Курс лекций, страница 4

4.2).Эта линия пересечения плоскостей является линией узлов. Восходящимузлом называют точку пересечения траектории КА с плоскостью экватора припереходе из южного полушария в северное.45С помощью углов i и Ω запишем составляющие вектора  : x    sin i  sin   y    sin i  cos   z    cos i(4.15)ZВведем zYOXТраекториядвиженияVnrVrРис.

4.3СКплоскостьсовпадает с плоскостью орбиты. Тогдаскалярнаяформаинтеграла(4.12) принимает вид:  x y  y xVкоторойXYплощадей(4.16)Переходим к полярным координатам:x  r  cos  y  r  sin  x  r  cos   r  sin   y  r  sin   r  cos   Подставляя эти выражения в левую часть (4.16), получим:x  y  y  x  r  cos   r  sin   r 2  cos2    r  cos   r  sin   r 2  sin 2    r 2    cos 2   sin 2    r 2 46Получим полярную форму интеграла площадей: r 2 d  (4.17)dtСкорость КА может быть разложена на нормальную и радиальную составляющие.Vn  r ddtТогда интеграл площадей можно представить в виде: r Vn   (4.18)Если обозначить угол между векторами r и V через  , то имеем: Vn  V  sin Тогда интеграл площадей можно представить в виде: r V  sin    (4.19)M 2  t1  t r  t1  t Рис.

4.447Площадь заметаемая радиус-вектором:M 1  t1 r  t1 O1S   r 2  2Разделив обе части на Δt и переходя кпределу при Δt→∞, получим:dS 1 2 d r dt 2dtГдеdS–dtсекториальная(4.20)скоростьотносительно притягивающего центра.КАС учетом (4.17) можно записать:Следовательно:  2dSdtdS 1 dt 2(4.21)(4.22)St21Интегрируя уравнение (4.21):  dS      dt . Получим:20t1S2  t2  t1  2 t(4.23)Второй закон Кеплера:Площадь, заметаемая радиус-вектором КА, пропорциональнавремени, в течении которого она заметена, или за равные промежуткивремени радиус-вектор КА заметает равные площади.484.2.3.

Интеграл ЛапласаВоспользуемся векторным дифференциальным уравнением движенияКА в центральном гравитационном поле (4.5):(4.9):   r d 2r  3  r,2dtrи интегралом площадейdr. Перемножим векторно правые и левые части этих выражений:dtd 2r  dr   2   3  r   rdtr dt Илиd 2r   dr  2  3  r   r dtr  dtИспользуя выражения для двойного векторного произведения:a  b  c   b   a  c   c  a  b Преобразуем правую часть последнего выражения:Учитывая, что: r  r  r 2, r d 2 r    dr  r  r dt 2 r 3   dt dr    r  r  dtdr drdrdr  r , так как r   r V  cos   r  , то получим:dt dtdtdtdrVr 49d r  2 drdr rr r   dt 2r 3 dtdt 2rdtdr dr rd r dt dt r2dt  r Учтем что:ddr dt dtd r   2dt2, перепишем последнее выражение в следующем виде:d rV0dt r Откуда после интегрирования следует векторный интеграл Лапласа:r  V     rrИли: V       r(4.24)Вектор Лапласа может быть найден по начальным условиям движения:   0  V0   r0r0Покажем, что вектор Лапласа лежит в плоскости орбиты.

Для этого умножимскалярно выражение (4.24) на константу площадей:  V  r  r       Проведя круговую перестановку векторов в первом слагаемом последнеговыражения, найдем:   V   V      0Второе слагаемое также равно нулю: r    050Таким образом имеем:     0 (4.25)Установим связь между некоторыми интегралами движения. Запишем выражение(4.25) в скалярном виде: x  x  y  y  z  z  0(4.26)Условие (4.26) является первым соотношением связи между интегралами.Для установления второго условия связи рассмотрим скалярное произведение:222rr2 r      V        V     2    V        2rrr2Здесь: V    V    V     V 2   2 , так2V    r    r V   2   2 , и r 2  1r222как: V      90,sin   1 , и2  2    2222  2  2 , или       V Тогда:   V   , откуда с учетом (4.6)r r222получим окончательно второе условие связи:2  2  2  h51(4.27)Предположим, что в качестве параметра движения взята координата х.

Тогда:y  Ф1  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  z  Ф2  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  x  Ф3  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  y  Ф4  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  z  Ф5  x, h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z  (4.28)dx, то третье уравнение системы (4.28) интегрируется вdtквадратурах методом разделения переменных х и t:Посколькуxdx Ф3  x, h, x , y , z , x , y , z   t  CТогда:52x   1  t , h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z , C  y   2  t , h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z , C  z   3  t , h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z , C  x   4  t , h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z , C  y   5  t , h,  x ,  y ,  z ,  x ,  y ,  z , C  z   6  t , h,  x ,  y ,  z , x ,  y , z , C  (4.30)4.

