Методические указания к выполнению курсовых работ по математической физике

Фкдкрлльнок Агкнтство по овглзовлнию московский АвиАционный институт (тосударственный технический университет) Кафедра "Математическая кибернетик»" В.Ю. Борисов, С.В. Вильховченко, Р,Я. Глаголева, Е.В. Иванова, Р.Н. Молодожникова, В.Д. Совершенный„Д.В. Тарлаковский, В,Ф. Формалев, А.А. Чиров, Е.В. Щербаков, А,В. Янин МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ Рекомендовано в качестве учебного лособия Редакционным советом факультета ' Прикладная математика и физика Московского авиационного института москвА 2008 Лаются методические рекомендации к выполнению курсовых работ по теме "Методы математической физики решения начальных, начально- краевых и краевых задач" ~методы разделения переменных для решения смешанных задач, применения интеграла Фурье для решения начальных задач, представления решения в виде ряда по собственным Функциям для краевых задач, применения специальных функций и др.).

Рассматриваемые методы используются для решения ряда задач азрогидродинамики, азроупругости, диффузии, для расчета прочности, теплозащиты летательных аппаратов. Опыт преподавания математических курсов в МйИ показывает, что наибольший эффект в усвоении математических методов и развитии навыков их применения достигается, если изучение ссответствухщих разделав сопровождается решением не только формальных примеров, но и прикладных задач, относящихся к специализации будущего инженера (задач а зродинзмикк; гидродинамики) .

Такой целенаправленный подход к форарованию математического образования полезен и тем, что он уоиливает взаимосвязь между математическими и инженерными дисциплинами, придает математическим дисщшлинам необходимую в техническом вузе прикладную направленность„ способствует организации непрерывного математического образования. Курсовая работа обобщает и закрепляет знания студентов по курсу "Методы математической физики", споообствует развитию навыков научно-исследовательокой работы, приучает пользоваться литературой, вычислительной техникой, анализировать полученные результаты, что является одним из важных злементов подготовки к выполнению дипломной работы по выбранной специализации. Яель курсовой работы — развить у студентов навыки самостоятельной научно-исследовательской работы в области применения методов математической физики к решению линейных и нелинейных задач прикладного характера. Особое внимание уделяется современным методам научных исследований.

Курсовая работа заверпает теоретическую и практическую подготовку студентов по курсу и рассчитана на 14 чаоов аудиторных индивидуальных занятий-коноультаций и 28 часов самоотоятель- 3 ной работы. Вшолнение.расчетов на ЗЖ планируется в объеме С,5 часа машинного времени, Выполняя курсовую работу, студент должен: 1. Составить математическую модель поставленной физической за- 2. В~брать оптимальный метод реше. ч. 3.

Построить алгоритм решения и составить программу расчетов на ЗЖ. 4. Провеоти анализ полученных на ЭЖ результатов, обращая внимание на их 4изический смысл. 5. Соотавить отчет, который включает несколько разделов: — "Введение",, где кратко характеризуется современное состояние научно-технической проблемы и цель работы, анализируются возможные пути решения задачи, результаты исследования смежных вопросов, если зто необходимо; - "Поотановка задачи"; - "Метод и алгоритм решения задачи" (описание схемы решения, приведение расчетных Формул для решения задачи, контрольных соотношений. используемых в процессе решения).

Жоли в описании алгоритма решения используется нестандартная терминология, следует составить перечень таких теранов и поместить его в списке сокращений, символов и специальных обозначений, если такие имеются; - "Влислжтельння часть работы" (описание блок-схемы и программы или пакета программ, приведение промежуточных и окончательных результатов расчетов на ЗЖ, в том числе и отрицательных; тралтовка результатов конкретного расчета в случае его возможного применения); - "Заключение" или "Выводы и предложения" (сравнение результатов работы с тр~бова~иями задания> предполагаемые пути д~~ьн~йш~й работы в случае ее продолжения и др.); - "Литература" (состазляется в порядке ссылок по тексту, заключаемых в квадратные скобки); - "Приложения" (содержат гра4ический материал и распечатки программ, таблицы, нестандартные обозначения, сокращения и т.д.).

Студенту предоставляется право выбора темы курсовой работы. Он может предложить и свою тему, обосновав при этом целесообразность решения выбранной задачи. Тематика курсовых работ соответствует профилю специализации н приводится в конце каидой главы. Задание сдает руководитель курсовой работы, о4юрмляя его на бланке установленной 4ормы. Задание должно содержать четкую постановку задачи, соот- 4 ветствухщей названию темы, рекомендацию относительно выбора метода решения, исходные данные для проведения конкретного расчета, порядок выполнения работы, перечень рекомендуемой литературы н ~~зание срока окончания работы.

Оно должно быть подписано руководителем работы и студентом, утверждено завалящим кафедрой и выДаНО студенту в указанный в графике самостоятельной работы срок. В дальнейшем задание прилагается студентом к отчету по курсовой работе. ' Руководитель курсовой работы выдает студенту задание„ рекомендует литературу (основную и дополнительную), проводит предусмотренные раописанием консультации, проверяет работу студента в процессе ее выполнения, принимает участие в организации и приеме защити курсовой работы.

