1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции), страница 3

Доказательство будем вестииндукцией по числу шагов i.Пусть i = 1. Тогда r1 = a+(−q1 )b. Полагая a1 = 1, b1 = −q1 , получимr1 = a1 a + b1 b. Предположим, что rk = ak a + bk b для всех k ≤ i. Тогдана (i + 1)-м шаге имеем:ri+1 = ri−1 − qi+1 ri = ai−1 a + bi−1 b − qi+1 (ai a + bi b).Раскрывая скобки, получим:ri+1 = (ai−1 − qi+1 ai )a + (bi−1 − qi+1 bi )b = ai+1 a + bi+1 b.Таким образом, мы доказали следующую теорему.Теорема 1. В евклидовом кольце K любые два ненулевых элементаa, b имеют Н.О.Д.

По алгоритму Евклида можно найти такие u, v ∈K, что (a, b) = ua + vb. В частности, (a, b) = 1 тогда и только тогда,когда существуют такие u, v ∈ K, что ua + vb = 1.¤Из теоремы 1 получаем следующее143. Кольца многочленовСледствие 1. Пусть K — евклидово кольцо и a, b, c ∈ K. Тогдасправедливы следующие утверждения:1) если (a, b) = (a, c) = 1, то (a, bc) = 1;2) если a|bc и (a, b) = 1, то a|c;3) если b|a, c|a и (b, c) = 1, то bc|a.Доказательство. 1. Поскольку (a, b) = (a, c) = 1, то по теореме 1существуют такие элементы x, y, z, t кольца K, что ax+by = 1 и az+ct =1. Следовательно, (ax + by)(az + ct) = 1.

Раскрывая скобки, получаем:a(xaz + xct + byz) + bc(yt) = 1. Поэтому (a, bc) = 1.2. Применяя теорему 1, получаем ax+by = 1 для некоторых x, y ∈ K.Следовательно, acx + bcy = c. Так как a|bc, то bc = at для некоторогоt ∈ K. Отсюда получаем: c = acx + aty = a(cx + ty), т. е. a|c.3. Поскольку a = bx = cy и bu + cv = 1, то abu + acv = a и a =cbyu + cbxv = cb(yu + xv), а потому bc|a.¤§ 4.Факториальность евклидовых колецЛемма 1. Всякое евклидово кольцо K — кольцо с разложением.Доказательство. Пусть a ∈ K ∗ . Предположим, что a = bc, гдеb, c — необратимые элементы кольца K. Покажем, что δ(a) > δ(b).По (Е1) имеем δ(a) = δ(bc) ≥ δ(b). Пусть δ(a) = δ(b).

Разделив b на aс остатком, получим b = qa + r, причём δ(r) < δ(a) = δ(b). Заметим,что r 6= 0. Действительно, если r = 0, то a = aqc, и поэтому qc = 1,т. е. c — обратимый элемент. Тогда b = bcq + r, и значит r = b(1 − qc).Следовательно, ввиду свойства (E1) получаем δ(r) = δ(b(1 − ca)) ≥δ(b) > δ(r). Противоречие. Следовательно, δ(a) > δ(b).Пусть теперь a — произвольный элемент из K.

Тогда либо a —простой элемент, либо a = bc, где b, c — необратимые элементы.Во втором случае по доказанному выше получаем δ(a) > δ(b) и δ(a) >δ(c). Точно так же поступаем с b и c.¤Теорема 1. Пусть Kфакториальное кольцо.— евклидово кольцо. Тогда K—Доказательство.

В силу теоремы 1 § 2 достаточно проверить, чтоесли p — простой элемент из K и p|ab, то либо p|a, либо p|b.Пусть p не делит a, тогда (p, a) = 1. Поскольку p|ab и (p, a) = 1,то ввиду 2) следствия 1 § 3 получаем, что p|b.¤Следствие 1. Кольца Z и P [x], где P — поле, факториальны.¤15§ 5. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса§ 5. Примитивные многочлены. Лемма ГауссаРассмотрим кольцо многочленов K[x] над кольцом K. Пусть f (x)nP— ненулевой многочлен из K[x] и f (x) =ai xi . Обозначимi=0Н.О.Д. элементов a0 , a1 , . .

. , an через d(f ). Элемент d(f ) называетсясодержанием многочлена f (x). Пусть K — факториальное кольцо.Многочлен f (x) ∈ K[x] называется примитивным тогда и только тогда,когда d(f ) ∼ 1, т. е. когда d(f ) обратим.Лемма Гаусса. Пусть K — факториальное кольцо. Тогдадля любых f, g ∈ K[x] справедливо равенство d(f g) ∼ d(f )d(g).В частности, произведение примитивных многочленов —примитивный многочлен.Доказательство.

