1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции), страница 6

Как мызнаем, A[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо. Многочлен f (x1 , . . . , xn ) ∈A[x1 , . . . , xn ] называется однородным тогда и только тогда, когда все егоодночлены с ненулевыми коэффициентами имеют одинаковую степень.Если f — однородный многочлен степени k, то все одночлены, входящиев f , имеют степень k.Пример. Пусть f (x1 , x2 , x3 ) = x31 + 2x22 x3 . Тогда f — однородныйстепени 3. Многочлен h(x1 , x2 , x3 ) = 4x1 − 5x22 + x33 не являетсяоднородным, deg h = 3.Лемма 1. Пусть f, g — ненулевые многочлены кольца A[x1 , . . .

, xn ].Тогдаdeg (f g) = deg f + deg g.Доказательство. Пусть deg f = k, deg g = l. Тогдаf = f0 + f1 + . . . + fkиg = g0 + g1 + . . . + gl ,где fi и gj — однородные многочлены степеней i и j соответственно,и fk , gl 6= 0. Поскольку f g = f0 g0 + . . . + fk gl , тоdeg (f g) = deg (fk gl ) = k + l = deg f + deg g.¤Многочлен f = f (x1 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , . . . , xn ] называется симметрическим тогда и только тогда, когда для любой подстановки σ ∈ Snвыполняется равенство σf = f (xσ(1) , . .

. , xσ(n) ) = f (x1 , . . . , xn ).303. Кольца многочленовПример. Многочлены f (x1 , . . . , xn ) = xk1 + . . . + xkn и f (x1 , x2 ) =+ x22 — симметрические. Многочлен f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 неявляется симметрическим, так как для подстановки σ = (23) получаем:σf (x1 , x2 , x3 ) = x2σ(1) + x2σ(2) = x21 + x23 6= f (x1 , x2 , x3 ).x21Очевидно, что сумма и произведение симметрических многочленов— симметрические многочлены.

Ясно, что для любого многочленаg(y1 , . . . , yn ) ∈ A[y1 , . . . , yn ], g(f1 , . . . , fn ) ∈ A[x1 , . . . , xn ] — симметрический многочлен от x1 , . . . , xn , если f1 , . . . , fn — симметрическиемногочлены от x1 , . . . , xn .Элементарные симметрические многочлены от x1 , . . . , xn :s1=s2=sk···=s1 (x1 , . .

. , xn ) = x1 + . . . + xn ,Xs2 (x1 , . . . , xn ) =xi xj ,1≤i<j≤nXsk (x1 , . . . , xn ) =xi1 xi2 . . . xik ,1≤i1 <i2 <...<ik ≤nsn···=sn (x1 , . . . , xn ) = x1 . . . xn .Наша цель — доказать, что любой симметрический многочленможно выразить как многочлен от s1 , . . .

, sn .Подставим в многочлены s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn ) вместонеизвестной xn элемент 0 ∈ A. Тогда получим, что(s1 )0 = s1 |xn =0 = s1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) = x1 + . . . + xn−1 = s1 (x1 , . . . , xn−1 ),Xxi xj = s2 (x1 , . . . , xn−1 ),(s2 )0 = s2 |xn =0 = s2 (x1 , . . . , xn−1 , 0) =1≤i<j≤n−1···(sk )0 = sk |xn =0 = sk (x1 , . .

. , xn−1 , 0) =Xxi1 . . . xik = sk (x1 , . . . , xn−1 ),1≤i1 <...<ik ≤n−1···(sn−1 )0 = sn−1 |xn =0 = sn−1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) =x1 . . . xn−1 = sn−1 (x1 , . . . , xn−1 ),(sn )0 = sn |xn =0 = sn (x1 , . . . xn−1 , 0) = 0§ 12. Основная теорема о симметрических многочленах31являютсяэлементарнымисимметрическимимногочленамиот неизвестных x1 , .

. . , xn−1 .Посмотрим, что происходит с одночленами многочленаg(y1 , . . . , yn ) ∈ A[y1 , . . . , yn ] при подстановках y1 = s1 , . . . , yn = sn .Если g(y1 , . . . , yn ) = y1i1 y2i2 . . . ynin , то одночлен y1i1 y2i2 . . . ynin переходитв многочлен si11 si22 . . . sinn от неизвестных x1 , . . . , xn . Этот многочлен,очевидно, является однородным многочленом степени i1 +2i2 +. .

