1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции), страница 2

Они такженазываются неприводимыми над P многочленами.Отметим некоторые простейшие свойства делимости в кольце K.1. Если a|b и b|c, то a|c. Действительно, b = aa1 и c = bb1 длянекоторых элементов a1 , b1 ∈ K. Следовательно, c = aa1 b1 , т. е. a|c.§ 2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К.92. Если c|a и c|b, то c|(a ± b). Очевидно.3. Если a|b, то a|bc для любого c ∈ K. Действительно, b = aa1 .Умножив обе части этого равенства на элемент c, получим: bc = aa1 c,т.

е. a|bc.Комбинируя 2) и 3), получаем:4. Если a|b1 , . . . , a|bm , то a|(b1 c1 ± . . . ± bm cm ) для любых элементовc1 , . . . , cm ∈ K.Целостное кольцо K называется кольцом с разложением(на простые множители) тогда и только тогда, когдаQr для любогоненулевого элемента a ∈ K, a = up1 . . . pr (a = u i=1 pi ), где u— регулярный элемент, а pi — простые элементы. Если при этомтакое разложение однозначно (с точностью до перестановки простыхэлементов и с точностью до ассоциированности), то такое кольцоназывается факториальным (или кольцом с однозначным разложениемна простые множители), т. е. если a = vq1 .

. . qs — другое разложениеэлемента a, где v регулярен, а qi просты, то r = s и при надлежащейнумерации q1 = u1 p1 , q2 = u2 p2 , . . . , qr = ur pr , где u1 , . . . , ur —регулярные элементы.Теорема 1. Пусть K — целостное кольцо с разложениемна простые множители. Кольцо K факториально тогда и толькотогда, когда из p|ab следует, что p|a или p|b для любого простогоэлемента p из K.Доказательство. Пусть K — факториальное кольцо, p — простойQnэлемент и p|ab. Тогда ab = pc, где c — элемент из K, a = u i=1 ai ,QkQmb = v i=1 bi и c = w i=1 ci , u, v, w — регулярные элементы, а ai , bi , ci— простые элементы. Отсюда получаем, что элемент p ассоциированлибо с ai , либо с bj . Следовательно, p|a или p|b.Пусть выполняется условие теоремы.

Докажем, что K —факториальное кольцо. Доказательство будем вести индукциейпо числу простых сомножителей в разложении произвольного элемента.Допустим, что разложение всех элементов из K с числом ≤ n простыхсомножителей единственно.

Для n = 1 это следует из определенияпростого элемента.Докажем, что утверждение верно для любого a 6= 0, которыйможет быть разложен на (n + 1) простых сомножителей. Предположим,Qn+1Qm+1что a = u i=1 pi = v j=1 rj , где u, v — регулярные, а pi , rj —простые элементы. Без потери общности можно считать, что m ≥103. Кольца многочленовn. Тогда pn+1 делит один из rj .

Пусть, например, pn+1 |rm+1 . Тогдаrm+1Qn = wpn+1 дляQmнекоторого обратимого элемента w. Следовательно,u i=1 pi = vw j=1 rj . По предположению индукции получаем, чтоn = m и разложение отличается только порядком сомножителей.¤Приведём пример целостного кольца с разложением на простыемножители, которое не является факториальным.√Пример. Пусть K = {a+b −5 : a, b ∈ Z}. Тогда K — подкольцо полякомплексныхчисел C, поэтому K — целостное кольцо. Покажем,√√ что 3и√2 + −5 — простые элементы.

Предположим, что 3 = (a + b −5)(c +d −5). Переходя в этом√ равенстве√ к комплексно сопряженным числам,получим: 3 = (a − b −5)(c − d −5). Тогда 9 = (a2 + 5b2 )(c2 + 5d2 ).Поскольку a, b, c, d ∈ Z, то b = d = 0 и либо a = ±3 и c = ±1, либоa = ±1 и c = ±3.