Начнём со второго утверждения. Пусть f (x) =a0 + a1 x + . . . + an xn , g(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm — примитивныемногочлены. Предположим, что d(f g) — необратимый элемент. Тогдасуществует простой p ∈ K, который делит d(f g). Пусть ar , bs — первыекоэффициенты многочленов f и g, не делящиеся на p. Коэффициентпри xr+s в произведении f g имеет видcs+r = ar bs + (ar−1 bs+1 + ar−2 bs+2 + . .

.) + (ar+1 bs−1 + ar+2 bs−2 + . . .).Посколькуp|cs+r ,p|(ar−1 bs+1 + ar−2 bs+2 + . . .),p|(ar+1 bs−1 + ar+2 bs−2 + . . .),то p|ar bs , откуда p|ar или p|bs . Противоречие. Следовательно, f g —примитивный многочлен.Пусть αf1 = βf2 , где f1 , f2 — примитивные многочленыPиз K[x]nи α, β ∈Покажем, что α ∼ β. Действительно, пусть f1 = i=0 ai xiPK.niи f2 = i=0 bi x . Тогда (a0 , .

. . , an ) = (b0 , . . . , bn ) = 1 и αai = βbi , откудаα|βb0 , . . . , α|βbn . Следовательно,α|(βb0 , . . . , βbn ) ⇒ α|β(b0 , . . . , bn ) ⇒ α|β.Аналогично β|α, а потому α ∼ β.Пусть теперь f, g — произвольные многочлены из K[x]. Тогда мыимеем f = d(f )f0 и g = d(g)g0 , где f0 и g0 — примитивные многочлены.По доказанному выше многочлен f0 g0 является примитивным.

Ясно,что f g = d(f )d(g)f0 g0 . Если f g = d(f g)h, где h — примитивныймногочлен, то d(f g) ∼ d(f )d(g).¤16§ 6.3. Кольца многочленовФакториальность кольца многочленовнад факториальным кольцомМы хотим доказать, что если K — факториальное кольцо, то K[x]— факториальное кольцо. Рассмотрим поле частных Q(K) кольцаK. По следствию 1 § 4 Q(K)[x] — факториальное кольцо. Поэтомувозможно попытаться от разложения элемента на простые множителив Q(K)[x] перейти к разложению на простые множители в K[x].Напомним, что многочлен f (x) кольца K[x] называется неприводимымнад K многочленом, если f (x) — простой элемент K[x].Лемма 1.

Пусть K — факториальное кольцо. Тогда справедливыутверждения:1) если f, g примитивны в K[x] и f ∼ g в Q(K)[x], то f ∼ g в K[x];2) если f ∈ K[x], deg f > 0 и f — неприводим над K, то fнеприводим над Q(K).Доказательство. 1. Пусть f = rg, где r обратим в Q(K)[x]. Тогда rобратим в Q(K). Следовательно, r = ab , где a, b ∈ K ∗ . Поэтому f = ab gи b · f = a · g. В силу леммы Гаусса a ∼ b, т. е. a = ub, где u обратимв K. Тогда f = ab g = ubb g = ug, т. е. f ∼ g в K[x].2. Пусть f = gh, где g, h ∈ Q(K)[x].

Обозначим Н.О.К. всехзнаменателей коэффициентов многочлена g(x) через b, а через c —Н.О.К. всех знаменателей коэффициентов многочлена h(x). Ясно, чтоbg, ch ∈ K[x]. Положим a = b · c, ge = bg, eh = ch. Тогдаaf = (bc)gh = (bg)(ch) = ge · eh.По лемме Гаусса получаем:d(af ) ∼ ad(f ) ∼ d(eg·eh) ∼ d(eg ) · d(eh).Поскольку ge = d(eg )g0 и eh = d(eh)h0 , где g0 , h0 — примитивныемногочлены в K[x], тоaf = geeh = d(eg )d(eh)g0 h0 = uad(f )g0 h0 ,где u — регулярный элемент в K.

Следовательно, f = ud(f )g0 h0 и f (x)приводим в K[x]. Получили противоречие.¤Теорема 1. Пусть K — факториальное кольцо. Тогда K[x] —факториальное кольцо.§ 7. Неприводимые многочлены, признак Эйзенштейна17Доказательство. Пусть f (x) ∈ K[x] и deg f > 0. Представиммногочлен f в виде af0 , где a = d(f ), а f0 — примитивныймногочлен. В силу леммы Гаусса многочлен f0 разложим в кольце K[x]в произведение f1 · .

