Методические указания к выполнению курсовых работ по математической физике, страница 4

Эта Функция, называемая Функцией источника, является решением уравнения теплопроводности м Бь3я (2.5) У$+ ~ засщу в Ю вне точки «~,м" ). Пусть теперь источники тепла распределены в Области ЕсГ с плотностью их интенсивности р~х; т.) . тогда Функция и~к,6) - ~ у ( ~, т) Е(~,~, ~,~~~~ ~г (2еб) является решением уравнения теплопроводности (2.2) вне области Г распределения иоточников. Эта 4ункция называется тепловым потенциалом„порспденным источниками тепла, распределенными в области Е с плотностью интенсивности Р ( х, ~) . В случае, коща Е= ((л,",1)~ж'н~~ 1=0~ н ~ ~~'ж1, тепловой потенциал м(х, 1) - ~ у( ~) е:(х,~; ~, П) Ы~ и 'Ръ есть интеграл Пуассона, дакший решение задачи Коши Я~ Ж 1~4 в области ) 'Ге~ ы~ Я(Ф) в области Ю Пусть теперь 3с р — ограниченная область с гладкой границей / .

Раосмотрим пространственно-временную цилиндрическую область.Р =.Ркй?, ю) с боковой поверхностью 3 = / х~ д, < ) (рис. 2.1). Пусть Гм~. Тепловой потенциал ~~,Ю- ~~у~~,т)ю~,~,у, РМ ы (а.в) ~ И~~- элемент площади Г ) назывеется тепловым потенциалом простого слоя. Пусть два источника тепла интенсивности у". и ~- сосредоточе и МД,Т)и М8~1г,78)„ расположенных на нормали к Я в 'л точке Р~ ~, т) симметрично относи- Г тел но.з и на~ с и Адру от друга. Предел этой системы двух Рис. 2.1 источников тепла при Й д ~М, М,—.Ю~ называется тепловым диполем в точке,Р .

Очевидно, тепловой потенциал диполя равен ~ил ~ ~ Е,'~,6 ~ ~) Ы~~,Й ~,,~,~~ у- Ы~~:,1~т)~ ~р Функция называется тепловым потенциалом двойного слоя. Тепловые потенциалы простого и двойного олоя являются решениями уравнения теплопроводности, вне поверхности Ф . Потенциал простого слоя непрерымн в Ю~~ . Его производная ~~ по нормали к Я и поУ~~ тезциэл двойного слоя при переходе через помрхяость 8 терщт разрыв 1-го рода. При этом имеют место соотношения, называемые теоремами с скачках потенциалов. Сформулируем их.

Тес ма о скачке поте ала во г слоя 2. 0 . Пусть а ~~' ~е» ~~ з~'~М~,~ ~~ ~ ~~ ~» ей~о*а~» М,а» Гж„Ф,Р е " ' С.,Е»-~Х„Е.» Гж,~»~.~ ~х;Й~Ы 4- до та о-н зд зя о рхгооть ~е """.м"" ф-с ' У' «3~-'У' Тогда ~ » Я~'~ Р' ~ — - ~~~. ~ » ~~, ~~ж ~ 1~ ~~'.~.Я", ~. Р~ — ~[ж ь» (2 П» о илько п 3 Ы~ ~т Фа~~М'» ~) пот ала и то слои. Пусть 8 - достаточно гладиаа поверхность (8~с~), Р ~х', ~ ) а3 и Ф~ — единичный вектор внешней кормили к 3 в точке Р,. Пусть д,, ~ ~ иф- ыО~~ ~м ~ ы(Ю вЂ” май) А» (р,»~»». ~77Т ' ~»»» ~»»»' ».

~й~~ Д~ ~ Я Я~ $Р М1~ ) ~ й~~ 4~Н йр, ~е а )) ~(~7) ~~~~ ~ »д ~~~~»» )»~ь+» С»~~~ 1 4) д(лО ~»») — л г ' (2.12) »» +ж~ ". Тепловые потеициалы (2.9), (2.10) простого и двойного слоя могут быть использованы при решении начально-краевых задач для уравиения теплопроводиооти. Рассмотрим сущиооть метода тепловых потеищиалов на примере решеиия Х й яачальяо краевой задачи Ы Ю АЫ В 52 я~ "9' з В; (2.13) Мг =Р 3 Так кек тепловые потеяциилы (2.9), (2.10) ~швны кулю при ~ = О, то задачу (2.13) редуцирушт к задаче с нулевыми началынми условиями, для чего из м вычитают решеяие Г задача Коши я = а5~м в Р"'-' (х~У» ~ >д~; и~~„с У в Ю в виде интеграла Пуасооза ~ у(~)Ю(х'„~,~)Ы~, где ф еоть фуикция 9~ задачи (2.13), продолкеяяая нулем на все проотраиотво У .

Таким образом, задача (2.13) сведеиа к нахокдению решеяия и, ~-К задачи и ЮАм~ в Я (2.14) а~ -П з З ~~~ -Р~ ™ Р. Р П~. Решеяие и; задачи (2.14) ишут в виде теплового потенциала (2.ХО) двойяого слоя, плотиооть ~(~,т) распределения диполей в котором следует определить так, чтобы выполнялооь краевое условие м,~ -р ци о(, ) /~'~~, ) ~ 1)к у Согласно (2.11) имеем ~о р~~;6'~ - ~~ у~~,~) '~, ~'" ~Я~а -~р~х',И. й.Ю Таким образом, задача (2.14) свелась к нахоидеиию решения Я(х',~ 3 интегрального уравнения (2.15) ~раигольмова по м~ и вольтерова по 1 . При решении второй начально-краевой задачи следует решение искать в виде теплового потенциала простого слоя. 5 2.2. Мет и е ения нте и об рвани п е ач теплоп во ости в анизот те При решении задач теплопроводнооти в анизотропных телах в уравнении теплопроводности появляштсн смешанные производные, и, следоза ажно, метод разделении переменных не применим.

