1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции), страница 9

. . = fr (a) = 0 — противоречие,поскольку fr (a) — ненулевая константа. Все корни всех fi разбиваютинтервал [b, c] на подинтервалы [b, c] = [b, c1 ] ∪ [c1 , c2 ] ∪ . . . ∪ [ck , c].Внутри (ci , ci+1 ) все fs имеют один знак, поэтому там ω(a) не меняется.Посмотрим, как меняется ω(a) в точках ci .1. Пусть ci — корень fs , 0 < s < r. В силу равенства fs−1 =fs qs −fs+1 числа fs−1 (ci ) и fs+1 (ci ) должны иметь разные знаки. Эти жезнаки они имеют и в примыкающих к точке ci подинтервалах.

Значит,независимо от знака fs есть одна перемена знака в последовательностиfs−1 (a), fs (a), fs+1 (a), как слева, так и справа от ci (и в точке ci ). Итак,ω(a) не изменяется в этом случае.2. Пусть ci — корень f . Имеем: f (x) = (x − c)g(x), g(c) 6= 0,f1 (x) = g(x) + (x − c)g 0 (x). Знак f1 в точке ci и возле неё совпадаетсо знаком g(ci ), а f меняет знак в точке ci . Значит, при a < ci естьперемена знака среди чисел f0 (a) и f1 (a), а при a > ci нет переменызнака. Все остальные перемены знака сохраняются. Итак, при переходечерез корень многочлена f число ω(a) уменьшается на 1.¤Глава 4Линейные преобразованиявекторных пространствВ этой главе мы изучим линейные преобразования векторныхпространств и приведём классификацию таких преобразованийв случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым.§ 1.Матрица линейного отображенияВ § 15 главы 1 мы ввели понятие линейного отображения и привелинекоторые примеры линейных отображений.

Дадим ещё несколькопримеров.Далее в этой главе через V мы обозначаемлинейное пространствоLнад некоторым полем F . Пусть V = V1 V2 . Тогда для любого v ∈ Vсуществуют такие единственные v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , что v = v1 + v2 .Положим ϕ(v) = v1 . Нетрудно проверить, что ϕ ∈ L(V, V ). Отображениеϕ называется проектированием V на V1 параллельно V2 .Далее пусть F [x] — линейное пространство многочленов от x надполем F . Положим ϕ(f (x)) = f 0 (x). Очевидно, что ϕ ∈ L(F [x], F [x]).Пусть V — линейное пространство размерности n над F , т. е.dimF (V ) = n.

Пусть a1 , . . . , an — некоторый базис V и ϕ ∈ L(V, V ).484. Линейные преобразования векторных пространствТогда существуют такие единственные αij ∈ F , 1 ≤ i, j ≤ n, что ϕ(a1 ) = α11 a1 + . . . + α1n an ,...ϕ(an ) = αn1 a1 + . . . + αnn an .α11 · · · α1n..  называется матрицей..Матрица [ϕ]a1 ,...,an =  ..... αn1 · · · αnnлинейного преобразования ϕ в базисе a1 , . .

. , an . Таким образом, мыпостроили отображение [ ]a1 ,...,an : L(V, V ) → Mn (F ).Примеры.1. [id]a1 ,...,an = E.2. [0]a1 ,...,an = 0. L3. Пусть V = V1 V2 , a1 , . . . , ak — базис V1 , ak+1 , . . . , an — базис V2 .Тогд൶Ek 0[ϕ]a1 ,...,an =,0 0где ϕ — проектирование V на V1 параллельно V2 , а Ek — единичнаяматрица из Mk (F ).4. Пусть ϕ(f (x)) = f 0 (x), ϕ : Fn [x] → Fn [x], где Fn [x] = {f ∈ F [x] :deg f ≤ n}. Тогда 1, x, x2 , . . .

, xn — базис пространства Fn [x] и0 0 ··· 0 0 1 0 ··· 0 0 n[ϕ]1,x,...,x =  0 2 ··· 0 0 . 0 0 ··· 0 0 0 0 ··· n 0§ 2.Координаты образа вектора. Изменениематрицы при изменении базыПусть V — линейное пространство над F , dimF (V ) = n, a1 , . . . , anи b1 , . . . , bn — некоторые базисы V . Тогда для любого v ∈ V существуютnPтакие единственные α1 , . . . , αn ∈ F , что v =αi ai . Строка [v]a1 ,...,an =i=1(α1 , .

. . , αn ) ∈ Fn называется координатами вектора v в базисеa1 , . . . , an . По теореме 1 § 1.12 отображение [ ]a1 ,...,an : V → Fn49§ 2. Изменение матрицы при изменении базыявляется изоморфизмом векторных пространств. Существуют такиеnPединственные tij ∈ F , что bi =tij aj , i, j = 1, . . . , n. Матрица T = (tij )j=1называется матрицей перехода от базиса a1 , . .

