Методические указания к выполнению курсовых работ по математической физике, страница 5

Решение методом тепловых потенциалов первой (или второй) начально-краевой задачи для уравнения теплоправодности и зывзР, ы~ =~ вЮ: ~~~ ~ 1ила~~ ~) в осеоимметричном случае для следукщих вариантов иоходнмх данных: я — ~ —,~~, ~-ху, ~ П; Интегральное уравнение решается с помощьв 3)зй. 2. Стабилизация температурного рекима внутри бесконечно круглого цилиндра. На поверхности бесконечного однородного цилиндра с осью ~Ъ радиуса Ы, поддеркивается постоянная температура. Начальное распределение не зависит от х . Внутри цилиндра нет иоточников тепла. Определить, через какой промекуток времени T распределение теша~.~,.

б»вЂ” ,ет о='гичаться от стационарного не более чем на Я= 1О, и найти это раопределение. указание. Используя метод Фурье, предотавить разность искомого и стационарного распределений температуры в виде рида, в котором коэФФициенты нескольких первых членов найти с использованием ЭН4. 3. Аналитическое решение методами последовательного преоб.- разования Фурье по переменной Ж и Лапласа по переменной ~'следующей задачи лвумернсй. нестациснарнай теплопроводности в анизотропном полупространстве: 27 ° Я и +3Я Я +Л и — со< Х <+сю у~~7 1>б О, ~ж~ «д Фут / ~ о~ "~ж 4ь+Оо ) )г ~~о ' л1 а /ъ. Ф Л Компоненты тензора теплапроводиости применять в виде Я ° Я~зиь ф +Я соя ~,' Л Ярсю ~ +Я~В~ 4 Яж ~ Луу = ~-~ р Л~) Ы'ь ассе~.

Задник главные компоненты тензора теплопроводности Л~,Л и ориентация главных ооей ~ и ~ по углу ~Р . 4. Та же зздача, что и 3, но дия анизотропной полосы: СОМ Л И +ЯД И +Л И .г 6 х~с ха ху ху у~ у~ — сж~ Х ~+.с, У~д, Х~П ,я~я ~) ~) = ) '7 ~~ ~ ~1 П, )х'! >~» Я~ ~А У, Ф~ = О, — ° х ~ + =; у = б. б. Задача.-Стефана ~об оалавлении). Определить аналитически теипературное поле в старой фазе ~ а,~.ъ,1) и в новой фазе 2 а,~х,~>, а также скорость х ~~) движения границы ж'~ 1) раздела фаз 1 и 2 (рис.

2.2): и, .= а, а, „, а~" Х < х ~й; ~ - ~,„.,; ТЛ~ -- Й, ~1р~», Х >-~' ~~~; ~ ~ ~; ~~~2 ~~ ' ~~~. ~" ~'~ я , Й) =- О, а~ ~~ ~~.> — Р, ~) - ~е~~ Ф ('Й~Р л) =-и~-соти~ и о; х, ар~ ~2'~Й-~,О~ — и, и,. ~х"~О~.а~)-рх Ц'~.о; л' Й~) = ~~~' ~ ~~',ю.~= ~ни.ч О < ~'< ~= ~ ° 6. Задача Стефана~о затвепневании).Та же задача, что и в зздании 5, но 4'~< 0 и х"< 0 (гранипа движения и противоположном направлении). Начальная температура задана профилеи м~~;Ф~рис. 2.3). Краевые условия: м 1О,й ~7; м ~, О Ф 8. Задачи теплопровсдяости в тоикостеняих оболочках. В зтих задачах в силу условия А«Ю и большой теплопроводнооти (металлическая оболочка) радиальяме тепловые потоки отсутствуют остаются тепловме потоки в направлении угловой коориинатм )' .

С помощью преобразования Лапласа по перемеяяой х удобно решать следующие задачи: а) задачу теплопроводяости с вяешвим источником зиергии ь" з ~~ у р ~ ~~) — — к у ~ ~»,' 1 ~д; К ©~40) =П вЂ” -у — 4Ч4+ Ж' м,~~ я '~ О, ч" ~ -у ~ ~~О. ~а'-Л/у, ~®- б) омешаниую начально-краевую задачу теплопроводиости — — л<~< — '6='ю й' ь~р,0) и, Ыт ~ р(~), — — ъ 9>< ~ —, а. -(+ ~,1.) =П, ~>к (см.

