Методические указания к выполнению курсовых работ по математической физике, страница 6

дз~. Ф, А~~ Ей 0 Я~~+ф ' д ( (,)- 18, ~я~ где Е и 9 - модуль Юнга и козффнциент Пуассона упругой среды. Постановка начально-краевой задачи длн пластины заключается в решении системы уравнений (3.9) в области ЮсЯ при заданных начальных и граничных условиях. Мокно показать, что система (3.9) имеет гиперболический тип. Как правило, криволинейная система координат 4', ~ выбирается так, чтобы граница области Ж состояла из координатных кривых .('= (, = сс~х|~. В соответствии с порядком системы уравнений (3.9) на кривой цб. долкны быть заданы три уоловия. Основные два типа граничных условий." а) силовые - заданы усилия ~Ф ~ ~~б ФЮ ~э ~ 'ВФР Я ю'о ~о ы б) кинематические — заданы перемещения и углы поворота (3.Х2) '~ ~~р ~ ~ '~т'О Однородные условия (З.ХХ) носят название "свободный край", пра равенстве нулю перемещений и углов поворота в (З.Х2) граничные условия называют "заделкой".

Возмоены комбинации силовых и кинематичесеих условий. На практике достаточно часто используют упраценный вариант уравнений (3.9). При этом к указзлным двум гипотезаи добавляют предполокение О тбм, что но(юальное к срединной плосеости волокно Оста ется норальннм и после д64ормации, а таеее пренебрегают инерцией вращения поперечного сечения пластины, что зезимлентно выполнению СЛЕДУХЩИХ УСЛОВИЙ' Ц, О ЪР' ~" = д (З.ХЗ) Ф, Тогда пхщховдм е уравнению четвертого порядка параболического типа (уравнению Кирхгофа - СоФи Еермен) р ААФ + яй — у~-' Р 7* Я,~ ~, (З.Х4) При ремении краевой задачи в ооответотвии с порядком уравяеиия (З.Х4) на границе Н долкны быть запиоаны дза уоловия: а) оиловые б) кинематичеоеие (З.Х6) 'Ы- ~ ~'Х' .~' ~ М-* Й~ Фф Фд Аналогично общему олучею определяются свободеый край(М;;, О (м О) и заделка ( Я, О, Ф,' О), Варианту аарнирного опирания ооответстщуют ума~ М,.

=- О, пУ О. , ~ З.з. Из рассмотреииых уравнений двиеения мощно получить одномерную модель для пластика беоконечноко разюха. Пусть в плоскости введена прямоугольная оиотема коопеииат дж~г( .~'= ."с, ~ = ~ , Ф, = Ф = Х) Полагаем, что в уравнениях (3.9) искомые Функции ие зависит от координаты у',и.область 0' не ограничена в направлении оси Тогда из уравнений (3.8) и ооотношеяий (З.ХО) получим Й~ да ~) ц Я~~ АК уй — „— р; у~А — — — О; У, =6', д~-д, Н-У, = 6 ~ ~д~ — ); ~ (3,17) М М-З вЂ” * даю * Пренебрегая инерцией вращения оечения (»" О) и Очктия, что после деформации норцальное к Орединной поверхнооти воеокяо оотается нормальннм ( 9= — у~), приходим к упущенному уравнению параболичеокого типа Р'ът ~~ г ° ' ° (3.1В) Раооматревеют также одномерную модель в виде балки. Под балкой понимают тело, занимающее Облаоть, огранлиениую цклжццриеокой цоверхноотьв, продольный размер которой значительно больме оотельних.

Роль срединной поверхнооти здеоь играет ооь белки - прнман, па~аллельнен Образумним цилиндричеокой поверхнооти. Полагая, что ооь белки оовпедает о ооью Ож, мокио запиоать уравнение поперечних колебаний оимметричной относительно оои Ж балки в виде (3.17) илж (3.18), если положить ~ф =я,, З, Е»", где я, - погоняая плотжооть, гмомент инерции поперечного оечения балки ОтнООительно оои У~ ~ пер пендикуляреой направлению колебаний. 3 случае пластины беоконечного размаха или балки начально-краевая задача ооотоит в ранении уравнений (З.Г7) или (3.18) на отрезке ~х,~~ О начальники уолОвиями и граничннми уоловиями при х я„л: ~. Пооледние $ормулируютоя аналогично условиям для плаотинм (3 П), (3.12), (3.15) или (3.16) о ооответотвулщими замечаниями.

3 качеотве примера непользования уравнений колебаний плаотинк раоомотрим ~адачу о ооботвеннмх колебаниях пркмоугольной плаотинк в прнмоугольяой декартовой оиотеме координат Ому при уоловии жарнирного опирения по контуру. Математичеокея поотаяовка задачи заключаетоя в реаенее уравнения (3.14) пре,б = О в облаоти У ~О,Я1 (ц,Ц при граничнмх уоловилх вида Я Х~ др ~Ь Используя метод Фурье, можно показать, что ооботвеннме функции задачи имеют Вид - ~"Р~'с' ~~~ - ™ — з~ Й, (З.ВО) А нелогично мокко найти собственные частоты и фо1ш колебаний для обшегс уравнения поперечянх колебаний пластины '.З..~О) и одномерных моделей (З.Х7) или (3.18).