. , an к b1 , . . . , bn .Теорема 1. Для всех x ∈ V , ϕ ∈ L(V, V ) выполняется:1) [x]a1 ,...,an = [x]b1 ,...,bn T ;2) [ϕ(x)]a1 ,...,an = [x]a1 ,...,an · [ϕ]a1 ,...,an ;3) [ϕ]b1 ,...,bn = T [ϕ]a1 ,...,an T −1 .Доказательство. 1. Пусть [x]a1 ,...,an = (x1 , . . . , xn ), [x]b1 ,...,bn =(y1 , . . . , yn ). ТогдаÃ n!nnnnnXXXXXXx=xi ai =yj bj =yjtji ai =yj tji  ai .i=1j=1Следовательно, xi =j=1nPj=1i=1i=1j=1yj tji , i = 1, .

. . , n, и (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn )T .В итоге [x]a1 ,...,an = [x]b1 ,...,bn T. Заметим, что из последнего равенстваследует |T | 6= 0. Действительно, последовательно полагая x =a1 , . . . , x = an , получаем E = XT для некоторой матрицы X.nnPP2. Пусть x =xi ai , ϕ(ai ) =αij aj . Тогдаi=1ϕ(x) =nXj=1xi ϕ(ai ) =i=1nXÃ n!nnXXXxi αij aj  =xi αij aj ,i=1j=1[ϕ(x)]a1 ,...,an = (α11 ..= (x1 , . .

. , xn ) ·  .αn1nXi=1···...···xi αi1 , . . . ,j=1nXi=1xi αin ) =i=1α1n..  = [x]a1 ,...,an [ϕ]a1 ,...,an .. αnn3. Пусть [ϕ]a1 ,...,an = A, [ϕ]b1 ,...,bn = B. Тогда для любого x ∈ Vимеем:[ϕ(x)]a1 ,...,an = [x]a1 ,...,an A, [ϕ(x)]b1 ,...,bn = [x]b1 ,...,bn B,[ϕ(x)]a1 ,...,an = [ϕ(x)]b1 ,...,bn T, [x]a1 ,...,an = [x]b1 ,...,bn T.504. Линейные преобразования векторных пространствСледовательно, [x]a1 ,...,an A = [x]b1 ,...,bn T A = [x]b1 ,...,bn BT .Так как x — произвольный вектор, то T A = BT и B = T AT −1 .§ 3.¤Однозначное определение линейногопреобразования по образу базисаТеорема 1. Пусть a1 , .

. . , an — некоторый базис V , b1 , . . . , bn —произвольные векторы из V . Тогда существует такое единственноеϕ ∈ L(V, V ), что ϕ(ai ) = bi , i = 1, . . . , n.Доказательство.Длялюбогоединственные γ1 , . . . , γn ∈ F , что v =vnPi=1∈VсуществуюттакиеnPγi ai . Положим ϕ(v) =γi bi .Докажем, что ϕ ∈ L(V, V ). Для любых α, β ∈ F, x =nPi=1βi ai ∈ V имеем αx + βy =ϕ(αx + βy) =nP(ααi + ββi )bi = αi=1nPnPi=1i=1αi ai , y =(ααi + ββi )ai .

По определениюi=1nPnPi=1i=1α i bi + ββi bi = αϕ(x) + βϕ(y),т. е. ϕ ∈ L(V, V ).Пусть ψ ∈ L(V, V ) и ψ(ai ) = bi для всех i = 1, . . . , n. Тогда дляnnPPлюбого x =αi ai ∈ V выполняется ψ(x) =αi bi . Следовательно,i=1ϕ(x) = ψ(x) и ϕ = ψ.i=1¤Обозначим отображение [ ]a1 ,...,an через [ ].Следствие 1. Отображение [ ] : L(V, V ) → Mn (F ) являетсябиективным.Доказательство. Для любых ϕ, ψ ∈ L(V, V ) имеем[ϕ]a1 ,...,an = [ψ]a1 ,...,an ⇔ ϕ(ai ) = ψ(ai )для всех i = 1, .

. . , n. Последние равенства эквивалентны тому, чтоϕ(x) = ψ(x) для всех x ∈ V , т. е. ϕ = ψ. Следовательно, отображение [ ]nPинъективно. Для любой A = (αij ) ∈ Mn (F ) положим bi =αij aj , гдеj=1i = 1, . . . , n. По теореме 1 существует такое единственное ϕ ∈ L(V, V ),что ϕ(ai ) = bi для всех i = 1, . . . , n. По определению [ϕ]a1 ,...,an = A.Следовательно, отображение [ ] сюръективно.¤§ 4. Изоморфизм алгебр L(Fn , Fn ) и Mn (F )§ 4.51Изоморфизм алгебр L(Fn , Fn ) и Mn (F )Предложение 1. Для любых α ∈ F , ϕ, ψ ∈ L(Fn , Fn ) справедливо:αϕ, ϕ + ψ, ϕ ◦ ψ ∈ L(Fn , Fn ).Доказательство.Предложениебылодоказанов§ 1.15,за исключением того, что ϕ ◦ ψ ∈ L(Fn , Fn ). Пусть α, β ∈ F, x, y ∈ Fn .Тогда ϕ ◦ ψ(αx + βy) = ψ(ϕ(αx + βy)) = ψ(αϕ(x) + βϕ(y)) =αψ(ϕ(x)) + βψ(ϕ(y)) = α(ϕ ◦ ψ)(x) + β(ϕ ◦ ψ)(y).¤Алгебраическая система hA; +, ·, ·α, α ∈ F i называется алгеброй надполем F , если(A1) hA; +, ·i — кольцо;(A2) hA; +, ·α, α ∈ F i — линейное пространство над F ;(A3) α(a · b) = (αa · b) = a · (αb) для любых α ∈ F, a, b ∈ A.В главе 1 было доказано, что Mn (F ) — кольцо и линейноепространство над F .