.+nin .Число i1 + 2i2 + . . . + nin называется весом одночлена y1i1 . . . ynin . Весоммногочлена g(y1 , . . . , yn ) называется максимальный вес одночленов,входящихв g с ненулевыми коэффициентами. Для многочленаPg = 0≤i1 ,...,in ≤m βi1 ...in y1i1 . . . ynin через h(g) обозначим его вес. Тогдаh(g) =max0≤i1 ,...,in ≤m{i1 + 2i2 + . . .

+ nin : βi1 ...in 6= 0}.Пример. Пусть g = y13 + y22 y3 . Тогда h(g) = max{3, 2 · 2 + 3 · 1} = 7.Для многочлена g = y1 + y22 + y33 его вес h(g) = max{1, 2 · 2, 3 · 3} = 9.Теорема 2. Для любого симметрического многочлена f ∈A[x1 , . . . , xn ] степени m существует единственный многочлен g ∈A[y1 , . . . , yn ] веса m, такой, чтоf (x1 , . . . , xn ) = g(s1 , . . . , sn ).Доказательство. Сначала докажем существование многочлена g.Доказательство проведём индукцией по двум параметрам n и m.При n = 1 имеем f (x1 ) = a0 + a1 x1 + . . . + am xm1 , где ai ∈ Aи s1 (x1 ) = x1 . Тогда f (x1 ) = a0 + a1 s1 + .

. . + am sm1 , а потому g(y) =a0 + a1 y + . . . + am y m — искомый многочлен. Следовательно, в этомслучае утверждение верно.Пусть для всех многочленов от k (k ≤ n − 1) неизвестныхутверждение верно и f (x1 , . . . , xn ) — многочлен степени mот неизвестных x1 , . . . , xn . Справедливость утверждения для fбудем доказывать индукцией по m.При m = 1 имеем f = f (x1 , . . . , xn ) = a0 + a1 (x1 + . . . + xn ), гдеa0 , a1 ∈ A.

Тогда f = a0 + a1 s1 (x1 , . . . , xn ), а потому g(y) = a0 + a1 y —искомый многочлен. Следовательно, в этом случае утверждение верно.Пусть для всех многочленов f = f (x1 , . . . , xn ) степени <m утверждение выполнено. Рассмотрим такой многочлен f =f (x1 , . . . , xn ), что deg f = m. Положим xn = 0 в f = f (x1 , . . . , xn ).Тогда f (x1 , . . . , xn−1 , 0) — многочлен от неизвестных x1 , .

. . , xn−1 ,323. Кольца многочленовпоэтому по предположению индукции существует g1 (y1 , . . . , yn−1 ) ∈A[y1 , . . . , yn−1 ], такой, чтоf (x1 , . . . , xn−1 , 0) = g1 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ),но поскольку deg f (x1 , . . . , xn−1 , 0) ≤ m, то h(g1 (y1 , . . . , yn−1 )) ≤ m,а также deg (g1 (s1 , . . . , sn−1 )) ≤ m. Следовательно, многочленf1 (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . .

. , xn ) − g1 (s1 , . . . , sn−1 )имеет степень ≤ m. Так какf1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) = f (x1 , . . . , xn−1 , 0) − g1 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ) = 0,то по теореме Безу многочлен f1 (x1 , . . . , xn ) делится на xn , т. е.f1 (x1 , . . . , xn ) = xn f2 (x1 , . . . , xn ). Но многочлен f1 (x1 , . . . , xn ) являетсясимметрическим, поэтому для любой подстановки σ ∈ Sn получаем,что σf1 = f1 = xσ(n) f2 (xσ(1) , . . . , xσ(n) ). Следовательно, многочленf1 делится на x1 , x2 , . . . , xn соответственно, и значит f1 делитсяна произведение x1 x2 . .

. xn = sn . Поэтому f1 (x1 , . . . , xn ) = sn ·f3 (x1 , . . . , xn ). Тогда для любой подстановки σ ∈ Sn , σf1 = f1 =sn · σf3 . Отсюда следует, что 0 = sn · (σf3 − f3 ) = 0. ПосколькуA[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо, то σf3 = f3 . Следовательно,f3 (x1 , . .

