpуппеэлемента Е и Е', то в силу тpeтъero свойства группы будем иметьЕЕ' =Е=Е'Е=Е',т.е. Е==Е'.б) ECJDI F-обратный элемент по отношению к А, то элемент А==будет обратным по отношению к F, т. е. если AFЕ, то и FAЕ.Действительно, )'АfНОЖая первое из этих равенств слева на F, получимF AF F.

ДЛЯ элемента F, как и для всякого элемента совокупнос­ти G, в этой совокупности имеется обратный элемент F- 1 • Умножая=последнее равенство на F- 1 справа, получаем F AFF- 1= FF- 1 , Т. с.FA=E.в) для каждого элемента из совокупности существуеттолько одинобратный элемент. Допустим, что для элемента А в G имоется.- дваобратных элемента F и D, т. е. AF = Е и ADЕ. Тогда, умножаяравенство AFг) Если С== AD слева на1 А -1 , Jполучаем F == D.= АВ, то C- = B-A- 1 В силу ассоциативности умно­жения в rpуппе.Отметим еще, что если число элементов в группе конечно, то rpуп­па называется I«Jнечной, в противном случае - беС"онечноЙ. Числоэлементов конечной rpуппы называют nоряд"ом rpуппы.Приведем примеры1.rpynn:Совокупность всех це.,ThlX чисел вместе с нулем образует беско­нечнуюrpуппу,есливкачествеrpупповоroумножениямывозьмемсложение.

Единичным элементом в этой rpуппе будет нуль. обратнымэлементом для числа А будет - А. эга rpуппа, очевидно, абелева.2. Совокупность всех рациональных чисел, за исключением нуля,образует rpуппу с операцией умножения, совпадающей с обычнымумножением.Единичным элементом будет единица. Эrо также бес­конечная абелева rpуппа.Положительныерациональныечисла самипо себе образуют группу. Orpицательные рациональные числа группыне образуют.3.3.Прuмеры групп, имеющих nрuложенuе в физuке11Совокупность вeIcrOpoB n-мерного линейного пространства обра­зует группу. Групповым умножением является сложение векторов; еди­ничным элементом будет нулевой вектор, обратным элементом для век­тора а будет вектор -о.4.Примером неабелевой группы может служить совокупность всехнеособых матриц n-го порядка (или соответствующих им линейныхпреобразоваЮIЙ в n-мерном пространстве), которые образуют так на­зываемую общую линейную группу GL(n).