1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции), страница 10

Если A ' B, то fA (λ) = fB (λ).Доказательство. Пусть B = T AT −1 , где T — обратимая матрица.Тогда fB (λ) = |λE −B| = |λE −T AT −1 | = |λT ET −1 −T AT −1 | = |T (λE −A)T −1 | = |T | · |λE − A| · |T −1 | = |T | · |T |−1 · fA (λ) = fA (λ).¤53§ 6. Теорема Гамильтона — КэлиСледствие 1. 1. Если A ' B, то tr(A) = tr(B), det(A) = det(B).2. Пусть a1 , .

. . , an и b1 , . . . , bn — базисы V , ϕ ∈ L(V, V ). Тогда[ϕ]a1 ,...,an ' [ϕ]b1 ,...,bn и f[ϕ]a1 ,...,an (λ) = f[ϕ]b1 ,...,bn (λ).Доказательство. 1. Очевидно. 2. В силу теоремы 1 § 2 [ϕ]b1 ,...,bn =T [ϕ]a1 ,...,an T −1 , где T — матрица перехода от a1 , . . . , an к b1 , .

. . , bn .Следовательно, [ϕ]a1 ,...,an ' [ϕ]b1 ,...,bn и f[ϕ]a1 ,...,an (λ) = f[ϕ]b1 ,...,bn (λ) всилу теоремы 1.¤§ 6.Теорема Гамильтона — КэлиПусть f (x) = a0 xn + . . . + an ∈ F [x], A ∈ Mn (F ). Положим f (A) =f (x)|x=A = a0 An + . . . + an E, т. е. |x=A : F [x] → Mn (F ). Нетруднопроверить, что |x=A — гомоморфизм колец.Теорема 1 (Гамильтона — Кэли). fA (A) = 0 для любой A ∈ Mn (F ).e = (λE − A) и B = Ae∗ =Доказательство.

Положим Ae11 · · · Aen1A .... , где Afij и Mfij — минор, полученныйeij = (−1)i+j M .. e1n · · · AennAe вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.из Ae·Ae∗ = Ae∗ · Ae = |A|e · E по теореме 2 § 1.30. Следовательно,Имеем AB · (λE − A) = |λE − A| · E = fA (λ) · E. Очевидно, что B = (bij (λ)), где(0)(1)bij (λ) ∈ F [λ] и deg bij (λ) ≤ n − 1.

Значит, bij (λ) = bij + bij λ + . . . +(n−1) n−1bijλ³B = ³(k), где bij ∈ F , 0 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ i, j ≤ n. Таким образом,(0)(1)(n−1) n−1b11 + b11 λ +. . .+ b11λ³´···(0)(1)(n−1) n−1b1n + b1n λ +. . .+ b1nλ···´···´´ ··· ³(0)(0)(1)(n−1)(1)(n−1)bn1 + bn1 λ +. . .+ bn1 λn−1· · · bnn + bnn λ + . . . + bnn λn−1где Bi = (i)b11...(i)= B0 + B1 λ + .

. . + Bn−1 λn−1 ,(i)· · · b1n.. ....  ∈ Mn (F ), 0 ≤ i ≤ n − 1.(i)bn1 · · · bnnПусть fA (λ) = α0 + α1 λ + . . . + αn−1 λn−1 + λn , αi ∈ F. Тогда¡¢B0 + B1 λ + . . . + Bn−1 λn−1 · (λE − A) =544. Линейные преобразования векторных пространств¡¢= α0 + α1 λ + . . . + αn−1 λn−1 + λn · E.(1)Сравниваем коэффициенты при степенях λ:λ0 :−B0 A = α0 · E;λ1 :B0 − B1 A = α1 · E;.....................λn−1 : Bn−2 − Bn−1 A = αn−1 · E;λn :Bn−1 = E;умножим на E;умножим на A;...............умножим на An−1 ;умножим на An .Сложив все равенства после домножения, получим:0 = α0 · E + α1 · A + . . . + αn−1 An−1 + An = fA (A).¤Задача.

Почему нельзя подставить λ = A в (1)?§ 7.Инвариантные подпространства, условия их существованияПусть V — линейное пространство над полем F , ϕ ∈ L(V, V ). Линейноеподпространство U ⊆ V называется ϕ-инвариантным, если ϕ(U ) ⊆ U .Простейшие примеры и свойства.1. Для любого ϕ ∈ L(V, V ) пространства 0 и Vϕ-инвариантными (они называются несобственными).являются2.

