Основы вычислительного теплообмена и гидродинамики - Аникеев А.А., Молчанов А.М., Янышев Д.С., страница 14

Когда элементов много, вся система уравнений представляется ввиде:G⋅U = Φ(7.38)где Ф – глобальный вектор тепловой нагрузки, G – глобальная матрицатеплопроводности, а U – вектор-столбец, состоящий из температур в узлахэлементов.Система уравнений (7.38) решается каким-либо методом решения системлинейных алгебраических уравнений (например, методом исключенияГаусса, или методом итераций).В Приложении 1 представлен подробный разбор решения методомконечных элементов задачи теплопроводности в твёрдом теле со сложнымиусловиями теплообмена.122Приложение1.Расчётдвумернойзадачитеплопроводности методом конечных элементовП.1. Постановка задачиВ качестве примера рассмотрим стационарную задачу нахождениятемпературного поля в брусе квадратного сечения с учетом наличияобъемного тепловыделения и сложными граничными условиями.Рисунок П.0.1 Постановка задачиУравнение теплопроводности в сплошной среде будет иметь вид:λx ⋅∂ 2T∂x2+ λy ⋅∂ 2T∂y 2+ QV = 0Разобьем расчетную область с помощью треугольных элементов.Основными этапами решения данной задачи являются:123Локальная нумерация узловРасчет коэффициентов функции формы для каждого элементаЗапись и расчет локальной матрицы теплопроводности и локальноговектора тепловой нагрузки для каждого элементаЗапись системы уравнений метода конечных элементовРешение системы уравнений метода конечных элементовРассмотрим каждый из этих этапов.П.2.

Локальная нумерация узловПроведем локальную нумерацию элементов, то есть, определим i, j, k узлы для каждого элемента. Рекомендуется использовать обход противчасовой стрелки для всех элементов. После этого запишем локальныематрицы теплопроводности (ЛМТ) и локальные вектора тепловой нагрузки(ЛВТН) для каждого элемента.Рисунок П.0.2 Нумерация узлов124Запись локальной матрицы теплопроводности и локального векторатепловой нагрузки.Локальная матрица теплопроводности (ЛМТ) в общем виде: g iig =  g ji g kig ijg jjg kjg ik g jk g kk Локальный вектор тепловой нагрузки (ЛВТН) в общем виде: ϕi  ϕ = ϕ j ϕ  kРассмотрим общий случай, когда на всех гранях приложен конвективныйтеплообмен, а так же есть объемное тепловыделение. Кроме того,рассмотрим случай, когда на гранях заданы тепловые потоки.Рисунок П.0.3 Элемент с конвективным теплообменом на границе и объёмнымтепловыделениемЛВТН в случае, когда заданы тепловые потоки на поверхности элемента :125 1QV   qij ⋅ Lijϕ =⋅  1 +3  2 1n1  q jk ⋅ L jk⋅ 1 +20 0  q ⋅L⋅  1  + ki ki21 1 ⋅01 Если в элементе нет объемного тепловыделения QV = 0 , то ϕi   qij ⋅ Lijϕ = ϕ j  =2ϕ  kn1  q jk ⋅ L jk⋅1 +20 0  q ⋅L⋅  1  + ki ki21 1 ⋅01 Отметим, что справедлива следующая замена:T∞ij ⋅ α ij = qij , T∞jk ⋅ α jk = q jk , T∞ki ⋅ α ki = q kiТаким образом, мы получаем выражения для ЛВТН для конвективноготеплообмена аналогичные формулам, приведённым выше. 1QV   T∞ij ⋅ α ij ⋅ Lij⋅  1 +ϕ =3  2 1n1  T∞jk ⋅ α jk ⋅ L jk⋅1 +2 0 1T∞ij ⋅ α ij ⋅ Lij   T∞jk ⋅ α jk ⋅ L jk⋅ 1 +ϕ =220 nЛМТприналичиина 0  T ⋅α ⋅ L⋅  1  + ∞ki ki ki21 0  T ⋅α ⋅ L⋅  1  + ∞ki ki ki21 каждойграни1 ⋅ 01 1 ⋅ 01 элементаконвективноготеплообмена: bi big = λ x ⋅ S ⋅  b j bi bk bi2 1α ij ⋅ Lij +⋅1 260 0bi b jb jb jbk b j ci cibi bk b j bk  + λ y ⋅ S ⋅  c j ci ck cibk bk 0 α jk ⋅ L jk0 +60 ci c jc jc jck c j 0 0 0 α ⋅L⋅  0 2 1  + ki ki6 0 1 2ci ck c j ck  +ck ck  2 0 1⋅0 0 01 0 2ЛМТ при отсутствии на каждой грани элемента теплового конвективноготеплообмена:126 bi big = λ x ⋅ S ⋅  b j bi bk bibi b jb jb jbk b j c i cibi bk b j bk  + λ y ⋅ S ⋅  c j ci ck cibk bk ci c jc jc jck c jci ck c j ck ck ck Запишем ЛМТ и ЛВТН для каждого элемента рассматриваемой задачи.В элементе №1 присутствует объемное тепловыделение и отсутствуют награнях конвективный теплообмен и тепловой поток.