Следовательно,3 — простой элемент. Аналогично√доказывается, что 2 ± −5 — простые элементы и √что обратимые√элементы в K — это только±1.Ясно,что9=3·3=(2+−5)(2− −5),√причём элементы 3 и 2 + −5 не являются ассоциированными. Заметимтакже, что,√ например,√ элемент 41 не является простым в K, так как41 = (6 + −5)(6 − −5).Упражнение. Покажите, что K — кольцо с разложением на простыемножители.Пусть K — целостное кольцо и a, b — элементы кольца K.Наибольшим общим делителем (Н.О.Д.) элементов a и b называетсятакой ненулевой элемент d ∈ K, что:1) d|a и d|b;2) если c — произвольный элемент из K, c|a и c|b, то c|d.Обозначим Н.О.Д.

элементов a и b через (a, b). Очевидно, что (a, b)определён с точностью до умножения на регулярный элемент.Заметим, что a|b тогда и только тогда, когда ua|b для любогорегулярного u: если a|b, то b = av = uau−1 v, т. е. ua|b; наоборот, еслиua|b, то b = uav, т. е. a|b.Свойства Н.О.Д.• (a, b) ∼ a тогда и только тогда, когда a|b.Действительно, пусть (a, b) ∼ a. Тогда, по замечанию выше, a|b.Наоборот, пусть d = (a, b) и a|b. Поскольку a|a, то a|d.

По определениюН.О.Д. d|a, а потому a = ud, где u — регулярный элемент, т. е. (a, b) ∼ a.• Очевидно, что (a, 0) ∼ a.§ 2. Факториальные кольца, Н.О.Д. и Н.О.К.11• Для произвольного элемента t из K справедливо (ta, tb) ∼ t(a, b).Действительно, пусть d = (a, b).

Тогда td|ta, td|tb, и поэтомуtd|(ta, tb). Следовательно, (ta, tb) = tdc для некоторого c ∈ K. Тогдаdc|a, dc|b и, следовательно, dc|d. Так как d|dc, то dc ∼ d и (ta, tb) ∼t(a, b).• Для любых элементов a, b, c из K справедливо ((a, b), c) ∼ (a, (b, c)).Действительно, пусть d1 = ((a, b), c), d2 = (a, (b, c)). Тогда d1 |(a, b),d1 |c.

Следовательно, d1 |a, d1 |b, d1 |c, поэтому d1 |a, d1 |(b, c). Получаем,что d1 |(a, (b, c)), т. е. d1 |d2 . Аналогично d2 |d1 . Таким образом, d1 ∼ d2 .Понятие Н.О.Д. (a1 , . . . , an ) можно определить для произвольногочисла элементов a1 , . . . , an . Ввиду только что доказанного получаем,что (a1 , . . .

, an ) ∼ ((a1 , . . . , an−1 ), an ).Пусть K — целостное кольцо и a, b ∈ K. Наименьшим общимкратным (Н.О.К.) элементов a и b называется такой элемент m ∈ K,для которого справедливо следующее:1) a|m, b|m;2) если a|c и b|c, то m|c.Обозначим Н.О.К. элементов a и b через [a, b]. Как и в случае Н.О.Д.,элемент [a, b] определён с точностью до умножения на регулярныйэлемент.Теорема 2. Пусть K — целостное кольцо и для a, b ∈ Kсуществуют (a, b) и [a, b]. Тогда 1) если [a, b] = 0, то a = 0 или b = 0;2) если a, b 6= 0, m = [a, b] и ab = dm, то d ∼ (a, b).Доказательство. Пусть [a, b] = 0. Поскольку a|ab и b|ab, то [a, b]|ab,т. е.