зедаиие а); в) задачу теплопроводиости для оболочки, еоли меиду яей и окрукзхщей средой с температурой Я~ = Я 5~'ю~ у~ф~ происходит теплообмен по закову Ньютона: Я ф с~ ~~~'" — д Ят„, + У вЂ” ~ж -Я) ( (р ( и (~ О) ~ 0 ' — — ~ «)» < — г П ' Я, ~+ ~ ~~=о (Р ~~-; Ю~Я ~ ~- коэ44шциеит теплообмена между окруввююей средой и оболочкой); г) задачу нагрева сферической оболочки конвективннм тепловнм потоком по закону Ньютояа Я ф ~~~ - —,.

( ф~~ ~~"~™9~ л- . т. '.У вЂ” < Я2~ МР~О) ~~ ~ Ч~ 4 л Х 'Х <, ~Ф ЛГ ~~ 'д ~>ц ХО. Задачи теплопровццности в сферических областях: а) найти решеяие следухщей задачи теплопроводиости в сплошном шаре раиауеа Ю: ЗО Рис. 2.5 б) найти аналитическое решение задачи теплопровсдности в сплошном круге, на границе которого ~=Ю происходит теплообмен с окрукающей средой, имеющей температуру и~ (коэф$ищиент теплоотдачи лс~~з~ ) ° — ~~ -~Д,., д« ~'«Ю, 1~П; "К(~;д) Д'~),' д 4 ~'«Ю Ф„'~6,~)»» О; ~>0, 'Ц. ~ Ю, й) + ф т~ Р, Ь) = д, 1 ) 0; 7l И-И~ Иарианти Функции ~й) приведены на рнс.

2.б,а и б; ~~ ~" ~~,~ Я- полсмительние' кОнстанти» Г л а в а 3. ЗАЛАЧИ, СЖИННЫЖ С УИНПНИЯМИ ТЮБИК УПРУГОСТИ $ 3.1. У ения тес ст Земным класоом уравнений математической газики являются уравнения теории упругооти. Они описывают многие процесси механики деформируемого твердого тела и для однородной линейно-упругой среди имеют вид Уравнений Ламе ~19~: ~ ~,,м)К где Л,~~- и с - упругие псстсянние н плотностБ среди' Ф - вектор пе ремещений; Р' - вектор плотности объемних сил. При этом в криволинейной ортогональной системе координат т,~'.~ ,~з 4изические компоненти вектора перемещений и,'.

и тензора дефореций Е,, овнзани мелду ообой дифреренциальними соотношениями г,.- ~рдел,д). ~ у~у~,, ц ~„„.~ Ф ~ ~ ~ у» ~ ф~~ '~ »»» ~ »' »'»' » где м; и Е',у - ковариантные компоненты вектора а и тензора дефо1имэций; э,. м. - ковариантная производная ковариантной компоненты вектора й; у,, и Я, — компоненты матричного тензора и коэффициенты Деме. Физические компоненты тензора нзпрнкений $ связаны с компонентами тензора деформаций законом Гука Г. - 22;К" +чае... Х, =г„+г +ед (3.3) ( д*~у- символ Кронэкера). Конкретный вид соотношений (3.1)-(3.3) в наиболее употребительных сиотемах координат (прямоугольной декартовой „цилиндрической, сферической) можно получить с учетом свойств этих сиотем (19).

Для постановки начально-краевых задач необходимо рассматривать уравнение (3.1) в области с. с начальными условиями при и = О и граничными условиями на границе области И . При этом система криволинейных координат выбирается, как правило, таким образом, чтобы граница дб состояла из координатных поверхностей .(' = .~,, = ссаяГ. Наиболее распространены два типа уоловий: а) на участке глинцы ~ '=:~', заданы напрнкеяия (3.4) ~~"" ~м б) при,С = ~, известен вектор перемещений Ы: Ю'~ - Ъ~~.р (~ .

