Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 12

Причисленном решении это приводит к системе, состоящей из N nodes уравнений( N nodes - число узлов сетки).Уравнение (6.55) решается для каждого узла сетки для всех компонентов.Число неизвестных в нем равно N C .Если же решать сразу всю систему (54), то число неизвестных будетравно N nodes × N C .1067Метод конечных элементов в тепловых расчётахМетод конечных элементов представляет собой совершенно иной подходк решению задач.

Сама постановка задачи в случае использования МКЭсовсем иная, она связана с вариационным исчислением. В данном разделе мыкратко рассмотрим суть вариационных принципов и МКЭ.7.1Основные понятия вариационного исчисленияВариационное исчисление было основано в XVIII в. Л. Эйлером и Ж.Лагранжем. Впоследствии оно активно развивалось и сейчас представляетсобой один из важнейших разделов теоретической и прикладной математики.Задачи вариационного исчисления тесно связаны с задачами онахождении экстремума, однако исследуются на экстремум в данном случаене функции одной или нескольких переменных, а выражения, названныефункционалами.В п.

2 определение функционала уже давалось. Оператор I[f(x)]называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, есликаждой функции f(x) ставится в соответствие определённое числовоезначение I[f(x)]. Математики различают несколько видов функционалов,однако нас будет интересовать только один из их видов – интегральныйфункционал, который представляет собой некий интеграл, который приподстановкевнегокакой-либоопределённойфункциипринимаетопределённое числовое значение.Приведём простой пример функционала:1I [ y ( x )] =∫ y( x)dx0107(7.1)Если мы положим в выражении (7.1), что y ( x ) = x , то функционал I [ y ]примет значение ½ , если y ( x ) = x 2 , то I [ y ] =13и т.д. Т.е.

I [ y ] – «функция отфункции», его числовое значение полностью зависит от того, какуюфункцию y мы в него подставим. Оказалось также, что часто существуеткакая-либо функция, которая придаёт функционалу минимальное значение.Основной задачей вариационного исчисления является как раз нахождениефункции, минимизирующей заданный функционал.Вариационный принцип получил широкое распространение в физике.Широко известен принцип Гамильтона (или принцип наименьшего действия)вмеханике,которыйгласит,чтолюбаямеханическаясистемахарактеризуется определённой функцией координат, скоростей и времени,которая удовлетворяет следующему условию.Пусть в моменты времени t = t1 и t = t 2 механическая система занимаетопределённые положения, характеризуемые координатами x1 и x2 .

Тогдамежду этими положениями система движется таким образом, чтобы интегралt2∫S = L(x, x, t )dt(7.2)t1имел наименьшее возможное значение (через x здесь обозначаетсяпроизводная от x по времени). Функция L называется функцией Лагранжаданной системы, а интеграл (7.2) – действием.

В курсе теоретическоймеханики показывается, что L = E k − Π , т.е. разность кинетической ипотенциальной энергии системы.Как известно из курса математического анализа, для функции в точкеэкстремума y ( x ) имеет место равенство dy = y ' dx = 0 , т.е. производная идифференциал функции в точке экстремума равны нулю.108Похожее равенство имеет место и для функционалов, только в данномслучае вместо дифференциала вводится понятие вариации. Для функционалаb∫вида I = F ( x, y )dx получим:abb∫∫aaδI = δ F ( x, y )dx =∂ F ( x, y )δy dx∂y(7.3)По аналогии с условием экстремума функции, условие экстремумафункционала может быть записано как:δI = 0(7.4)Если функционал зависит не только от самой функции y, но и от еёпроизводной y’, то вариация данного функционала может быть записана ввиде:bb∫ ∂ F ( x, y , y ' )∂ F ( x , y , y ') δy +δy '  dx∂y∂ y'∫δI = δ F ( x, y, y ' )dx = aa(7.5)Для нахождения функции L в функционале вида (7.2) с помощьюиспользованияпонятиявариацииможетбытьполученоследующеедифференциальное уравнение, называемое уравнением Эйлера-Лагранжа(вывод его см.

например в [6, 19]):d ∂L ∂L−=0dt  ∂ x  ∂ x(7.6)которое в случае, если степеней свободы у системы несколько (например,n), преобразуется в системы из n уравнений:d  ∂Ldt  ∂ xi ∂L− ∂ x = 0, где i = 1,2...ni(7.7)Следует отметить, что уравнения вида (7.7) универсальны и могут бытьприменены к любой механической системе. С помощью них в частности109можно вывести уравнения движения жидкости, которые мы выводили в п.1.3, используя второй закон Ньютона для элементарного объёма.7.2Основные концепции МКЭ на примере решениязадач теплопроводностиПроиллюстрируем идею метода на решении стационарной двухмернойзадачи теплопроводности.