ЛМТ для элемента №1: bi big = λ x ⋅ S ⋅  b j bi bk bi11bi b jb jb jbk b j c i cibi bk 1b j bk  + λ y ⋅ S ⋅  c j ci ck cibk bk ci c jc jc jck c jci ck c j ck ck ck ЛВТН для элемента №1:Qϕ = V31 1 ⋅  1 1 В элементе №2 отсутствует объемное тепловыделение внутри элемента,и отсутствуют на гранях конвективный теплообмен и тепловой поток. ЛМТдля элемента №2: bi big = λ x ⋅ S ⋅  b j bi bk bi22bi b jb jb jbk b j ci c ibi bk 2b j bk  + λ y ⋅ S ⋅  c j cibk bk  ck cici c jc jc jck c jci ck c j ck ck c k ЛВТН для элемента №2:0 ϕ = 00 2В элементе №3 отсутствует объемное тепловыделение внутри элемента,на грани ij присутствует тепловой поток q1 а на грани jk – конвективныйтеплообмен с коэффициентом теплоотдачи α1 и температурой потока T∞1.ЛМТ для элемента №3:127 bi bi bi b jg = λ x ⋅ S ⋅  b j bi b j b j bk bi bk b j0 0 0α1 ⋅ L jk +⋅ 0 2 160 1 233 ci cibi bk 3b j bk  + λ y ⋅ S ⋅  c j cibk bk  ck cici c jc jc jck c jci ck c j ck  +ck ck ЛВТН для элемента №3:1q1 ⋅ Lij   T∞1 ⋅ α1 ⋅ L jkϕ =⋅1 +220 3 0 ⋅11 В элементе №4 отсутствует объемное тепловыделение внутри элемента,отсутствуют тепловые потоки на гранях, а на грани jk – конвективныйтеплообмен с коэффициентом теплоотдачи α1 и температурой потока T∞1.ЛМТ для элемента №4: bi big = λ x ⋅ S ⋅  b j bi bk bi0 0α1 ⋅ L jk +⋅ 0 260 144bi b jb jb jbk b j ci cibi bk 4b j bk  + λ y ⋅ S ⋅  c j cibk bk  ck cici c jc jc jck c jci ck c j ck  +ck ck 012 ЛВТН для элемента №4: 0T∞1 ⋅ α1 ⋅ L jk  ϕ =⋅121 4Необходимо помнить, что площади S и коэффициенты b и c должны бытьрассчитаны для каждого элемента.128П.3.

Составление системы уравнений методаконечных элементовСистему уравнений метода конечных элементов (СУ МКЭ) можнозаписать в виде:G ⋅U = Φгде Φ - глобальный вектор тепловой нагрузки ϕ1  ϕ Φ= 2... ϕ  mU – значение температур в точках U1 U2 U =... U  mG – глобальная матрица теплопроводностиG = GijФормирование СУ МКЭ может осуществляться двумя методами:перебора узлов и перебора элементов. Рассмотрим каждый из них.Метод перебора узлов.Выбирается узел, например n, выявляются в какие элементы он входит, изаписываются уравнения для этих элементов.

Таким образом, сразу удаетсязаписать уравнение n СУ МКЭ.Дляэлементовглобальнойматрицыследующие обозначения:129теплопроводностивведемномер _ элементаg номер_ в _ локальной _ матрицеДляэлементовглобальноговекторатепловойнагрузкивведемследующие обозначения:номер _ элементаϕ номер_ в _ локальной _ матрицеЗапишем таблицу, в которой будем формировать СУ МКЭ:U1U2U3U4U5U6Ф123456Возьмем узел №1 и запишем первое уравнение СУ МКЭ. Номеруравнения СУ МКЭ всегда будет соответствовать номеру выбранного узла.Узел №1 входит в элемент номер №1.Этот элемент делает вклад в первоеуравнение СУ МКЭ первой строкой (индекс строки в ЛМТ - i) ЛМТ встолбцы, соответствующие номерам узлов (узлы 1, 2, 4).