$ 3.4. Вольшое практическое значение имеют так называемые "связанные" задачи мехазаки твердого де4ораируемого тела. При зтом оовместно а перечисленными моделями и постановку задачи включаются уравнения и ооответотвухщие условия для среди, с которой соприкасаетоя де4ораруемое тело. Окрукаищей ориной макет быть упругая среда, газ, кидкость и т.д. В качестве примера укзкем некоторые связанные задачи для тонких пластин и кидкооти. В связанной постановке рассматриваются задачи о колебаниях и устойчивости (статической и динамической) упругих пластин и цилиядрических оболочек ~ЗО1 в двумерном потенциальном потоке нескимаемой кидкости при отрывном обтекании.

Взаимодействие упругого тела с потоком описывается уравнением Лапласа для потенциала окорости течения и уравнением ~м~лях колебаний тонких пластин и оболочек около поношения равновесия. В качеотве невозмущенного двикеиия потока принимается решение гидродинамической задачи по схеме Кирхгофа для струйного обтекания ~3~. Зздача о колебаниях пластины р~шает~я при ра~~ичных г~шяичных условиях в случае поперечного обтекания, жгда в начальный момент времени недерормированння поверхнооть пластины перпенникуля)жа окорости потока на бесконечности. Прогиб пластины удовлетворяет уравнению маях упругих колебаний (З.Х4), требушшему знания гидрсдинамических сил в какиой точке поверхнооти. Последние определяются моделью струйного течения по схеме Кирхго4а.

Решение квазистацвонарной задачи находится с использованием известного решения Д.К. Бобылева задачи о давлении на шествую пластину н клин в олучае симметричнсхо н косого обтекания ~21 1 е Задача о малых колебаниях гибкого гидрокрила в потоке нескимаемой кидкости под жлым углом атаки рассматривается при малых числах кавиткжи (развитая кавитация). Скорость у задней кромки прсйшля считается конечной, уравнение упругой линии находится как решение зе начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний пластины. В~ното действительной области течения рассматривается линеаризованнан область в виде плосвости, разрезанной вдоль отрезка.

Определение гидродинамического давления сводится к решению смешанной храевой задачи для полуплоскости ~21. Задача об устойчивости колебаний упругих плаотин беоконечной ширили и цилиндрических оболочек бесконечной длины в одучанх продольного и поперечного обтекания решается в классе гармоничеоких по времени функций и сводится к исследованию собственных значений неоамооопрякенной краевой задачи. Лля нахоидения критических значений параметров потока моиет быть использован метод Бубнова — Галеркнна ~191. Строятся облаоти устойчивооти и неуотойчивосж. Проводится параметрическое иоследование скоростей $заттера и дивергенция.

Х. Ооесимметричные колебания сплошного упругого тела под действием неотационарной нагрузки. упругости ~3.1) в сферической системе координат с учетом осевой симметрии. На поверхности заданы радяальные и касательные напрккения. Начальные условия - нулевые. Мерд щщекзя. Решение представить в виде рядов по полиномзм Лежандра. Использовать преобразование Лаплаоа по времени. Сравнить полученное решение с решением о помощьв уравнения #арбу. Втолнить переход к акустической среде.

Расчеты произвести для рВдиальных еолебанжй. 2. Ооеонмметричные колебания сплошного упругого тела при недавних на границе перемещениях. Постановка задачи н метод решения изложены в теме Х. 3, Раопроотранение ооесимметричных волн от сферической полооти в упругой среде при заданных на границе напряжениях. Постановка задачи и метод решения изложены в теме Х. 4. Распространение волн от оферичеояой полости в упругой ореде при заданных на границе перемещениях. Постановка задачи и метод решения изложены в теме 1.

5, Одномерные колебания упругого плоского слоя. Постановка задачи н метод решения аналогичны теме 1 для случая раднзль х колебаний. Область 6.: О я х «й. Рассмотреть различные варианты граничных условий на плоскостях — О, х=Ф зз б. Вршценйе абсолютно *есткого тела з упругой среде. ПОстанозка задачи и метОД решения ЯЯЯЛОГичны теме 2, Репение строить О испОльзозанием сферич8скйх функций, Радиальные упругие золзж з сплошном паре при Яеличии тОчеч- ЯОГО Источника.

Постановка задачи аналогична теме 1. В качестве возмущения рассматривается точечный источник сферической волны. Рассмотреть дза варианта граничных условий на поверхности: кесткое защемление и свободная поверхность. Осуществить переход к акуотической среде. Метщ~ 28шения - преобразование Лаплаоа по времени. Решение произвести для начальных моментов времеви. 8. Ридйальные колебания *йдкостй в абсолютно кеотком сферическом резервуаре под действием взрыва. Постановка задачи и метод решения аналогичны теме 7. 9. Редиальные колебания упругого сферического олоя. Постановка задачи и метод решения аналогичны теме 7.