Уравнение теплопроводности в данном случаебудет иметь вид:λx ⋅∂ 2T∂x2+ λy ⋅∂ 2T∂y 2+ QV = 0(7.8)Граничные условия возьмём самые общие. Допустим, что на границахобласти имеет место и тепловой поток вида q w и конвективный тепловой()поток вида α Tw − T f .Если бы мы решали задачу о распространении тепла методом конечныхобъёмов или разностей, то отправной точкой в решении являлось бы именноуравнение (7.8). В случае же вариационной постановки задачи отправнойточкой является функционал, условия минимизации которого, и приводят вконечномитогек(7.8).Длядвухмернойстационарнойзадачитеплопроводности этот функционал выглядит следующим образом:I [T ( x, y )] =∫∫D2  ∂T 2 ∂T λx  + λ y  − 2QV T  dxdy +  ∂x ∂y∫ (αT2)− 2qwT dl(7.9)Lгде D – рассматриваемая область, L – её граница.Данный функционал может быть получен из принципов неравновеснойтермодинамики (об этих принципах см.

[20, 21]) или путём преобразованийуравнения(7.8)[20](умножениенапоследующим интегрированием).110вариациютемпературыδTсСуть МКЭ состоит в том, что рассматриваемая область разбивается наряд элементов, в каждом из которых задаётся закон изменения температуры.Таким образом, мы ищем температуру в виде набора кусочно-гладкихфункций координат. Здесь может быть наглядна аналогия с интерполяциейданных с помощью сплайнов. Классический сплайн одной переменнойстроится так: область определения разбивается на конечное число отрезков,на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическимвыражением. Обычно в качестве таких выражений используют прямыелинии, а также квадратные или кубические параболы.Рисунок 7.1 Линейный сплайнНа Рисунок 7.1 показан линейный сплайн (сплошная линия).

С помощьюнего интерполируется ряд значений y (значения показаны квадратиками) взависимости от x (такой ряд значений мог быть получен, скажем, изэксперимента) Фактически такой сплайн представляет собой соединениеимеющихся точек прямыми линиями (в случае параболического сплайна этобыли бы параболы и т.д.).111Разница между интерполяцией сплайнами и МКЭ заключается в том, чтов случае интерполяции значения интерполируемой функции нам известны, ав случае решения дифференциальных уравнений методом конечныхэлементов значения интерполируемой функции нам ещё предстоит найти.Итак, мы представляем температуру как набор кусочно-гладких функций:T ( x, y ) ≈N∑an fn( x, y )(7.10)n =1гдеan –неизвестныекоэффициенты,имеющиеразмерностьтемпературы, f n ( x, y ) – заданные функции координат.Если подставить температуру в виде (7.10) в функционал (7.9), то мыполучим, что I [T ( x, y )] уже не является «функцией от функции», а зависиттолько от неизвестных коэффициентов an .Таким образом, для минимизации функционала (7.9) необходимо найтисоответствующие значения неизвестных коэффициентов an .

Из курсаматематического анализа известно, что такие значения находятся из системыуравнений:∂I∂I= 0, ... ,=0∂ a1∂ aN(7.11)Остаётся лишь правильным образом определить координатные функций.Поскольку мы с самого начала сказали, что представляем температуру в видесовокупности кусочно-гладких функций, то очевидно, что координатнаяфункция узла n отлична от нуля только в элементах, содержащих этот узел.Кроме того введём дополнительные требования: координатная функция fn вузле n с координатами x = xn , y = y n должна быть равна 1, а в остальныхузловых точках – нулю.

То есть в конкретном узле отлична от нуля толькокоординатная функция данного узла.112Налагая такие условия на координатные функции, мы придаёмпрозрачный физический смысл коэффициентам an . При таком выборекоординатных функций они равны приближённому значению u n в узле n.Это легко продемонстрировать:T ( xn , y n ) ≈N∑am fm(xn , y n ) = a n f n = a n ⋅1 = u n(7.12)m =1Таким образом, при использовании разложения (7.10) в любой точкепространства «работают» только те координатные функции, у которыхкоэффициенты равны приближённым значениям температур элемента,содержащего данную точку [1].Отсюда уравнения (7.11) можно записать в виде:∂I∂I= 0, ...