. , xn ) — симметрический многочлен. Поскольку deg f3 ≤m − n, то по предположению индукции существует g2 (y1 , . . . , yn ) ∈A[y1 , . . . , yn ], что f3 (x1 , . . . , xn ) = g2 (s1 , . . . , sn ). Тогдаf (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 , . . . , xn ) + g1 (s1 , . . . , sn−1 ) =sn · g2 (s1 , . . . , sn ) + g1 (s1 , . . . , sn−1 ).Существование многочлена g доказано. Сравнивая степени f и g,получаем, что вес g равен m.

Докажем единственность такого g.Пусть существуют два многочлена h1 (y1 , . . . , yn ), h2 (y1 , . . . , yn ) ∈A[y1 , . . . , yn ] такие, что f (x1 , . . . , xn ) = h1 (s1 , . . . , sn ) = h2 (s1 , . . . , sn ).Рассмотрим многочлен g(y1 , . .

. , yn ) = h1 (y1 , . . . , yn ) − h2 (y1 , . . . , yn ).Тогда g(s1 , . . . , sn ) = 0. Докажем, что g(y1 , . . . , yn ) — нулевой многочлен.Для этого установим справедливость следующего утверждения: пустьg(y1 , . . . , yn ) ∈ A[y1 , . . . , yn ] — произвольный многочлен, такой, чтоg(s1 , . . . , sn ) = 0, тогда g(y1 , . . . , yn ) = 0.

Доказательство проведёминдукцией по n.§ 12. Основная теорема о симметрических многочленах33При n = 1 получаем g = g(y1 ) = α0 + α1 y1 + . . . + αk y1k , где αi ∈ A.Поскольку s1 (x1 ) = x1 , то g(s1 ) = α0 + α1 x1 + . . . + αk xk1 = 0, т. е.α0 = α1 = . . . = αk = 0 и g = 0.Пусть утверждение верно для всех многочленов от (n − 1)неизвестной. Рассмотрим g = g(y1 , . . .

, yn ) от неизвестных y1 , . . . , ynи разложим g по степеням yn . Тогдаg = g0 (y1 , . . . , yn−1 ) + g1 (y1 , . . . , yn−1 )yn + . . . + gk (y1 , . . . , yn−1 )ynk ,где g0 (y1 , . . . , yn−1 ), . . . , g1 (y1 , . . . , yn−1 ) — многочлены от (n − 1)неизвестной, и 0 = g(s1 , . . . , sn ) =g0 (s1 , . . . , sn−1 ) + g1 (s1 , . . . , sn−1 )sn + . . . + gk (s1 , . . . , sn−1 )skn .Положив xn = 0, получим 0 = g((s1 )0 , . .

. , (sn )0 ) = g0 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ).Таким образом, многочлен g0 (y1 , . . . , yn−1 ) обладает следующимсвойством:g0 (s1 (x1 , . . . , xn−1 ), . . . , sn−1 (x1 , . . . , xn−1 )) = 0.Тогда по предположению индукции получаем g0 (y1 , . . . , yn−1 ) = 0.Если все многочлены gi (y1 , . . . , yn−1 ) = 0, то g = 0, и доказыватьнечего.Пусть существует такое i = 1, .

. . , k, что gi (y1 , . . . , yn−1 ) 6= 0.Выберем число l = min1≤i≤k {i : gi (y1 , . . . , yn−1 ) 6= 0}. Тогда 0 =g(s1 , . . . , sn ) =kgl (s1 , . . . , sn−1 )sln + gl+1 (s1 , . . . , sn−1 )sl+1n + . . . + gk (s1 , . . . , sn−1 )sn =sln (gl (s1 , . . . , sn−1 ) + gl+1 (s1 , . . . , sn−1 )sn + . . .

+ gk (s1 , . . . , sn−1 )sk−ln ) = 0.Поскольку A[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо, то= 0.gl (s1 , . . . , sn−1 ) + gl+1 (s1 , . . . , sn−1 )sn + . . . + gk (s1 , . . . , sn−1 )sk−lnПолагая опять xn = 0, получим, что gl (y1 , . . . , yn−1 ) = 0. Противоречиес выбором l.

Следовательно, все gi (y1 , . . . , yn−1 ) = 0, откудаg(y1 , . . . , yn ) = 0 и h1 = h2 .¤Следствие. Пусть P — поле, f (x) ∈ P [x], c1 , . . . , cn — все корниf (x) в расширении F поля P и h(x1 , . . . , xn ) — симметрическиймногочлен. Тогда h(c1 , . . . , cn ) ∈ P .Доказательство. По теореме 2 существует g(y1 , .