1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции), страница 7

. . , yn ) ∈P [y1 , . . . , yn ] такой, что h(x1 , . . . , xn ) = g(s1 , . . . , sn ). В силу формулВиета s1 (c1 , . . . , cn ), . . . , sn (c1 , . . . , cn ) ∈ P, т. е. h(c1 , . . . , cn ) =g(s1 (c1 , . . . , cn ), . . . , sn (c1 , . . . , cn )) ∈ P.¤343. Кольца многочленов§ 13.Дискриминант многочлена. ФормулыНьютонаПусть P — поле. В кольце многочленов P [t1 , . . . , tn ] рассмотримпроизведениеY4n = 4n (t1 , . .

. , tn ) =(tj − ti ).1≤i<j≤nТогдаσ4n = 4n (tσ(1) , . . . , tσ(n) ) = ±4n (t1 , . . . , tn ) для любойподстановки σ ∈ Sn . Значит, 42n — симметрический многочленот неизвестных t1 , . . . , tn . По теореме 2 § 12 существует единственныймногочлен Dis(x1 , . . . , xn ), такой, что42n = 42n (t1 , . . . , tn ) = Dis(s1 (t1 , . . . , tn ), . .

. , sn (t1 , . . . , tn )).Если f = xn + a1 xn−1 + . . . + an — многочлен, имеющий корниc1 , . . . , cn в расширении F поля P , то по формулам Виета sk (c1 , . . . , cn ) =(−1)k ak и элементD(f ) = Dis(s1 (c1 , . . . , cn ), . . . , sn (c1 , . . . , cn )) =Dis(−a1 , . . . , (−1)n an ) =Y(ci − cj )21≤i<j≤nполя P называется дискриминантом многочлена f (x), илидискриминантом алгебраического уравнения f (x) = 0.

Если ai ∈ P, тоясно, что D(f ) ∈ P , даже если корни ci не лежат в P . Очевидно, чтосправедливо следующееПредложение 1. Для любого многочлена f (x) его дискриминантD(f ) = 0 тогда и только тогда, когда f (x) имеет хотя бы одинкратный корень.¤Научимся рекуррентно вычислять D(f ).Рассмотрим степенные суммы:P0 (x1 , . . . , xn )P1 (x1 , . .

. , xn )Pk (x1 , . . . , xn )==···=x01 + . . . + x0n ,x1 + . . . + xn ,xk1 + . . . + xkn , где k ∈ N.§ 13. Дискриминант многочлена. Формулы Ньютона35Очевидно, что Pk (x1 , . . . , xn ) — симметрический многочлен длялюбого k ∈ N.Теорема 1. Справедливы следующие формулы Ньютона:Pk + (−1)Pk−1 s1 + (−1)2 Pk−2 s2 + . . . + (−1)k ksk = 0 при 1 ≤ k ≤ n, (1)Pk + (−1)Pk−1 s1 + (−1)2 Pk−2 s2 + . .

. + (−1)n Pk−n sn = 0 при k > n. (2)Доказательство. По формулам Виета получаем, что+ . . . + (−1)n−1 sn−1 xi + (−1)n sn = 0,xni + (−1)s1 xn−1iгде i = 1, 2, . . . , n. Умножив каждое из этих соотношений на xk−n(k ≥in), получим:xki + (−1)s1 xk−1+ . . . + (−1)n sn xk−n= 0.iiСложив их, приходим к равенству Pk +(−1)s1 Pk−1 +. .

.+(−1)n sn Pk−n =0 (k ≥ n). В частности, при k = n получаем Pn + (−1)s1 Pk−1 + . . . +(−1)n sn P0 = 0, т. е. мы доказали (2), а также (1) при k = n.Рассмотрим многочлен fk,n (x1 , . . . , xn ) = Pk −Pk−1 s1 +. . .+(−1)k ksk .Докажем индукцией по r = n − k, что fk,n = 0.Для r = 0, т. е. при n = k, это уже доказано. Пусть fl,m = 0 приm − l ≤ r.Рассмотрим fk,n при n − k = r + 1. Положим xn = 0. Заметим, чтомногочлены (Pi )0 и (si )0 совпадают соответственно с многочленами Piи si от неизвестных x1 , . .

. , xn−1 . Тогдаfk,n (x1 , . . . , xn−1 , 0) = (Pk )0 (s1 )0 +. . .+(−1)k−1 (P1 )0 (sk−1 )0 +(−1)k k(sk )0= fk,n−1 (x1 , . . . , xn−1 ) = 0по предположению индукции, так как n − 1 − k = r. Следовательно,fk,n (x1 , . . . , xn−1 , xn ) делится на xn , т. е. fk,n (x1 , . . . , xn ) = xn f1 .Используя симметричность многочлена fk,n , получаем, чтоfk,n (x1 , . . .