0|ab. Следовательно, ab = 0c = 0. Отсюда получаем, что a = 0 илиb = 0.Докажем 2). Пусть ab = dm. Так как m = [a, b], то m = a0 a и m =0b b. Следовательно, ab = dm = da0 a, но тогда b = da0 , а потому d|bи аналогично d|a.Пусть k|a и k|b, т. е. a = ka1 , b = kb1 . Положим c = ka1 b1 , тогда a|cи b|c. Следовательно, m|c, т. е. c = mm1 . Поэтому kmm1 = kc = ab = dmи km1 = d, т. е. k|d. Таким образом, d ∼ (a, b).¤Пусть K — целостное кольцо, определим на K × K отношение ∼,полагая a ∼ b тогда и только тогда, когда a и b — ассоциированныеэлементы, т. е.

a = ub, где u — регулярный элемент кольца K.123. Кольца многочленовПредложение 1. Отношение ∼ является отношением эквивалентности.Доказательство. Поскольку a = 1 · a, то a ∼ a, т. е. отношение ∼симметрично.Если a = ub, где u — регулярный элемент, то b = u−1 a, т. е. a ∼ bвлечёт b ∼ a, поэтому отношение ∼ рефлексивно.Пусть a ∼ b и b ∼ c. Тогда в силу определения ∼ получаем, чтоa = ub и b = vc. Следовательно, a = uvc.

Так как uv — регулярныйэлемент, то a ∼ c.¤Если K — факториальное кольцо, то класс эквивалентности,содержащий простой элемент, состоит только из простых элементов.Из каждого такого класса выберем по одному элементу и обозначимполученное множество через P. Таким образом, P — это множество всехнеассоциированных простых элементов кольца K. Тогда для любыхэлементов a, b кольца K (если a = upk11 . .

. pkr r и b = vpl11 . . . plrr —их разложения на простые сомножители из множества P, т. е. pi ∈P, i = 1, . . . , r, u, v — регулярные элементы) из теоремы 1 получаемследующий признак делимости:1) a|b тогда и только тогда, когда ki ≤ li , i = 1, . . . r;2) [a, b] ∼ ps11 .

. . psrr , где si = max{ki , li };3) (a, b) ∼ pt11 . . . ptrr , где ti = min{ki , li }.§ 3.Евклидовы кольца. Алгоритм ЕвклидаПусть K — целостное кольцо и K ∗ = K \ {0}. Предположим, чтоопределено отображение δ : K ∗ 7→ N ∪ {0}, для которого выполненыследующие условия:(E1) для любых a, b ∈ K ∗ , δ(ab) ≥ δ(a);(E2) для любых a, b ∈ K ∗ существуют такие q, r ∈ K (q — неполноечастное, r — остаток), что a = qb + r, δ(r) < δ(b) или r = 0.В этом случае K называется евклидовым кольцом.Примеры.

1. Кольцо целых чисел Z с отображением δ(a) = |a|является евклидовым кольцом. 2. Кольцо многочленов P [x], где P —поле и δ(f ) = deg f — евклидово кольцо.Коммутативное кольцо называется кольцом главных идеалов, есликаждый идеал кольца является главным.13§ 3. Евклидовы кольца. Алгоритм ЕвклидаПредложение 1. Пусть K — евклидово кольцо.

Тогда K — кольцоглавных идеалов.Доказательство. Пусть I — идеал кольца K. Выберем в I такойненулевой элемент a, для которого δ(a) является минимальным. Пустьb — произвольный элемент из I. По (E2) существуют такие элементыq, r ∈ K, что b = qa + r и δ(r) < δ(a) или r = 0. Ввиду выбора элементаa получаем, что r = 0, т. е. b = aq.¤Алгоритм Евклида нахождения Н.О.Д. Пусть a и b — ненулевыеэлементы евклидова кольца K. Тогда в силу (E2) можно рассмотретьпоследовательность делений с остатком:a = bq1 + r1 ,b = r1 q2 + r2 ,···ri = ri+1 qi+2 + ri+2 ,···rk−2 = rk−1 qk + rk ,rk−1 = rk qk+1 ,δ(r1 ) < δ(b),δ(r2 ) < δ(r1 ),(a, b) = (b, r1 ),(b, r1 ) = (r1 , r2 ),δ(ri+2 ) < δ(ri+1 ), (ri , ri+1 ) = (ri+1 , ri+2 ),δ(rk ) < δ(rk−1 ),rk+1 = 0,(rk−2 , rk−1 ) = (rk−1 , rk ),(rk−1 , rk ) = rk .Докажем, что на каждом i-м шаге деления справедливо равенствоri = ai a + bi b для некоторых ai , bi ∈ K.