1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции)

А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. ШестаковЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕЧасть 2МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логикиА. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И.

П. ШестаковЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕЧасть 2Учебное пособиеНовосибирск2012УДК 512.64(075)ББК: В14.5я73-1Г 144Пожидаев А. П., Сверчков С. Р., Шестаков И. П. Лекциипо алгебре: в 2 ч.: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск,2012. Ч. 2. 123 с.ISBN 978-5-4437-0103-5В пособии излагается основной курс высшей алгебры, читавшийсяавторами в 1989–2012 гг. на одном из потоков первого курса механикоматематическогофакультетаНовосибирскогогосударственногоуниверситета. Часть 1 соответствует программе первого семестра,а часть 2 — второго. Для чтения и понимания текста от читателятребуется знание элементарных понятий теории множеств,отображений и принципа математической индукции.Предназначено для студентов и преподавателей, специализирующихся по курсу высшей алгебры.Рецензенты:канд. физ.-мат.

наук М. Е. Гончаров,д-р физ.-мат. наук П. С. КолесниковИздание подготовлено в рамках реализации Программыразвития государственного образовательного учреждения высшегопрофессионального образования «Новосибирский государственныйуниверситет» на 2009–2018 годы.ISBN 978-5-4437-0103-5c Новосибирский°государственныйуниверситет, 2012c Пожидаев А. П., Сверчков С. Р.,°Шестаков И. П., 2012ОглавлениеВведение63. Кольца многочленов§ 1.

Алгоритм деления с остатком и его следствие . . . . . . .§ 2. Факториальныекольца,Н.О.Д.иН.О.К.вфакториальных кольцах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . .§ 4. Факториальность евклидовых колец . . . . . . . . . . . . .§ 5. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса . . .

. . . . . . .§ 6. Факториальностькольцамногочленовнадфакториальным кольцом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 7. Неприводимые многочлены, признак неприводимостиЭйзенштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8. Разложение рациональных функций на простейшие дроби§ 9. Корнимногочленаилинейныемножители.Интерполяционные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 10. Теорема о существовании корня.

Поле разложения . . . .§ 11. Формула Тейлора. Отделение кратных множителей . . . .§ 12. ФормулыВиета.Основнаятеоремао симметрических многочленах . . . . . . . . . . . . . . . .§ 13. Дискриминант многочлена. Формулы Ньютона . . . . . .§ 14. Результант как определитель наличия общих множителей§ 15. Результант как симметрическая функция корней . . . . .§ 16. Алгебраическая замкнутость поля C . . .

. . . . . . . . . .§ 17. Разложение многочленов на множители над C, R и Q . . .§ 18. Границы корней. Теорема Штурма . . . . . . . . . . . . . .778121415161719212325283438404344454. Линейные преобразования векторных пространств47§ 1. Матрица линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . . 47§ 2. Координаты образа вектора. Изменение матрицы приизменении базы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4834Оглавление§ 3. Однозначное определение линейного преобразования пообразу базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Изоморфизм алгебр L(Fn , Fn ) и Mn (F ) . . . . . . . . . . .§ 5. Характеристические многочлены подобных матриц.Подобие матриц . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Теорема Гамильтона — Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 7. Инвариантные подпространства, условия их существования§ 8. Характеристический многочлен линейного преобразования§ 9. Собственные векторы и значения. Независимостьвекторов, отвечающих различным собственным значениям§ 10. Минимальные многочлены матриц и линейныхпреобразований . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 11. Нильпотентные преобразования, канонический вид ихматриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 12. Минимальный и характеристический многочлен отматрицы Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 13. Векторное пространство как прямая сумма корневыхподпространств . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 14. Теорема Жордана — существование жордановойнормальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 15. Теорема Жордана — единственность жордановойнормальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 16. Задача о подобии матриц . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .§ 17. Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 18. Представление функций от матриц многочленами . . . . .5. Евклидовы и унитарные пространства§ 1. Аксиоматика и примеры унитарных и евклидовыхпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .§ 2. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши —Буняковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта . . . . . . .§ 4. Ортогональные суммы и ортогональные дополнения . . .§ 5. Пространство как ортогональная сумма подпространствU и U⊥ . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Существованиеиединственностьсопряжённогопреобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 7. Основныесвойстваиматрицасопряжённогопреобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8. Каноническийвиднормальногопреобразованияунитарного пространства . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .5051525354565759616365697274757781. 81. 83. 85. 87. 87. 88. 89. 905§ 9. Изоморфизм унитарных пространств . . . . . . . . . . . .§ 10. Каноническийвиднормальногопреобразованияевклидова пространства . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .§ 11. Унитарные и ортогональные преобразования . . . . . . .§ 12. Канонический вид матриц унитарных и ортогональныхпреобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 13. Эрмитовы и симметрические преобразования . . . . . . .§ 14. Канонический вид матриц эрмитовых и симметрическихпреобразований . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .§ 15. Положительныеинеотрицательныеэрмитовыпреобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 16. Сингулярное и полярное разложение линейногопреобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. 93. 96. 98.