. . · fs , где f1 , . . . , fs — неприводимые примитивныемногочлены. Следовательно, K[x] — кольцо с разложением на простыемножители.Пусть теперь f0 = g1 · . . . · gt — другое разложение многочлена f0в кольце K[x] на простые множители. Тогда f1 · . . . · fs и g1 · . . . · gt— два разложения многочлена f0 в кольце Q(K)[x], причём по лемме1 fi , gi — неприводимые в Q(K)[x] многочлены. Так как Q(K)[x] —евклидово кольцо, то оно факториально.

Поэтому s = t и с точностьюдо перестановки сомножителей fi ∼ gi в кольце Q(K)[x]. Применяяопять лемму 1, получим, что fi ∼ gi в K[x]. Таким образом, f0однозначно раскладывается на простые множители в K[x].Так как K — факториальное кольцо, то d(f ) можно однозначноразложить в K на простые множители p1 · . . . · pl , откуда f = d(f )f0 =p1 ·. . .·pl ·f1 ·. .

.·fs — однозначное разложение многочлена f в кольце K[x]на простые множители. Следовательно, K[x] — факториальное кольцо.¤§ 7.Неприводимые многочлены, признакнеприводимости ЭйзенштейнаПусть K — целостное кольцо и f (x) — многочлен из K[x], у которогоdeg f > 0. Напомним, что f (x) неприводим в кольце K[x] ⇔ f (x) —простой элемент в K[x].Примеры. 1. Если f = ax + b и (a, b) = 1, то f неприводим.2.

Многочлен x2 + 1 неприводим в R[x], но приводим в C[x].Лемма 1. Над любым полем P существует бесконечно многонеприводимых многочленов.Доказательство. Пусть p1 , . . . , pn — все неприводимые в P [x]многочлены. Рассмотрим f = p1 · . . . · pn + 1. Тогда существует такойi ∈ {1, . . . , n}, что pi |f . Следовательно, pi |1. Противоречие.¤Теорема 1 (признак неприводимости Эйзенштейна). Пусть f (x) =xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 — многочлен из Z[x] и p — простое числоиз Z. Предположим, что p|a0 , .

. . , p|an−1 и p2 не делит a0 . Тогда f (x)неприводим над Q.183. Кольца многочленовДоказательство. Предположим, что f (x) разложим в Q[x]. Так какQ — поле частных кольца Z, то по лемме 1 § 6 f (x) разложим в Z[x].Пусть f (x) = (xs + bs−1 xs−1 + . . . + b0 )(xt + ct−1 xt−1 + . . . + c0 ), гдеs, t > 0. Тогда это разложение останется и в кольце Zp [x] (рассматриваягомоморфизм φ : Z[x] 7→ Zp [x], переводящий axn в āxn ). Поэтомуxs+t = (xs + bs−1 xs−1 + . . . + b0 )(xt + ct−1 xt−1 + . . . + c0 ),где все коэффициенты bi , cj ∈ Zp . Поскольку Zp — поле, то Zp [x] —факториальное кольцо.

Следовательно, в поле Zp получаем:bs−1 = . . . = b0 = ct−1 = . . . = c0 = 0,т. е. p|b0 , p|c0 и p2 |b0 c0 , а так как b0 c0 = a0 , то p2 |a0 . Противоречие.¤Упражнение. Как нужно изменить формулировку теоремы, еслиf (x) имеет вид f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 ?Редукционный критерий неприводимости.Теорема 2. Пусть K и R — кольца, φ : K 7→ R — гомоморфизмколец. Пусть f (x) = an xn + an−1 xn−1 + .

. . + a0 — многочлен из K[x],(a0 , . . . , an ) = 1, и f φ (x) = φ(an )xn + φ(an−1 )xn−1 + . . . + φ(a0 ) ∈ R[x],где φ(an ) 6= 0. Если многочлен f φ (x) неприводим в R[x], то f (x)неприводим в K[x].Доказательство. Пусть f (x) = g(x)h(x), где g(x) = bl xl + bl−1 xl−1 +. . . + b0 и h(x) = ck xk + ck−1 xk−1 + . . . + c0 — многочлены из K[x].Очевидно, что bl ck = an . Рассмотрим многочлены g φ (x) = φ(bl )xl +φ(bl−1 )xl−1 + . . . + φ(b0 ) ∈ R[x] и hφ (x) = φ(ck )xk + φ(ck−1 )xk−1 + .