ЛВТН делает вкладпервым элементом в СУ МКЭ. Первое уравнение запишется следующимобразом:130U11U2g 1iiU3U4g 1ijU5U6g 1ikФϕi123456Узел №2 входит в элементы №1, №2, №3. Элемент №1 делает вклад вовторое уравнение второй строкой (индекс строки в ЛМТ - j) ЛМТ. Элемент№2 делает вклад во второе уравнение элементами первой строки (индексстроки в ЛМТ - i) ЛМТ. Элемент №3 делает вклад во второе уравнениепервой строкой (индекс строки в ЛМТ - i):U1U21g 1iig 1ij2g 1jig 1jj + g ii2 + g ii3U3U4U5g 1ikg ij3g 1jk + g ik2U6Фϕi1g ij2 + g ik3ϕ 1j +ϕi2 +ϕi33456131Узел №3 входит в элемент №3.

Этот элемент делает вклад второйстрокой (индекс строки в ЛМТ - j) индекс строки в ЛМТ в третье уравнениеСУ МКЭ:U1U2U31g 1iig 1ij2g 1jig 1jj + g ii2 + g ii3U4U5U6Фg 1ikg ij3g 1jk + g ik2ϕi1g ij2 + g ik3ϕ 1j + ϕi2 +ϕi33g 3jig 3jjg 3jkϕ 3j456Узел №4 входит в элементы №1, №2, №4. Элемент №1 делает вкладтретьей строкой (индекс строки в ЛМТ - k) ЛМТ в четвертое уравнение СУМКЭ. Элемент №2 делает вклад третьей строкой (индекс строки в ЛМТ - k)ЛМТ.

Элемент №4 делает вклад первой строкой (индекс строки в ЛМТ - i)ЛМТ:U1U2U31g 1iig 1ij2g 1jig 1jj + g ii2 + g ii3U4U5U6g 1ikg ij3g 1jk + g ik2Фϕi1g ij2 + g ik3ϕ 1j + ϕi2+ ϕ i334g 3jig 1kig 1kj + g ki2g 3jjg 3jk2g 1kk + g kk+ g ii4132g kj2 + g ij4ϕ 3jg ik4ϕ 1k + ϕ k2+ ϕ i456Узел №5 входит в элементы №2, №3, №4. Элемент №2 делает вкладвторой строкой (индекс строки в ЛМТ - j) ЛМТ в СУ МКЭ.

Элемент №3делает вклад третьей строкой (индекс строки в ЛМТ - k) ЛМТ. Элемент №4делает вклад второй строкой (индекс строки в ЛМТ - j) ЛМТ:U1U2U31g 1iig 1ij2g 1jig 1jj + g ii2 + g ii3U4U5U6g 1ikg ij3g 1jk +Фϕi1g ij2 + g ik3ϕ 1j +g ik2ϕi2 +ϕi3345g 3jig 1kig 3jjg 1kj + g ki2g 2ji + g ki3g 3jkg 1kk +g kj3g kj2 + g ij4ϕ 3jg ik4ϕ 1k +2g kk+ϕ k2 +g ii4ϕi4g 2jk +3g 2jj + g kk+g 4jig 4jjg 4jkϕ 2j +ϕ k3 +ϕ 4j6133Узел №6 входит в элемент №4.

Этот элемент делает вклад третьейстрокой (индекс строки в ЛМТ - k) ЛМТ:U1U2U31g 1iig 1ij2g 1jig 1jj +U4U5U6g 1ikg ij3g 1jk + g ik2ϕi1g ij2 + g ik3ϕ 1j + ϕi2 +g ii2 + g ii334g 3jig 1kiϕi3g 3jjg 1kj +g 2ji +g 3jk2g 1kk + g kkg ik4g kj3ϕ 1k + ϕ k2 +ϕi4g 2jk + g 4jig ki36g kj2 + g ij4ϕ 3j+ g ii4g ki25Ф3g 2jj + g kkg 4jk ϕ 2j + ϕ k3 ++ g 4jjg ki4Таким образом, мы сформировали СУ МКЭ134g kj4ϕ 4j4g kkϕ k4Метод перебора элементовМетод перебора элементов заключается в том, что берется элемент иопределяется, какими частями ЛМТ в какие уравнение он делает вклад. Длясоставления СУ МКЭ методом перебора элементов необходимо такжепроизвести обход элементов и записать ЛМТ и ЛВТН как и в рассмотренномслучае с методом перебора узлов.Возьмем элемент №1 Он делает вклад в первое уравнение i – строкойЛМТ ( i – локальный номер узла №1) в столбцы 1, 2, 4 (номера узлов,входящих в элемент №1 ) и i – м элементом ЛВТН.