/,2,ф (З.б) У! 4$ Одним из вариантов граничных условий (3.4) является случай, коща поверхность Ю свободна от напрякений. При этом б ~ О. Второй часто встречэшиийся случай - граница дЮ неподвякна. При "абоолютно шестком контакте" в (ЗЛ) необходимо полозить ъ~~ ° О. Иноща раосматривается случай, соответствушщий "контакту о проскальзыванием". Здеоь имеет место комбинация однородных условий (3.4) и (ЗЛ): на д(' отсутствуют касательные напрякения ( б' = О, ~ = ~ ) и норильные перемещения (Ю О). Жоли область ~ являетоя неограниченной, то к условиям (3.4) или (3.5) необходимо добавить условие ограниченнооти решения на бесконечности.

Отметим, что частным случаем указанных динамических задач является зздача о распространении Воли в акустической среде ° Для перехО да и ~ос~едней достаточно полозить и соотношениях ',3.1)...(3.3) модуль сдвига,ш, равным нулш с соответствухщим уменьшением числа граничных условий (3.4) или (З.Н). Вместо уравнения (3.1) часто удобн~~ пользоваться зквивалентной системой относительно скалярного у и векторного ф упругих потенциалов, которые определяются следухщим образом: м = д~"Ы ~ +' .Ф"до ~~Р, (3.6) При етом ч" и 7 удовлетворяют волновым уравнениям ,~. д1 .

с~ -+-„ с, з ф + ~. - —; ~„'л ф + 4- (.3.7) ~9ги~ Ф+ ~ОГ(,Р, с =(Я+2~и)/~ с~ р/у где с, и с - скорости распространения двух типов волн в упругой среде. Лля однозначного определения потенциала 9~ к (3.7) обычно добавляют уравнение сйт~= О. Известным классом динамичеоких задач механики сплошной среды являются задачи дифрикцки волн на поверхности дЕ.

Им соответствует решение уравнений (3.1) в Уз~ Ю при заданных начальных условиях и граничных условиях (3.4) или (3.5). При етом возмущение задается набегахщей волной. Например, в случае плоской волны расширения-сжатия она мсает быть определена тек: 4(Р х) - ~('~-ф), (3.8) ~- заданная функция.

Лля решения приведенных задач, как правило, могут быть использованы изэеотные методы математической физики интегрирования гиперболических уравнений: разделение переменных, интегральные преобразования (э том числе преобразование Лапласа по времени) и т.д. 5 3.2.

н поп колебаний пласт Важной часто используемой моделью механлки деформируемаго твердого тела яэляютоя тонкие оболочки и пластины. Упрощение трехмерных уравнений теории упругости (понижение размерности) здесь доотигается учетом ыелооти одного из линейных размеров (толщины) по сравнению с двуми другими. При етом под оболочкой понимаетоя твердое тело, занимающее область, ограниченную двумя поверхностями, равноудаленными на раоатсяние ~/я от на)зоторой поверхности Я, называемой срединной поэерхностюс. Для пластин ~ представляет собой плоскость. Вквод упрощенных уравнений колебаний основывается на двух гипотезах: а) нормальные до декорации к орединной поверхности волокна остаются прямыми и пооле деформации; б) компоненты тензора деформаций в 34 направлении нориали полагаютсн пренебракимо малыми по сравнению с оо тальными компонентами.

Свякем с пластиной криволинейную ортогональнуа систему координат ( ~ г с4 ~ х ) ~ где ось х направлена по нормали к плосж)оти юХ (Я = О). Тоща уравнения поперечных колебаний пластины (типа С.П. Тимсаенко) могут быть записаны в ваде ~3(Я0~ „Щ(4)1 ~, Ры. ю,~, ь~~ юг~ и; Здесь м - перемещение точек плаотины вдоль оси Ъ; Н;- углы поворота нормали к плоскооти я = О; ~ - плотность материала; Ф; - коэффициенты Ламе криволинейной системы координат с',.~л в плоскости х = О; ~ - поверхноотное внешнее давление", О, и М,"- удельные поперечные силы и моменты, явяяшщиеся интегральными характеристиками напрккений вдоль толщины пластины. Они связаны с кинематическими параметрами в срединной поверхности ъг, Н, и Ул следупиим обрезом: Ач -З,(~,, +1щ .) д + — —.