Курс лекций, страница 9

Поворот вокруг оси z против часовой стрелки наугол Ω;2. Поворот вокруг оси x1 против часовой стрелки наугол i;3. Поворот вокруг оси z2 против часовой стрелки наугол ω;Соответственно матрицы поворота будут:00 1A2  0 cos i sin i 0  sin i cos i  cos  sin  0 A3    sin  cos  0  001 Результирующая матрица А получится путем перемножения всех трех матриц:A  A3  A2  A1Обратное же преобразование будет осуществляться с помощью матрицы:155B  AT  A1T  A2T  A3TyПерейдемтеперькрешениюпоследовательной задачи.

Заданы элементыорбиты КА ,  ,  ,  , ,t0 .Требуется найти его координаты в СК .PEx, Для начала используем уравнение Кеплераи известные геометрические соотношения вэллипсе: E    sin E  n   t  t0 Находим значение Е и тогда можно записать:В СК {x,y}:cВ СК {ξ,η}:x  a  cos Ey  b  sin E  a   cos E     b  sin EТаким образом в СК {ξ, η, ζ} положение КА задается вектором столбцом вида:    a   cos E        b  sin E   0  1566.3 Методы определения орбит6.3.1 Определение орбиты по положению и скоростиПусть для некоторого момента времени t0 заданы координаты и скорость КА в ЭСК2:r0   x0y0z0  ,Tv0   x0y0z0  , t0TНеобходимо найти элементы орбиты: а (или р), е, M0 (или τ), i, ω, Ω.Алгоритм А1.1. Вычисляется интеграл площадей:    x y z T r0 V0y0  z0  z0  y0   xx0  z0  z0  x0   yx0  y0  y0  x0   z2.

Вычисляется модуля интеграл площадей:3. Вычисляется фокальный параметр:157p2   x2   y2   z24. Вычисляется наклонение (i) и долгота восходящего узла (Ω):x K x  sin i  sin ,y K y   sin i  cos ,z K z  cos i.15. Вычисляется большая полуось: 2 V02 2a     , т.к.V02 r0a r0  6. Вычисляется эксцентриситет: e  1  pa7. Вычисляется истинная аномалия в момент времени t0p  sin 0 Vr 0 ,p  1r 0 , где  cos 0  Vr0   r0 ,V0  1 x0  x0  y0  y0  z0  z0,r0r0r0  x02  y02  z02 .z7. Вычисляется аргумент широты и0iV0z0r0  sin u0 sin ir0  cos u0  x0  cos   y0  sin 158r0u0xc09. Вычисляется аргумент перицентра ω:   u0  010. Средняя аномалия М0 (или момент прохождения перицентра tπ) определяется поразному в зависимости от формы орбиты. Для эллиптической орбиты:а.

Вычисляется эксцентрическая аномалия Е0tgE01  tg 021 2б. Вычисляется средняя аномалия М0M 0  E0    sin E0в. Вычисляется момент прохождения перицентра tπt  t0  M 0 159a36.3.2 Определение орбиты по двум засечкам положенияПусть заданы в некоторой СК два вектора r1   x1 y1 z1  и r2   x2Ty2 , z2 Tи соответствующие им времена t1 и t2. (t1>t2)Алгоритм А1.1. Вычисляется наклонение (i) и долгота восходящего узла (Ω):Находим:r1  r2  y1  z2  z1  y2    z1  x2  x1  z2    x1  y2  y1  x2 y1  z2  z1  y2 K x  sin   sin i r1  r2z1  x2  x1  z2 K y   cos   sin i r1  r2x1  y2  y1  x2 K z  cos ir1  r2222Из этой системы находятся i и Ω2. Вычисляется большая полуось (а) и фокальный параметр (р)Для этого необходимо приближенно решить уравнение Ламберта. С этой цельюнужно найти входящие в него параметры:φ – угловая дальностьτ – длительностьc – хорду PQS – полупериметр ∆FPQ1602.1.