3. Уравнение орбиты КА вцентральном гравитационномполеДля вывода уравнения орбиты КА воспользуемся интегралом площадей иrинтегралом Лапласа: r V   ,  V      .r1. Рассмотрим случай, когда   0 :При этом из интеграла Лапласа непосредственно вытекает: r    r (4.31)2. Рассмотрим случай, когда   0 :Тогда согласно условию (4.14)  x  x   y  y   z  z  0 движение КА происходит внеизменяемой плоскости, то есть траектория представляет собой плоскуюкривую, которую называют орбита КА.Для вывода уравнения орбиты умножим скалярно интеграл Лапласа на r :r   V  r r  r    rИли, используя круговую перестановку векторов:   V  r    r  r    r53rДалее:  2   r 2    rr22Учитывая, что:  2   2 , r  r ,   r    r  cos .

Тогда:  2    r    r  cos22Откуда: r . Преобразуем: r      cos 1   cos 2,Положим: p e(4.32)Тогда окончательно уравнение орбиты (в полярных координатах) запишется ввиде:54rp1  e  cos (4.33)Рис. 4.61-ый закон Кеплера:ДвижениеКАотносительнопритягивающегоцентравсегдасовершается по коническому сечению (по эллипсу, кругу, гиперболе, параболеили прямой), в одном из фокусов которого находится55притягивающий центр.yAprO56F abРис 4.7аrEOcРис 4.7бxAyp rAprFРис 4.7в57FH xРис 4.7гРасстояния перицентра и апоцентра от центра притяжения определяются лишьppr фокальным параметром и эксцентриситетом: r (4.34)1 e1 eПреобразуем теперь формулу (4.32) эксцентриситета орбиты с учетом уравнениясвязи (4.27):e2  2  2  h2  2  h2e 1 h  2258(4.35)4.

4. Орбитальная скорость КАVrV  Vr  r 0  Vn  n 0Тогда:(4.36)MVVnVr – радиальная составляющая скоростиrFVn – трансверсальная (нормальная)составляющая скоростиРадиальнаясоставляющаясоставляющаяскорости находится дифференцированием поРис. 4.8времени уравнения орбиты (4.33):Vr dr dr ddt d dt(4.37)Дифференцируя уравнение орбиты (4.33) по истинной аномалии  , получим:drp  e  sin p r 2  e  sin  d 1  e  cos  2 ppДалее, учитывая соотношения (4.17) и (4.32):59dr dt22p    pНайдем:d  dt r 2 pr2и окончательно:r 2  e  sin    pVr  e  sin 2ppr(4.38)Для трансверсальной составляющей скорости имеем:Vn  r ddtПодставляя сюда производную d , получим:dtVn  r  pr2p 1  e  cos  (4.39)Полная скорость КА (модуль скорости):V60ppp e 2  sin 2  p 1  e  cos   2 e 2  sin 2   1  2  e  cos   e 2  cos 2   1  2  e  cos   e 2(4.40)Из этой формулы следует, что полная орбитальная скорость КА на заданной орбитепеременна, т.е.

изменяется в фиксированных пределах (если e  0 : орбита не являетсяокружностью):Максимальная скорость КА достигается в перицентре орбиты   0 Vmax  V p 1  e Минимальная скорость КА достигается в апоцентре орбиты ,(   если апоцентрданной орбиты существует)Vmin  V p 1  e Если орбита является окружностью , то скорость КА согласно постоянна:Vpr,pr(4.41)Как следует из формулы (4.34):61rmin  r p1 e– расстояние в перицентреrmax  r p1 e– расстояние в апоцентреrrFVС помощью формул для V ,V , r , rможноустановить62междувеличинами скоростей и радиусамиапсидальных точек.VV rV rсвязьили V  r  V  r(4.42)Связь скорости с типом орбиты2 2hИспользуя формулу (4.35): e  1  h  2 , и интеграл энергии (4.6): V 2 rПроведем следующий анализ:1.

Пусть константа энергии h  022Запишем (4.27) в следующем виде: 2  1  h  22Очевидно, что h не может быть меньше -1. Поэтому при h  0 имеем:221  h  2  0Тогда получим: 0  e  1Такие орбиты называют эллиптическими.Из интеграла энергии видно V 2 2  h 0,rчто в любой точке эллиптическойорбиты выполняется неравенство:V2 632 2 V rr(4.43)2Если h  2  1, то e  0и движение КА происходит по круговой орбите.Согласно уравнению орбиты r стороныpпри e=01  e  cos 22 rp, тогда2 2и h   2    . Таким образом, в этом случае изrинтеграла энергии имеем:V2 V 2имеем r=p.