Если U1 , U2 — ϕ-инвариантные подпространства в V , то U1 + U2и U1 ∩ U2 также ϕ-инвариантны.3. Пусть U инвариантно относительно преобразований ϕ и ψ. ТогдаU является инвариантным относительно преобразований ϕ + ψ, ϕ ◦ψ, αϕ, где α ∈ F .4. Если U является ϕ-инвариантным, то U инвариантноотносительно преобразования f (ϕ) для любого f (x) ∈ F [x].µ¶B10Пусть A ∈ Mn (F ) и A =, где B1 ∈ Mk (F ), B2 ∈B3B2Mm (F ), k + m = n, B3 ∈ Mm,k (F ), k, m ≥ 1.

Тогда A называетсяполураспавшейся матрицей.55§ 7. Инвариантные подпространстваЛемма 1. Преобразование ϕ ∈ L(V, V ) имеет собственноеϕ-инвариантное подпространство U (т. е. U 6= 0, V ) тогда и толькотогда, когда существует такой базис a1 , .

. . , an пространства V , что[ϕ]a1 ,...,an — полураспавшаяся матрица.Доказательство. ” ⇒ ”. Пусть U ⊆ V — собственное ϕинвариантное подпространство и a1 , . . . , ak — некоторый базис U , 1 ≤k ≤ n − 1. Дополним этот базис векторами ak+1 , . .

. , an до базиса V .Тогдаk ϕ(a ) = Pαij aj , i = 1, . . . , k,ij=1nPαij aj , ϕ(ai ) =i = k + 1, . . . , n.j=1Следовательно,[ϕ] = α11···αk1αk+11···αn1··················α1k···αkk·········0··················αk+1n···αnn.(1)Обратно, пусть [ϕ]a1 ,...,an имеет вид (1). Тогда ϕ(ai ) ∈ U, i = 1, . . . , k,а потому ϕ(x) ∈ U для любого x ∈ U и ϕ(U ) ⊆ U .¤Пусть U является ϕ-инвариантным подпространством в V .Тогда ограничение действия ϕ на U называется индуцированнымпреобразованием ϕ на U и обозначается ϕ|U , т.

е. ϕ|U ∈ L(U, U )и ϕ|U (x) = ϕ(x) для любого x ∈ U . В частности, в лемме 1 имеем:[ϕ|U ]a1 ,...,akα11 ..= .αk1···...···α1k..  .. αkkПусть Ai ∈ Mki (F ), k1 + . . . + k` = n. Тогда матрицаA1A2A := A1 ⊕ . . . ⊕ A` :=  ∈ Mn (F )...¯¯A`564. Линейные преобразования векторных пространствназывается клеточно-диагональной.Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L(V, V ). Пространство является прямойсуммой ϕ-инвариантных подпространств тогда и только тогда, когдасуществует такой базис a1 , . .

. , an пространства V , что [ϕ]a1 ,...,an —клеточно-диагональная матрица.Доказательство.P̀i=1Пусть V= V1 ⊕ . . . ⊕ V` , dimF (Vi ) = ki ,ki = n. Далее доказательство повторяет доказательство леммы 1.Пусть {bs1 , . . . , bsks } — базис Vs , s = 1, .

. . , `. Тогда {a1 , . . . , an } ={b11 , . . . , b1k1 , . . . , b`1 , . . . , b`k` } — базис V , [ϕ]a1 ,...,an — клеточно¤диагональная матрица, и наоборот.§ 8.Характеристический многочлен линейного преобразованияПусть a1 , . . . , an — некоторый базис V и ϕ ∈ L(V, V ). Многочлен fϕ (λ) =f[ϕ]a1 ,...,an (λ) = |λE − [ϕ]a1 ,...,an | называется характеристическиммногочленом преобразования ϕ.Корректность определения.

Покажем, что определение не зависитот выбора базиса a1 , . . . , an пространства V . Пусть b1 , . . . , bn — другойбазис V . Тогда в силу следствия 1 § 5 имеем:fϕ (λ) = f[ϕ]a1 ,...,an (λ) = f[ϕ]b1 ,...,bn (λ) .Простейшие свойства fϕ (λ):1) deg fϕ (λ) = dimF (V ) = n;2) fϕ (λ) = λn + cn−1 λn−1 + .

. . + c0 , где ci ∈ F не зависят от выборабазиса a1 , . . . , an . По определению −cn−1 = tr([ϕ]a,...,an ) := tr(ϕ) — следϕ, (−1)n c0 = det([ϕ]a,...,an ) := det(ϕ) — определитель ϕ.Лемма1. Пусть Vs=⊕ Vi , где Vi — ϕ-инвариантныеi=1подпространства, i = 1, . . . , s. Тогдаfϕ (λ) = fϕ|V (λ1 ) · . . . · fϕ|V (λ).1s57§ 9.

