Методические указания к выполнению курсовых работ по математической физике, страница 2

Жидкость считается невесомой, идеальной и несжимаемой. Пренебрежение весомостью жидкости вносит упрощения в граничные условия на поверхности струй. При установившемся течении граничные условия будут следухщими: а) нормальная скорость равна нулю на заданных твердых стенках и неизвестных свободных поверхностях; б) на свободных поверхностях давление постоянно, что при выполнении интеграла Бернулли и невесомости жидкости дает постоянство скорости.

Таким образом, задача состоит в нахождении в области течения анзлитичеокой функции ачба) и неизвестных свободных поверхностей, таких, что мнимая часть 1~ ю(х)=з> постоянна на границе течения, а на свободных поверхностях постоянен модуль ~, †„~ . Лля решения этой задачи используется теория функций комплексного переменного, в частности конформные отображения. Этот метод впервые был применен С.А. Чаплыгиным и называется методом особых точек. Метод состоит в том, что, прежде всего, анализируется поведение искомой функции комплексного переменного, находятся все ее нули и особенности в области течения и соответственно в области изменения параметричеокого переменного, находятся все ее нули и особенности в области изменения параметрического переменного, на которую конформно отображается область изменения функции.

В качестве области изменения параметрического переменного выбираются области, границы которых состоят из частей прямых и дуг окружностей, чтобы потом путем зеркальных отображений однозначно покрыть целую плоскость комплексного переменного. Обычно такими областями являются: полуплоскость, квадрат, круг и т.п. Если область изменения функции тоже ограничена частями дуг или прямых, то, выбрав одну из указанных выше областей применения параметрического переменного и воспользовавшись принципом симметрии, находят все нули и особенности искомой функции, аналитически продолженной на всю плоскость параметрического переменного.

Далее по нулям и особенностям остается построить нужную функцию, однозначность которой следует из теоремы Лирилля. В качестве искомых обычно выбирают следуюшие функции: й, — ~, — ,6 †. После того как БЫ видены, например,я, —., можно найти скорость вдоль гранипы и саму границу по формулам; 3г'- — (~); х - ) — — Л Г Ыя Ж СЫ~ ) г~'ы Основной хзрахтерисТжкОЙ 33п~Я~ЯЯ Гкпролензмичесного давленжя ЯВ Обт8каемое прегятстви8 ЯзлЯется б83размеиий козффипжент сопрОтжзл6нея ~ ~'Й ~ ~ У Здесь иетегрерованее ведется вдюль Грзкипы препятс"'вия 'у' — сжорость на'~егзхщего и сиа — харажт" "' 3 рамер препятствия.

О помощью интеграла Бернулли давление можно связать со скоростью вдоль препятствия и, таким образом, С выразить через найденные Функции. Область, авободная от жидкости, называется каверной, а явление Образования каверны - иавитацией. Давление в каверне не может превышать давлеиуи в жидкости. Кавитация Харажтсраэуетоя безрВЗМ8РНМИ ЧИСЛОМ;Д й ~ НВЗЫВВЕМЫМ ЧИСЛОМ Тюзызензттей Р Тес~ Ст~тгй П~~ 7Г исол6довании кавитационных т6чений рассмат;:~ивзется задачВ Опред6Л6 ния зависимости параметров течения от чиола кавитации.

Для решения этой задачи кавитационные обтекания препятствий моделируютоя различными схемами. Все зти схемы отличаютоя по типу замыкания границы каверны за препнтствием. Наиболме извеотни следумщее: а) схема Д.А, Эфроса, в которой в конце жаверны образуется возвратная струйка„уходящая в каверну и бесконечно продолжающаяся на другой лист римановой поверхности; б) схема Рябушинского, в которой в конце иаверны ставитсЯ зерезльнсе препятствие, мешающее Образовннию возврат- НОЙ струе; с) схема Жужовсжого — Рошно, в исторой в нонце иавериы струи переходят в бесконечно длинные параллельные плоские пластины, препятствующие смыканию отруй.

Зо всех этих Схемах основной задачей являетоя нахождение констант, входящих в Определяемые фуижции, так, чтобы удовлетворить заданные геометрические размеры и параметры течения. Полученные уравнения образуют систему трансцендентных уравнений, решение которой можно находить с пОМощью метода Ньютона или его модифнжаций. Из задач второго и третьего класса рассмотрим задачи, овязанные с вдувом через щель плоской или осесимметрнчной отруи идеальной несжимаемой жидкости. Прн вдуве через щель в плоском случае решается задача Неймана для уравнения Лапласа ~~= О с уоловием, что т~" ~- задано при У'Р У у = О. Известно, что задача Неймана сводится к задаче Дирихле для оопряженной гармонической функции, т.е.

отысканию ~~ . Для отыожания конкретного решения, удовлетворяющего граничным условиям, можно воспользоватьоя формулами Шварца для полупроотранства ~~ х, у) ° — ~ м~И) уЖ И.П) ~) ~+ у 2 ° Ф и полосы зг Т ~я,® ~ ы ~Ю~сА ~х-4 ~„~ х.у „~дг х Я 4ю Ей Й йы ~-,У ~ Ш ~Й-ж ~ь сж' ~ яй' ~ ~~~~ ~ 2* ЛЖ ~1.И) 3 равенствах (1.11) и (1.12) ~~~,у)- нокомое решение задачи Дирихле для уравнения ~а= 0; ~~В, я+ 14,я ®- известные значения на границах, индексы "+" и "-" относятся к значенинм на верхней и нижней границах в случае полосы; 4- ширина полосы. Таким образом, построение поля течения в плоском случае связано с расчетами по +"рмулам (1.11), (Х.'с). 3 осесимметричном случае уравнение (1.10) решается методом разделения переменных, при этом выбирается ограниченное решение.