99. 100. 101. 1026. Квадратичные формы105§ 1. Матрица квадратичной формы, её поведение при замененеизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105§ 2. Приведение квадратичной формы к главным осям . . . . . 106§ 3. Алгоритм Лагранжа приведения формы к диагональномувиду . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106§ 4. Закон инерции квадратичных форм . . . . . . . . . . . . . 108§ 5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду 109§ 6. Необходимые и достаточные условия положительнойопределённости формы . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 110§ 7. Одновременная диагонализация двух квадратичных форм 1127. Базисы Грёбнера§ 1. Эквивалентность систем алгебраических уравнений.Теорема Гильберта о базисе . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Идеал системы, аффинное алгебраическое многообразие,радикал идеала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Базис Грёбнера идеала .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Системы алгебраических уравнений и базисы Грёбнера .Предметный указатель113. 113. 115. 117. 119121ВведениеВторая часть учебного пособия в основном соответствует курсу“Высшая алгебра”, читаемого во втором семестре для второго потокастудентов первого курса ММФ НГУ. Данная часть состоит из пятиглав, продолжающих нумерацию глав первой части.

В третьей главеизучаются многочлены. Четвёртая глава даёт более глубокий анализлинейных преобразований над алгебраически замкнутым полем, а пятая— линейных преобразований пространств со скалярным произведениемнад полями R и C. Шестая глава посвящена основам теорииквадратичных форм, а заключительная, седьмая, — основам теориибазисов Грёбнера — Ширшова, которые в случае коммутативныхалгебр называются базисами Грёбнера и которые вновь возвращают наск системам уравнений, однако на этот раз — к системам произвольныхалгебраических уравнений над полями.Обозначения: A ⇒ B означает, что из утверждения A следуетутверждение B; A ⇔ B — эквивалентность утверждений A и B;квантор всеобщности ∀ служит заменой выражения “для всех”; ∃ —квантор существования; ∃! — существует единственный; N обозначаетнатуральные числа, N0 — натуральные числа с нулём, Z — целые числа,Q — рациональные, R — действительные, C — комплексные числа; i —мнимая единица в C; символ := означает равенство по определению;конец доказательства обозначается символом ¤.Нумерация параграфов в каждой главе самостоятельная.

Ссылка,например, на утверждение 1 означает утверждение 1 данногопараграфа; ссылка на утверждение 1 § 4 означает утверждение 1параграфа 4 данной главы, а ссылка на утверждение 1 § 2.4 означаетутверждение 1 четвёртого параграфа второй главы.Выражаем благодарности: А.

В. Васильеву, М. Е. Гончарову,В. Н. Желябину, П. С. Колесникову.Глава 3Кольца многочленовВ этой главе мы изучим факториальные и евклидовы кольца,рациональные функции, однако основной темой является болееглубокое изучение многочленов, их корней и разложений.§ 1.Алгоритм деления с остаткомТеорема 1. Пусть A — целостное кольцо, g (x) ∈ A [x], и старшийкоэффициент g обратим в A. Тогда для любого f ∈ A [x] существуютединственные q, r ∈ A [x] такие, что f = q · g + r, где deg r < deg g.Доказательство. Пусть f = a0 + . . . + an xn , g = b0 + .

. . + bm xm и bm— обратимый элемент кольца A. Возможны следующие случаи:1) если deg g > deg f , то f = 0 · g + f ;2) если deg g = 0, то g = bm и f = (b−1m )f · bm + 0;3) пусть 0 < deg g ≤ deg f . Воспользуемся индукцией по deg f .n−mПусть f1 = f − an b−1g.

Тогда deg f1 < deg f и по индукцииm xсуществуютg,rтакие,чтоf1 ¢11 = g · q1 + r1 , deg r1 < deg g. Тогда f =¡n−mq1 + an b−1x·g+r.1mДокажем единственность. Пусть f = q1 g + r1 = q2 g + r2 . Тогда(q1 − q2 )·g = r2 −r1 . Так как deg (r2 − r1 ) < deg g, то q1 −q2 = 0, r1 −r2 =0.¤Пусть K — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. ИдеалI кольца K называется главным, если I = aK := {ak : k ∈ K}.83. Кольца многочленовСледствие.

Пусть P — поле. Тогда всякий идеал в P [x] являетсяглавным.Доказательство. Пусть I C P [x]. Выберем f ∈ I, имеющийминимальную степень. Тогда для любого g ∈ I имеем g = f q + r,где deg r < deg f . Так как f, g ∈ I, то r ∈ I. Следовательно, g = f q,и I = f · P [x].¤§ 2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К.в факториальных кольцахПусть K — целостное кольцо. Элемент a кольца K называетсярегулярным (или обратимым) элементом, если существует такойэлемент b ∈ K, что ab = 1.Будем говорить, что элемент b кольца K делится на a (a делитb), и писать a|b, если b = ac для некоторого элемента c ∈ K. Если a|bи b|a, то a и b называются ассоциированными. В этом случае существуюттакие элементы u, v ∈ K, что b = au и a = bv.

Тогда a = auv, и поэтомуa(1−uv) = 0. Следовательно, uv = 1, т. е. u и v — регулярные элементы.Если элементы a и b ассоциированны, то будем обозначать это символомa ∼ b. Элемент p кольца K называется простым (неразложимым),если он необратим и его нельзя представить в виде p = ab, где a и b —необратимые элементы.Примеры. 1. Регулярными элементами в кольце целых чисел Zявляются только ±1, простые элементы в Z — это ±p, где p — простоечисло.2.

Пусть f (x) — многочлен из P [x], где P — поле. Если f (x)регулярный, то существует такой g(x) ∈ P [x], что f (x)g(x) = 1.Следовательно, deg f = deg g = 0, и поэтому f (x) — элемент поляP . Ненулевые многочлены f (x) и g(x) ассоциированны тогда и толькотогда, когда f (x) = λg(x), где λ — ненулевой элемент поля P .Простые элементы в P [x] — это многочлены, которые нельзя разложитьв произведение многочленов из P [x] степени больше нуля.