Собственные векторы и значенияДоказательство. Пусть bi1 , . . . , bimi — базис Vi , i = 1, . . . , s, тогдаA10ªs ©..∪ bi1 , . . . , bimi — базис V . В этом базисе [ϕ] =  , где.i=10AsPAi ∈ Mmi (F ),mi = n. ТогдаλE1 − A10..fϕ (λ) = det (λE − [ϕ]) = det ,.0λEs − Asгде Ei — единичная матрица из Mmi (F ), i = 1, . .

. , s.Заметим, что для любой клеточно-диагональной матрицы имеемµdetA100A2¶µ= detA100E2¶µdetE100A2¶=2Ydet Ai ,i=1где Ei — единичная матрица такого же порядка, как Ai , а потомуssQQfϕ (λ) =det (λEi − Ai ) =fϕ|V (λ) .¤i=1i=1iДля любого ϕ ∈ L(V, V ) и многочлена f (λ) = α0 + α1 λ + . . . + αk λk ∈F [λ] положим f (ϕ) = f (λ)|λ=ϕ = α0 id + α1 ϕ + . . . + αk ϕk ∈ L (V, V ) .Теорема 1 (Гамильтона — Кэли для преобразований).

Для любогопреобразования ϕ ∈ L (V, V ) выполняется равенство fϕ (ϕ) = 0.Доказательство. В силу теоремы 1 § 4 для произвольного базисаa1 , . . . , an пространства V отображение [ ] = [ ]a1 ,...,an : L(V, V ) → Mn (F )— изоморфизм алгебр. Поэтому [f (ϕ)] = f ([ϕ]) для любого f (λ) ∈ F [λ].Следовательно, [fϕ (ϕ)] = fϕ ([ϕ]) = f[ϕ] ([ϕ]) = 0 по теореме 1 § 6. Таккак [ ] — изоморфизм, то fϕ (ϕ) = 0.¤§ 9.Собственные векторы и значения.Независимость векторов, отвечающихразличным собственным значениямЭлемент λ ∈ F называется собственным значением преобразования ϕ ∈L (V, V ), если существует такой ненулевой a ∈ V , что ϕ(a) = λa. В этомслучае a называется собственным вектором ϕ, соответствующим λ.584.

Линейные преобразования векторных пространствПусть a1 , . . . , an — некоторый базис V и [ ] = [ ]a1 ,...,an —изоморфизм L(V, V ) и Mn (F ). В силу изоморфизма все определенияи утверждения эквивалентно могут быть сформулированы длялинейных преобразований и матриц. Например, λ ∈ F называютсобственным значением A ∈ Mn (F ), если существует такой ненулевойx ∈ Fn , что xA = λx. В дальнейшем, в зависимости от удобстваизложения, мы будем формулировать утверждения либо в матричномвиде, либо для линейных отображений.½ k¾PНапомним, что L (b1 , .

. . , bk ) =αi bi : αi ∈ F— линейнаяi=1оболочка векторов b1 , . . . , bk ∈ V. В силу § 1.10 L (b1 , . . . , bk ) —минимальное подпространство пространства V , содержащее b1 , . . . , bk .Лемма 1. Пусть ϕ ∈ L(V, V ). Справедливы следующиеутверждения:1) a — собственный вектор ϕ ⇔ L(a) является ϕ-инвариантным;2) α — собственное значение ϕ ⇔ fϕ (α) = 0;3) ϕ имеет n линейно независимых собственных векторов⇔ существует такой базис b1 , . . .

, bn пространства V , что длянекоторых αi ∈ F выполняется[ϕ]b1 ,...,bn = α10..0..αnДоказательство. 1. Если a — собственный вектор ϕ, то a 6= 0и существует α ∈ F такое, что ϕ (a) = αa. Для любого b ∈ L (a)существует λ ∈ F такое, что b = λa. Следовательно, ϕ (b) = ϕ (λa) =λϕ (a) = λαa ∈ L (a) и L (a) — ϕ-инвариантное подпространство.Обратно, если ϕ (a) ∈ L (a), то существует такой α ∈ F , что ϕ(a) = αa.2. По определению α является собственным значением ϕ тогдаи только тогда, когда существует ненулевой a ∈ V такой, что ϕ(a) = αa.Пусть [ ] = [ ]a1 ,...,an , где a1 , .