Для иллюстрации приведем решение уравнения (1.10) длн канала ~полосы О < Х сЬ) с граничными условиями: при х= О у„- - 5~~~'~а3, у--Ю ~'~ Ф); А~ ЮР прн х=6 ~„- -д в случае сносящего потока. Это решение имеет внн ЮФ л ~ ~-х,~ -л /~~*- ) ~' - ~~ ж ~ 1 ~4~) ~ ~Ма) ~АХ, .л~ь-~> -л~ - > ~1 1") )~~-)~а ~ У ~Я~)У,~ОЙ л„„, ~А$.

'0 Ю "-Г"" Здесь )~~- скорость Икува через отверстие; - .,/, - Функции Бесселя первого рода нулевого и первого порннков ~нх свойства см. в работе ~1~). Заметим, что интеграл, через который выражается потенциал ~Р, является расходящимся. Однако в равенствах 11.13) несобственные интегралы сходящиеся. рассматриваемые линейные задачи допускают обобщения. Капример, могут быть получены решения зщкач о взаимодействии вдуваемых струй между собой, о их взаимодействии со сносждм потоком. При решении задач нщподннамики в рамках теории струй идеальной жидкости часто приходится сталкиваться с необходимостью вы исления сингулярных интегралов или интегралов со слабой особенностью: ~ ~,И~)— ~1.14) 'р" ~(~) — ЯМ а' Даже в случае, когда функция а~и~ задана в явном виде, указанные интегралы не всегда удается выразить через элементарные функции, 10 При решении зэдач, относящихся е третьему классу, возникают мятемэтичВсеие задачи, естОрые сводятся е решению внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа.

ПО уровню сложности их мскно разделить на две группы: обтекание вытянутых тел вращения и рбтекание тел произвольной формы. Численное решение второй группы задач требует применения слокных алгоритмов, которые опирэютоя на общую теорию потенциала„и большого времени счета. В случае ке продольного обтекания вытянутых тел вращения решение мошно получить более элементарным методом — методом осевых особенностей (методом тел Ренкила) . Напомним, что в общем случае решение внешнее эадащ Неа~юю ищется в виде потенциала простого слоя с заранее неизвестной плот ностью. Ллн искомой функции справедливо интегральное уравнение Фредгсльма 2-гс рода, есторое при естественных условиях гладкости обтекаемой поверхности имеет единственное ранение. Среди численных методов решения этой задачи получил признание метод Хасса - Смита.

Он заключаетоя в аппроксимации поверхиооти тела элементарными плооеими выпуклыми четырехугольниками„на какисм из которых плотность потенциала проотого олся считаетсн постоянной. При составлении систав уравнений относительно указанных цоотояиных плотнбстей требуется рассчитать поле окорости, индуцированное в пространстве кншдым элементом. Для повышения экономичности это поле мошно рассчитывать для далеких точек по асимптотическим формулам, что приводит к задаче о периых членах разлаиения потенциала проотого слон по плоскому четырехугольнику в рнд по мультиполнм.

Далее при дискретизации заДачи на каждом злемент6 тр6буэтся выбрать контрольную точку. Эта точка выбираетоя исходя из простоты и эффективности. Жоли рассмотреть поле скорости, иддуцироваииое плоской выпуклой фигурой (с постоянной плотностью потенциала простого слоя), то мошно доказать, что существует единотвеннан точка фигуры, в которой скорооть отрого норальна плоскости фигуры. Ниими словами, касательная скорость обрещается в ноль.

Именно эту точку лучше всего принять за контрольную. Поэтому возникает задача о вычиолении указанной контрольной точки для произвольного выпуклого четырехугольника. При продолвнош обтекании вытянутого тела крещения решение для потенциала мошно искать в виде диокретных и распределенных по оси оимметрии тела Оаобенноотей, т.е. фактически речь идет об аппроксимации заданного тела некоторым телом Ренкина, т.е. тела, эквивалентного указанной системе оообенноотей.

3 силу вытянутости тела 13 интенсивность особенностей на хаком-нибудь участке оси слабо зави- сит от интенсивности на других участках и определяется большей частью локальной геометрией тела. В олучае закругленных концов ре- ШЕНИЕ будэг СсдэржатЬ тОЧЕЧНЫй ИотОЧНИК ~СтОК)н раСПОЛОКЕННЫй На некотором расстоянии от конца. 3 остальных случаях и на неконцевых участках решение представляется распределенными источниками. Иско- мыми величинами являются интеноивности точечных источников и плот- ность линейного распределения. После того как эти величины найдены, можно в конечном виде найти важную гидродинзмическую характеристи- ку тела — его присоединенную массу.

Она вычисляется через момент диполя, эквивалентного найненной системе особенностей. Поэтому воз- никает самостоятельная задача о нахождении момента эквивалентного диполя по заданной системе осевых особенностей. Теми курсовых работ 1. Расчет ооесимметричной струи, истеказхцей из круглого отвер- СтИЯ В ПОКОЯЩ88СЯ ПОЛУПРОСтРеяотнон Постановка з ачи. Рассматривается осесимметричное безвихревое течение. Решается уравнение Лапласа дня потенциала скорости.