Курс лекций, страница 10

Левая частьинтеграла энергии (26) есть кинетическая энергия системы трех небесных тел.Тогда:Ek  U  Ek  En  h  const1797.3 Дифференциальные уравненияотносительного движениянескольких небесных телA3r33C1r23A1xСоставим уравнения движениянебесного тела А3 с массой m3относительно некоторого небесногоY тела А1(m1) в присутствии другогонебесного тела А2(m2) .ZzXr22yCXYZ – инерциальная СК с центром вбарицентре системы.А1xyz – не инерциальная СК с центром в А1A23  1  r3  2  1  r2 3   2  r23 180(27)Учитывая связи (27), уравнения (7) и (5) приведем к виду m1d 2 3m2frrr 3 33  3  2dt 2rr23 3 m2m3 d 2 1 f   3  r2  3  r3 2dtr3 r2(28)Дифференцируя первую связь (27) дважды, имеем:d 2 r3 d 2 3 d 2 1 2dt 2dt 2dtПодставляя в это выражение уравнение (28), получим искомое уравнение телаА3 относительно тела А1 в присутствии тела А2Аналогично: r2  r3 r2 d 2 r3m1  m3frfm 332 3dt 2r33rr2  23(29) r3  r2 r3 d 2 r2m1  m2frfm 323 3dt 2r23rr3  32(30)Предположим, что тело А3 – КА.

Тогда: m3уравнения (29)-(30) примет вид: d 2 rи m3m2, следовательно система r2  r3 r2 m1rfm 332 33dtr3r2  r23d 2 r2m1  m2f r223dtr232181m1f (31)(32)Проанализируем структуру уравнения (31), называя тело А1 – центральным, атело А2 – возмущающим.Ускорение обусловленное центральным телом А1 :a3   f m1 r3r33(33)Ускорение обусловленное возмущающим телом А2 :3  f  m2 r2  r3r2fm.2r233r23(34)Первые интегралы в относительном движении имеют другой вид, чем винерциальной системе координат.- интеграл площадей:m2   r2  r2   m3   r3  r3   m   rc  rc   - интеграл энергии:11m2  r22  m3  r32    m  rc2  U  h22где:1823m   mii 2, а rc , rc – векторы положения и скорости барицентраотносительно тела А17.4 Упрощенная постановказадачи трех тел.Понятие грависфер1837.4.1 Сфера притяженияРассмотрим движение КА массой m3 в гравитационном поле двух небесныхтел, массы которых m1 и m2, (m2  m1 ) .yA3  m3 uRспz184F2A2  m2  r23xr3F1A1  m1 xr2Область притяжения или сфера притяжения –меньшего тела относительно большего –совокупность точек пространства, в которомменьшее небесное тело m2 притягивает КАсильнее, чем большее тело m1На границе сферы притяжении должно выполняться следующее условие:F1  F2Согласно закону всемирного тяготения:f m3  m1r32 f m3  m2r232Пусть   m2  1, тогда:m1  r32  r232   r2  x   y 2  z 2    x 2  y 2  z 2   02   1   x 2  y 2  z 2   2    r 2  x    r22  0  r222   r222x x y  z  11 2Добавим в левую и правую часть последнего выражения слагаемое: 2  r2221   185Тогда: 2  r2 2  r2 2  2 2   r2 2  2  r2 2 x  2 y  z x221 1112  r2   r2 2  1        r2 222x y z 2111 1   x  uгде:u22 y 2  z 2  RСП,  r2; RСП  r21 1 Внутри сферы притяжения справедливо условие:Пример: Для движения КА в системе Земля-Луна:F2  F1RСП1,81 43000км,u  4500км,r2  384402км.1867.4.2 Сфера действияA3  m3 r23r3A1  m1 A2  m2 r2Сначала рассмотрим движение КА относительно большего притягивающеготела m1, воспользовавшись уравнением (29): r2  r3 r2 d 2 r3m1  m3frfm 332 233dtr3r2  r23илиd 2 r3 a1  Ф1 ,dt 2(35)Ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тела m1:a1   f m1  m3 r3r33(36)Возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличияпритягивающего тела m2:187r r r Ф1  f  m2   2 3 3  23 r2  r23(37)Теперь рассмотрим движение КА относительно меньшего притягивающеготела m2.

По аналогии с (35) можно записать:d 2 r23 a2  Ф22dt(38)Ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тела m2:a2   f m2  m3 r233r23(39)Возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличияпритягивающего тела m1:r r Ф2  f  m1   23  33 (40) r2r3 Областью действия или сфера действия меньшего тела m2 относительнобольшего тела m1 называют область пространства, в которой выполняетсяусловие:Ф2 Ф1(41)a2188a1Установим границу области (сферы) действия меньшего тела относительнобольшого.