, xn−1 , xn ) делится на многочлен x1 . . . xn , т. е.fk,n = x1 . . . xn g(x1 , . . . , xn ) = sn g(x1 , . . . , xn ). Так как deg sn = n,а deg (fk,n ) = k < n, то g = 0 и fk,n = 0.¤Формулы Ньютона позволяют рекуррентно вычислять Pi .Пример. P1 (x1 , . . . , xn ) = s1 ; при n > 1 из (1) следует P2 −s1 P1 + 2s2 = 0, поэтому P2 = s21 − 2s2 ; P3 − s1 P2 + s2 P1 − 3s3 =363. Кольца многочленов0, что следует из (1) при n ≥ 3, поэтому P3 = s1 (s21 −2s2 )−s1 s2 +3s3 =s31 − 3s1 s2 + 3s3 ; P4 − s1 P3 + s2 P2 − s3 P1 = 0, что следует из (2) при n =3, поэтому P4 = s1 (s31 − 3s1 s2 + 3s3 ) − s2 (s21 − 2s2 ) + s1 s3 = s41 − 4s21 s2 +2s22 + 4s1 s3 и т.

д.Вычислим рекуррентно D(f ).Теорема 2. Для любого натурального n справедливо равенство¯¯¯¯¯Dis(s1 , . . . , sn ) = ¯¯¯¯¯nP1P2...Pn−1P1P2P3...PnДоказательство. Вычислим 4nP2P3......Pn+1...............Pn−1PnPn+1...P2n−2Q=¯¯¯¯¯¯.¯¯¯¯(xi − xj ) через1≤j<i≤nопределитель Вандермонда:¯¯¯¯¯Wn = ¯¯¯¯1x1...1x2.........1xn...xn−11x2n−1...xnn−1¯¯¯¯¯¯.¯¯¯Последовательно из каждой строки определителя Wnпредыдущую, умноженную на элемент x1 . Получим, что¯¯¯¯¯Wn = ¯¯¯¯10...1(x2 − x1 )...0xn−2(x2 − x1 ) . .

.2¯¯¯¯¯(x2 − x1 ) . . . (xn − x1 ) ¯¯¯¯......1x2.........1xn...xn−22...xnn−2вычтем¯¯¯¯¯¯=¯¯n−2xn (xn − x1 ) ¯1(xn − x1 )...¯¯¯¯¯¯ = (x2 − x1 ) . . . (xn − x1 )Wn−1 .¯¯¯Применяя индукцию по числу n, имеем Wn =Q(xi − xj ) = 4n .1≤j<i≤n37§ 13. Дискриминант многочлена. Формулы НьютонаТогда¯¯¯¯¯2Dis(s1 , . . . , sn ) = 4n = ¯¯¯¯¯¯¯¯¯=¯¯¯¯1x1.........1x1.........1xn...xn−11...xnn−11xn...¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ · ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯xn−1. .

. xn−1n1¯¯ 1... 1¯¯ x 1. . . xn¯= ¯ ....¯ ..¯¯ xn−1 . . . xn−1n1¯¯¯¯= ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯·¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯1x1...... 1. . . xn...xn−11...1x1...... 1. . . xn...x1n−1...xn−1nτ ¯¯¯ ¯ ¯ ¯= ¯¯¯11...x1x2.........xn−11xn−12...1xn...xn−1nnP1...Pn−1P1P2...Pnxn−1n¯¯¯¯¯¯ =¯¯¯. . . Pn−1. . . Pn... .... . .

P2n−2¯¯¯¯¯.¯¯¯¯¯ 2Примеры. 1. Пусть f = x2 + ax + b. Тогда D(f ) = ¯¯P1¯¯2 s1¯ = 2s21 − 4s2 − s21 = s21 − 4s2 = a2 − 4b.s1 s21 − 2s2 ¯2. Для многочлена g = x3 + ax + b его¯¯ 3P1¯D(g) = ¯¯ P1 P2¯ P2 P3¯¯¯¯¯¯=¯¯¯¤¯P1 ¯¯=P2 ¯дискриминант¯P2 ¯¯P3 ¯¯ .P4 ¯По формулам Ньютона P1 = s1 = 0, P2 = s21 − 2s2 = −2a, P3 = s31 −3s1 s2 + 3s3 = −3b, P4 = s41 − 4s1 s2 + 2s22 + 4s1 s3 = 2a2 , поэтому¯¯¯ 30−2a ¯¯¯−2a −3b ¯¯ = −12a3 + 8a3 − 27b2 = −4a3 − 27b2 .D(g) = ¯¯ 0¯ −2a −3b 2a2 ¯383. Кольца многочленов§ 14.Результант как определитель наличияобщих множителейПусть P — поле и f, g ∈ P [x]. Когда f и g имеют общий множительиз P [x]? Предположим, что f (x) = a0 xn +. . .+an и g(x) = b0 xm +. .