Для аяизотропного полупространства с тензором теплопроводности Л у~ Л'~/~ рассмотрим первую начально-краевую задачу теплопроводности: Та, и, ~) = У -р (' ь, — ~;с ~ ), (2.18) (2.19) Компоненты тензора теплопроводности Я я 2 вычисляются по Формулам Л = Л яжлу + я сиз~~ р Яу~, = Л~ шз 1Р + Л~%~ ф Я = Яу,,с = ~Я~ Уу ) Яами ~Р со~ ~о где 1~, 2у — компоненты главного тензора теплопроводности; ~, рглавные оси теплопроводности. Применяя последовательно интегральные преобразования Фурье по переменной х и Лапласа по переменной ~ ЮЮ 4Ю -фг + ю й~м3 ~7и,д,Р~ -~~ [Г~х,у,Ю~Е ~6~6~, (2.20) 0-ю получаем к~жевув задачу для обыкновенного ди44еревдального уравнения относительно Функции )7м, у, ф как Функции ~~, решая которую найдем изобракение Фурье - Лапласа ~ ( М„у', с)- Используя обратные преобразования Фурье и Лапласа (15) (2.28) (2.27) (2,28) (2.29) (2.ЗО) :~ "(о) - яо' 3 ооответотвии с анализом размерностей величин, входящих в уравнения (2.23), (2.24), можно записать безразмерный комплеко „, ~я= ~, 8 (переменную Больцмана), интеграл вероят8~а.

„~)~~~ ности от которого ЕФУДУ является Фундаментальным решением уравнений (2.23), (2.24). Хохма в качестве решений э областях с фазами Х и 2 можно приннть комбинации ы, (х,Й =,4, + В, гр~' ( (2.3Х) ''"~( Р ) ' Я $'~Г причем 4„3, определнштоя из правого условия (2.26) и условия (2.28), а 4, В~- из условия (2.27) и левого условия (2.28). Соотношения (2.3Х), (2.32), записанные на границе л,' = .к "~~)+П и х= х~(~) — О соответственно, показывают, что оама коориияата х ~( з.) должна быть пропорциональна комплексу„т.е.

л'"® 2 М( а,~) (2.33) где и подлежит определению. Подотзвляя (2.33) в (2.31), (2.32), а затем, удовлетворяя граничному условию (2.25), получаем трзноцендентное уХавнение относительно У . Решая это уравнение каким-либо итерационным ыетодом (например, простейшим методом деления пополам), получаем значение ж, которое, будучи подставленным в выражения (2.31), (2.32), (2.33), даст искомые распределения температур и фазах Х, 2 и координату подвижной границы (2.33).

Аналогично можно решить задачи об уносе маооы в полубесконечнсм сте~йяе ~ 2.4. Численное шение многоме яых з ач теплоп во остн При использовании конечно-разностных решений задач математнческой физика необходимо руководствоваться следухщнми требованвями к конечно-разностным схемам ~20): аппроксимзцни; устойчивости; сходнмоста; консераатввноотн; зкономнчностн; однородностн.

Лля линейных задач существует теорема эквивалентности, согласно которой при выполнении аппроксимации и устойчивости достигается схсдимооть к точному решению дифференциальной задачи. Однако на практнке зта теорема используется и для нелинейных задач. Намболее экономичными (в смыоле пропорциональности числа операций числу узлов сетки) являются методы расщепленяя, в состветс-.— вин с котораи шаг интеграрования по времени разбивается на дробные шага и на кзлдом дробном шаге решается задача для оДного пространственного оператора второго порядка методом скалярных прогонок. Таким образом, вмеото, например, матричной прогонки в двумерном случае используются две скалярные прогонки. Прн зтом для оохраненая консервативности схем квазнлинейные дифференциальные операторы аппроксимируются в дивергентной форме, например: А (' к ~ ') — Л ( и, ") ~ где нккние индексы относятся к пространственной переменной, а верхние - к временной.

Простейшая схема расщепления имеет вид у' ф+ ~/д ~/'А л.(„~/~ л. -А,У ~/Иьл/з ~ А+ ~/л Л Р (2.З4) уФ+~ р Й+ф~ д .у где Л „Л~, Л~- неявные конечно-разноатные операторы по х, у, х . Схема (2.34) абсолютно устойчивая и еппроксимирует дифференциальную задачу за полный шаг по времени А т. При аппроксвмацин граничных условий 2-го и 3-го рода появляется консержтивний член, связанный с нестацнонарностью процесса в объеме, окдкалщем граничный узел.

Например, для граничного условия аппроксимация в узле О имеет вид +.~К -у, -ср. д " (2.36) Физически это означает, что условие (2.35) задано на границе, не иммщей массы. В конечнс-разностной аппроксимации к узлу О примыкает масса в объеме половинного пространственного узла .~~ф, что, с одной стороны, выполняет условие консервативности (сохранение полной энергии и конечно-ревностной аппроксимации (2.3б)), а о дд гой, — аппроксимация краевых уоловий записынается так ке, как и для уравнения теплопроводности, т.е. сохраняется однородность схемы. 1.