На границе области действия должно выполняться условие:Ф2a22 m2  m3  mm2  12  где:  Ф1a1 8  1  1   2  2    cos    2  1    cos    1   2  2    cos  21  22    cos    1    2    cos  442r23m,   2 ,   A1 A2 A3r2m1Точное уравнение (43) можно упростить, если учесть малость  ивытекающую отсюда малость величины  .101  3  cos 2 r23  r2 1892510251  3  cos 2 (44)(43)Поверхность вращения, описываемая (44)близка к сфере.RсдA1  m1 A2  m2 Это следует из отношения максимальногорадиуса r23max (при   90 ) к минимальномурадиусу r23min (при   0 ), которое равноr23max 5 2  1,15r23minПриближенная формула для вычисления радиуса сферы действияменьшего небесного тела относительно большего:Rсд  rmax23190 r2  25(45)7.4.3 Сфера влияния (Кислика)Описание сферы влияния основано на использовании интеграла Якоби вкруговой ограниченной задаче трех тел.В качестве критерия оптимальности – минимум ошибки приближенногорасчета постоянной обобщенного интеграла энергии (минимум С)V 2  2 J  Cгде22 dx   dy   dz V        dt   dt   dt 2– скорость КА (m2) во вращающейся СК;mm1J    2   x2  y 2   f  1  f  223132– функция ЯкобиИз условия минимизации ошибки приближенного расчета постояннойинтеграла Якоби С получена формула для вычисления радиуса сферывлияния:Rвл  1,15  r2  3 (46)1917.4.4 Сфера ХиллаВыделяют 5 особых точек, такназываемых точек либрации, в которых вслучае равенства нулю скорости КА равнонулю и его ускорение.Первые три точки расположены налинии, проходящей через тела m1 и m2 .Коллинеарные точки –L1, L2 и L3.Треугольные или троянские точки – L4 и L5Расстояние либрационной точки L1 вычисляется:111RСХ  r2       2    3   r2  a 3393m23  m1Поверхность сферы является поверхностью нулевой скорости.Поверхность грависферы Хила может рассматриваться кактеоретическая граница существования спутников планет1921937.4.5 Вычисление третьей космическойТретья космическая скорость VIII - минимальная скорость, которую нужносообщить КА у поверхности Земли, чтобы он на первом же витке вышел изгравитационного поля Солнечной системы.V2VкрV1СолнцеRсд42V011943Вектор гелиоцентрической скорости: V2  V1  Vкр2  SS Vкр rErEV1  V2  Vкр  Vпар  Vкр V12 2  E2  E h  V0 2 Rсд, ER2 1(48)Из выражения (48) найдем:  V02  VIII2  V12  2   E   1  1  Rсд, EVIII Поскольку:SrE 11 2  1  2  E  RRE  сд, E2RE  6378км, Rсд, E  9, 44 105 км, rE  149597900км,3км39 км E  3,986 10 2 , S  132, 712438 10 2cc5Тогда: VIII  16,7195RE кмс(47)8 Возмущенное движение КАПод возмущениямипонимаются все факторы, которые приводят котклонению движения КА от кеплеровых орбит.

Здесь следует вспомнить, чтокеплеровы орбиты формируются центральным гравитационным полем, которое имеетнебесное тело, если оно является шаром с равномерным распределением плотностивещества.Основными источниками возмущений движения в поле тяготенияцентрального небесного тела является:• Гравитационные поля иных небесных тел, то есть наличие иных небесных телприводит к тому, что КА движется в гравитационном поле, которое не являетсяцентральным;• Несферичность центрального небесного тела, неравномерное распределениеплотности вещества по небесному телу, что также приводит к отклонениюгравитационного поля центрального тела от ньютоновского центральногогравитационного поля;• Атмосфера центрального небесного тела, если она имеется создаетаэродинамические силы, действующие на аппарат;• Излучение Солнца, электромагнитные силы и т.п.1968.1Уравнение Ньютона-Лагранжадля элементов оскулирующейорбитыРеальную орбиту можно рассматривать как кеплерову орбиту спеременными элементами.

Такую орбиту и называют оскулирующей, а еёэлементы, являющиеся функциями времени,  t  ,   t  ,   t  , p  t  ,   t  , t0  t  – оскулирующими.Оскулирующие элементы могут быть найдены но возмущающимускорениям как решения уравнений Ньютона-Лагранжа. Эти уравненияпредставляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Онисвязывают первые производные оскулирующих элементов, сами элементы ивозмущающие ускорения.197 d  r 3  Г  sin u du    p  sin   Ф3 , d  r 3  Г  cos u Ф3 , p du dp 2  r 3  Г  Ф2 ,du d r 3  Г rr sin   Ф1  cos   1    Ф2     Ф2  ,pp du    rr d r 2  Г cosФsin1ФctgsinuФ12, 2 du  pp4 dtr Гp    sin   N  cos    Ф1   N  Ф2  . 0 r du       p Где:1Г1r3 ctg  sin u  Ф3 p2 pcos   dN 2 r 0 1    cos  3u   В этих уравнениях Ф1 , Ф2 , Ф3– проекции вектора возмущающихускорений на оси подвижной орбитальной системы координат А198zФФ3Ф1Ф2yxЭта система координат такова, что ось Aξ проходитчерез центр притяжения и мгновенное положение аппарата, ось Aζперпендикулярна плоскости орбиты.