Так как α(A · B) = (αA) · B = A · (αB) для любыхα ∈ F, A, B ∈ Mn (F ), то Mn (F ) — алгебра над F . Докажем, чтоL(Fn , Fn ) — алгебра над F .Теорема 1. L(Fn , Fn ) ∼= Mn (F ).Доказательство. Выберем a1 , . . . , an — некоторый базис Fnи обозначим [ ] = [ ]a1 ,...,an . Докажем, что [ ] : L(Fn , Fn ) → Mn (F )— изоморфизм. В силу следствия 1 § 3 [ ] — биективное отображение.Докажем, что [ ] сохраняет операции.1. [ϕ + ψ] = [ϕ] + [ψ]: для любых x ∈ Fn , ϕ, ψ ∈ L(Fn , Fn ) имеем[(ϕ+ψ)(x)] = [x][ϕ+ψ] = [ϕ(x)+ψ(x)] = [ϕ(x)]+[ψ(x)] = [x][ϕ]+[x][ψ] =[x]([ϕ]+[ψ]). Следовательно, [ϕ+ψ] = [ϕ]+[ψ], так как x — произвольныйвектор.2. [αϕ] = α[ϕ]: для любых x ∈ Fn , ϕ ∈ L(Fn , Fn ) имеем [(αϕ)(x)] =[αϕ(x)] = α[ϕ(x)] = α[x][ϕ] = [x][αϕ]. Следовательно, α[ϕ] = [αϕ].3.

[ϕ ◦ ψ] = [ϕ] · [ψ]: для любых x ∈ Fn , ϕ, ψ ∈ L(Fn , Fn ) имеем[(ϕ ◦ ψ)(x)] = [x][ϕ ◦ ψ] = [ψ(ϕ(x))] = [ϕ(x)][ψ] = ([x][ϕ])[ψ] = [x]([ϕ] · [ψ]).Следовательно, [ϕ ◦ ψ] = [ϕ] · [ψ].¤Следствие. L(Fn , Fn ) — алгебра над F .¤52§ 5.4. Линейные преобразования векторных пространствХарактеристические многочленыдобных матриц. Подобие матрицПусть A = (αij ) ∈ Mn (F ). Матрицаλ − α11 −α12 −α21λ − α22λE − A =  ... ...−αn1−αn2.........−α1n−α2n...···λ − αnnпо-называется характеристической матрицей для A. Многочлен fA (λ) =det(λE − A) называется характеристическим многочленом дляматрицы A.Предложение 1.

fA (λ) = λn + an−1 λn−1 + . . . + a0 , где an−1 =−tr(A) = −(α11 + . . . + αnn ) — след матрицы A, a0 = (−1)n det(A).Доказательство. Используя формулу полного развёртыванияопределителя, получим fA (λ) = (λ − α11 ) . . . (λ − αnn ) + (одночленыстепени ≤ n − 2), так как в одночлен, содержащий αij , не входитмножитель (λ−αii )(λ−αjj ) при i 6= j. Поэтому fA (λ) = λn −tr(A)λn−1 +сумма одночленов степени ≤ n − 2. Положим λ = 0.

Тогда fA (0) = a0 =det(−A) = (−1)n det A.¤Матрицы A и B ∈ Mn (F ) называются подобными, если существуеттакая обратимая матрица T ∈ Mn (F ), что B = T AT −1 . Обозначение:A ' B.Предложение 2. ” ' ” — отношение эквивалентности на Mn (F ).Доказательство. Во-первых, A ' A, так как A = EAE −1 . Вовторых, если A ' B, то существует такая обратимая матрица T , чтоB = T AT −1 , т. е. A = (T −1 )B(T −1 )−1 .И последнее, если A ' B, B ' C, то B = T1 AT1−1 , C = T2 BT2−1 , гдеT1 и T2 обратимы. Поэтому C = T2 T1 AT1−1 T2−1 = (T2 T1 )A(T2 T1 )−1 , т. е.A ' C.¤В силу теоремы 1 § 1.5 Mn (F ) разбивается на непересекающиесяклассы эквивалентных матриц.Теорема 1.