Узел №2 является узлом jв элементе №1, потому он делает вклад во второе уравнение (номеруравнения будет совпадать с номером узла) j – строкой ЛМТ в столбцы 1, 2,4. Узел №4 является узлом k элемента №1, поэтому он сделает вклад k – йстрокой в столбцы 1, 2, 4. Элементыj и kвектора тепловой нагрузкисоответственно запишутся во второе и четвертое уравнение.U2U1U3U4U5U6Ф1g 1iig 1ijg 1ikϕi12g 1jig 1jjg 1jkϕ 1jg 1kig 1kjg 1kkϕ 1k3456Элемент №2сделает вклад в столбцы 2, 4, 5 (номера узлов,составляющих элемент №2) строками i, k, j ЛМТ а также i, k, j –компонентами ЛВТН в уравнения 2, 4, 5 соответственно.135U1U2U3U4U5U6Ф1g 1ii2g 1jig 1jj + g ii2g 1jk + g ik2g ij2ϕ 1j + ϕi2g 1kig 1kj + g ki22g 1kk + g kkg kj2ϕ 1k + ϕ k2g 1ijg 1ikϕi1345g 2jig 2jkg 2jjϕ 2j6Элемент №3 делает вклад во 2, 3 и 5 – е уравнения СУ МКЭ в столбцы 2,3, 5 строками i, j, k ЛМТ и i, j, k – компонентами вектора тепловой нагрузкисоответственно.U1U2U31g 1iig 1ij2g 1jig 1jj + g ii2 + g ii3U4U5U6Фg 1ikg ij3g 1jk + g ik2ϕi1g ij2 + g ik3ϕ 1j + ϕi2 +ϕi3345g 3jig 1kig 3jjg 1kj + g ki2g 2ji + g ki3g kj3g 3jkϕ 3j2g 1kk + g kkg kj2ϕ 1k + ϕ k2g 2jk3g 2jj + g kkϕ 2j + ϕ k36Элемент №4 делает вклад в уравнения 4, 5, 6 в столбцы 4, 5, 6 строкамиi, j, k ЛМТ и i, j, k – компонентами вектора тепловой нагрузкисоответственно.136U1U2U31g 1iig 1ij2g 1jig 1jj + g ii2 + g ii3U4U5U6g 1ikg ij3g 1jk +ϕi1g ij2 + g ik3ϕ 1j + ϕi2 +g ik234g 3jig 1kiϕi3g 3jjg 1kj + g ki2g 3jkg 1kk +g kj2 + g ij4ϕ 3jg ik42g kk+ g ii45g 2ji + g ki3Фg kj3ϕ 1k + ϕ k2 +ϕi4g 2jk +g 2jj +g 4ji3g kk+g 4jkϕ 2j + ϕ k3 +ϕ 4jg 4jj6g ki4g kj44g kkϕ k4Записанная таким образом СУ МКЭ является идентичной той, что быласформирована методом перебора узлов.137Решение системы уравнений метода конечных элементов. g ii1 g 1ji 0 g1 ki 0 0g ij1g 1jj+ g ii2 + g ii3g 3jig 1kj + g ki2g 2ji + g ki301g ik0g ij3g 3jjg 1jk+0g ik2g ij2+g ik30g 3jk02g 1kk + g kk+ g ii4g kj2 + g ij4g kj3g 2jk + g 4ji3g 2jj + g kk+ g 4jj0g ki4g kj40   U 1  0  U 2 0  U 3 ⋅  =g ik4  U 4   g 4jk   U 5 4  U 6 g kkϕ i1123 ϕ j + ϕi + ϕi ϕ 3j= 1ϕ + ϕ 2 + ϕ 4 ki k234ϕϕϕ++ jkj ϕ k4Решение СУ МКЭ можно осуществить методом исключения Гаусса,который включает в себя два этапа:прямой ходобратный ходПри прямом ходе матрица приводится к верхнему треугольному видутаким образом, что бы на главной диагонали стояли единицы.