.+bm .Результантом Res(f, g) многочленов f и g называется элемент поляP , определяемый формулой:¯ ¯¯ ¯ a0 a1 . . . an¯ ¯¯ ¯a0 a1 . . . an¯ ¯¯¯...m строк¯¯¯¯...¯ ¯¯... ¯¯ ¯¯¯aa...a01n¯ Res(f, g) = ¯¯¯¯ ¯ b0 b1 . . . bm¯ ¯bb...b01m¯ ¯¯¯...n строк¯¯¯¯...¯ ¯¯... ¯¯ ¯¯¯b0 b1 . . . bm|{z}n+m(пустые места предполагаются заполненными нулями). Заметим, чтозначение Res(f, g) зависит от формы записи f и g, если мы допускаемвозможность a0 = 0 или b0 = 0; однако для нас важно только егоравенство или неравенство нулю.Свойства результанта.Res 1. Res(f, g) = 0 тогда и только тогда, когда a0 = b0 = 0 илимногочлены f и g имеют общий множитель в P [x], т.

е. deg (f, g) > 0.Доказательство. Докажем вначале, что deg (f, g) > 0 тогда и толькотогда, когда существуют такие ненулевые многочлены f1 , g1 ∈ P [x], чтоf g1 + f1 g = 0, deg f1 < deg f или deg g1 < deg g.Пусть (f, g) = h и deg h > 0. Тогда f = f1 h, g = −g1 h. Очевидно, чтоdeg f1 < deg f, deg g1 < deg g. Имеем:f g1 + gf1 = f1 hg1 − g1 hf1 = 0.§ 14. Результант как определитель наличия общих множителей39Обратно, пусть f g1 +gf1 = 0 для некоторых ненулевых f1 и g1 таких,что deg f1 < deg f или deg g1 < deg g. Покажем, что deg (f, g) > 0.Предположим, что (f, g) = 1. Тогда ввиду факториальности кольцаP [x] из равенства f g1 = −gf1 следует, что f |f1 , а g|g1 .

Следовательно,deg f ≤ deg f1 < deg f и deg g ≤ deg g1 < deg g. Противоречие.Теперь докажем, что условие f g1 + gf1 = 0, где f1 и g1 — такиененулевые многочлены, что deg f1 < deg f или deg g1 < deg g, влечётRes(f, g) = 0.Пусть f1 = c0 xn−1 + . . . + cn−1 и g1 = d0 xm−1 + . . . + dm−1 . Посколькуf g1 + gf1 = 0, то, приравнивая коэффициенты многочлена f g1 + gf1к нулю, получаем:a0 d0 + b0 c0 = 0при степени n + m − 1,a1 d0 + a0 d1 + b1 c0 + b0 c1 = 0при степени n + m − 2,ad+ad+ad+bc+bc+bc=0при степени n + m − 3,2 01 10 22 01 10 2······Рассмотрим систему линейных уравненийa0 x0 + .

. . . . . . . . . . . . . . + b0 y0 + . . .a1 x0 + a0 x1 + . . . . . . . . . + b1 y0 + b0 y1 . . .a2 x0 + a1 x1 + a0 x2 + . . . + b2 y0 + b1 y1 + b0 y2 . . .······с неизвестными x0 , . . . , xm−1 , y0 , . . . , yn−1 .Выпишем матрицу этой системы:m}|{zz a0b0 a1 a0b1 .a..1 ....A=..a0 ana1 bman.... .ann}|b0b1..bm.==={b0b1.... .bm000(1)Очевидно, что det Aτ = Res(f, g). Поскольку (d0 , . .

. , dm−1 , c0 , . . . , cn−1 )— ненулевое решение системы (1), то det A = 0. Следовательно,Res(f, g) = det Aτ = det A = 0.403. Кольца многочленовОбратно, если Res(f, g) = 0, а a0 и b0 одновременно не равны нулю,то, обращая последние рассуждения, получаем deg (f, g) > 0.¤§ 15.Результанткакфункция корнейсимметрическаяВ этом параграфе мы докажем ещё несколько свойств результанта.Res 2.

Пусть P — поле, f, g — многочлены из P [x], которыеполностью разлагаются в кольце P [x] на линейные множители.Предположим, что для некоторых αi , βj ∈ P мы имеемf (x) = a0 (x − α1 ) . . . (x − αn )иg(x) = b0 (x − β1 ) . . . (x − βm ).ТогдаRes(f, g) = am0nYi=1g(αi ) = (−1)mn bn0mYj=1nf (βj ) = am0 b0Y(αi − βj ).i,jДоказательство. Рассмотрим кольцо P = P [x1 , . . . , xn , y1 , .