Работа принимается комиссией с выставлением оценки. В середине семестра кафедра готовит сводку о ходе выполнения курсовых работ на основании сведений, представленных руководителями работ. На основании сводки составляется предварительный график защит. Законченная курсовая работа должна иметь: 1) титульный лист с названием темы работы; 2) задание на курсовую работу; 3) отзыв руководителя; 4) текст работы. Работа представляется руководителем. После ее просмотра руководитель составляет отзыв, где содержится краткая характеристика проделанной работы, включая отношение студента к делу ~самостоятельность), оценка технической и литературной грамотности, выполнения плана работы, качества оформления и т.д.

Защита курсовых работ проводится на заседании комиссии с участием не менее двух членов по утвержденному заведухщим кафедрой расписанию защит в ооответствии с графиком самостоятельной работы от~рента. Систематическое и своевременное выполнение всех требований к курсовой работе споообствует своевременной и успешной ее защите. Г л а в а 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТИВЧИЧЕСКОИ 4ИЗИКИ В ЗАЧАХ ГИДРМЗРОДИНИИКИ Рассмотрим основные методы решения задач, связанных с плоскими и пространственными установившимися течениями идеальной жидкости. Физические параметры сплошной среды (давление, вектор-функция распределения скорости, плотность) связаны между собой извеотными соотношениями, полученными из различных законов сохранения.

уравнения движения жидкости мОжнО записать через вектор вихря Я (й'„, й~, ~ ). Лля установившегося течения в случае Отсутствия маосовых оил уравнения в пространотвенном случае имеют вид ~~~ ~~щФ Й',~ — ы э~~".Ф;т и ъ" р.щ~ н)~ — Я ~~а~ ъ" - б; (Х.Х) Урий а, — д (рма' ис - д, где У~а,ъ", ц — вектор скорости. В прнмоугольных декартовых координатах составлякщие вектора вихря представляются в виде ди~ Уъ- .

А~ ~и~, ~~ Ас ,' гу ж "ъ~ ж ж ' 'э у ру. (12) СиОтема уравнений ~1.4. ~ ~Цдет удовлетворена, если положить вектор вихря равнины нулю: И.З) В этом случае движение жидкости называется безвихревым. Воспользуемся также уравнением неразХирности (уравнением сохранения массы), которое в олучае постоянной плотнооти среды имеет вид сйх У д, (1.4) Система уравнений (1.3), (1.4) испольэуетсн для исследования безвихревых движений несжимаемой жндкости. #ля плоского движения система уравнений (1.3), (1.4) приводится к виду 6~7Р А4 ~~М 1й' — + у — и." (1.5) В этом случае можно ввести потенциэл уи ~ункцию тока у по ьормулем ~М РР дФ, ~7Ф ж - — ~- — .

Я.- —, 77= — — (16) с3х д~ ' д~ ' ~Ь и тем самым удовлетворить уравнения системы (1.5). Из равенств (ХА) вытекают так называемые условия Коши - Римана А' с~М А с~Ф е й~ У~ ' ф А~ (1.7) для Функций ~Р и ч" . Отсюда следует, что комплексная функция У' = ° ~Р+ид~ является аналитической Функцией комплексной переменной х = х+~у, 4 и 4 - терионические функции„так как лч = О, л~ = О. ПоявляетсЯ ИОзмсжнооть в случае плоского безвихревого движениЯ не- сжимаемой жидкости использовать яппярат теории функций комплексного переменного. Из условий «1.7) следует„ что зквипатенцизльные линии «Р= а~м~ ортогонздьны линиям тока ф = уды~ причем линии тока поз ~'"тановившихся течениях являются траекториями частиц жидкости.

В курсе гидро- динамики показано, что при отсутствии вихрей вдоль линии тока выполняется соотношение, называемое интегралом Бернулли: 1У1 Р— + — С 2 где р - функция давления; Р— плотность жидкости; Š— константа, сохраняицая свое значение вдоль данной линии тока. Это соотношение обычно используется для задания граничных условий. В пространственном случае для безвихревых течений, так ке как и для плоских, существует функция потенциала скорости 4(х,у„х), удовлетворязпая уравнению Лапласа, а в случае ооеоимметричного течения существует еще функция тока ч~(ж,у,х) .

При исследовании пространственного осесимметричного течения удобно использовать цилинщжчеокие координаты(~;8, х~ . Следует заметить, что из-за осевой симметрии течение не долкно зависеть от угла д . В цилиндрических координатах условие отсутствия вихря представится в виде дФ.„Н6; (1.8) с7х дм где ъ«„, ъ~~ — проекции вектора скорости на соответствухщие оси. Уравнение неразрывности примет вид д~г.и,.) д(~".ъл) ~У~" дх (1.8) Таким образом, в осесимметричном случае течение описывается уравнениями (1.8), (1.8).

Однако при этом соотношения Коши - Римана не выполняются, и поэтому методы ТФКП здесь не применимы. Удовлетворяя уравнению (1.8), введем потенциал: ~~ = „ , ъ"„= — , после чего из д'Р АР уравнения нераз1ивности (1.9) получаем д д«~ д РР (1.1О) Уравнение (1.10) в конкретных задачах, рассмотренных нике, мокко решить методом разделения переменных. Для курсовых работ предлагаются трн класса задач, связанных: а) с плоскими отрывными течениями„ б) с плоскими безотзывными течениями; в) с пространственными безотрывными течениями. Задачи первого класса рассматривают течения со свободными границами, для исследования которых разработана теория, называемая теорией струй. В теории струй рассматриваются течения, ограниченные частично твердыми стенками и частично свободными поверхностями, на которых давление постоянно.