Определяется вспомогательная величина r0  r2  sin  – то есть высоту ∆FPQопущенный из точки Q на r1r0  r2r  r  1 2 r21r1Qr1  r2 1 2   x1  x2  y1  y2  z1  z2 r12r1x0  x2    x1 ,r0z0  z2    z1 ,r0  x02  y02  z02 .F2.2. Находится угол φ на основании соотношений:r0sin   r2cos    r1  r2     r1r1  r2r22.3. Определяются С, S и τ:r1 r1  r2   rr121C  r12  r22  2    r12  r12  1  2     r221S    r1  r2  c 2  t2  t1161cr2y0  y2    y1 ,P2.4.

Определяется большую полуось а орбиты на основании приближенногорешения уравнения Ламберта (в зависимости от F *и F * , φ>π или φ<π):   a 3    sin       sin   Ssinsin222a,S c2a2.5. Определяется фокальный параметр:4a2 SrSrsin12c22p3. Вычисляется эксцентриситет: e  1 a4.

Определяется аргумент перицентра ω:4.1. Определяется 1:pИз уравнения орбиты: e  cos    1r1В то же время имеется тригонометрическое тождество:cos 2  cos 1     cos 1  cos   sin 1  sin 162Домножаем на е, и имеем:p   1  cos   e  sin 1  sin  r1 Таким образом:p p  1e  sin 1    1  ctg    1  r1  r2  sin e  cos   p  11r14.2.

Определяется u1 : z1r1  sin u1 sin ir1  cos u1  x1  cos   y1  sin 4.2. Определяется аргумент перицентра:   u1  15. Определяется момент прохождения перицентра tπ :5.1. Определяется эксцентрическая аномалия Е1:tgE11 e tg 121 e25.2. Определяется средняя аномалия М1:M1  E1    sin E15.2. Определяется время прохождения перицентра tπ:t  t1  M 1 163a36.3.2 Определение орбиты по трем засечкам положения.Метод ГиббсаПусть заданы в некоторой СК три вектора r1   x1 y1 z1  и r2   x2Tr2   x2y2z2 Ty2 , z2 Tи соответствующие им времена t1, t2 и t3.Необходимо найти элементы орбиты: а (или р), е, M0 (или τ), i, ω, Ω.Для любых трех векторов, лежащих в одной плоскости справедливо соотношение:r2    r1    r3(1)где α и β скалярные множителиr3Умножая соотношение векторно на r1 ,а затем на r3 , получим:r2  r3r r,  2 1r1  r3r3  r1  r3(2)F164r2r1  r1В орбитальной системе координат:1е  r  cos    p  r (3)Соотношение (1) справедливо и для проекцийjrkFвекторов r1, r2 и r3 :2    1    3С учетом (3) можно записать:i  r2е   r1е  r3е   r1    r3  r2   1(4)В орбитальной системе координат введем орты осей ξ, η, ζ соответственно i , j и kто можно записать: j  k  i   i  kНо: k r1  r3r1  r3 j 1  i  r1  r3 r1  r3Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что:1r1  i  1    p  r1  ;e1651r3  i  3    p  r3 eПолучим: j  Тогда:  11  r1  i   r3   r3  i   r1    p  r3   r1   p  r1   r3 r1  r3e  r1  r31  p  r3   r1   p  r1   r3r1  r3(5)Алгоритм А2.1.

Определяются модули:r1  x12  y12  z12 ,r2  x22  y22  z22 ,r3  x32  y32  z32 ,r1  r2  y1  z2  z1  y2 r1  r3  y1  z3  y3  z1 r2  r3  y 2  z3  z 2  y 3 2. Находятся α и β :166V23;V132  z1  x2  x1  z2    x1  y2  y1  x2   V122  z1  x3  x1  z3    x1  y3  y1  x3   V1322222  z2  x3  x2  z3    x2  y3  y2  x3   V232V12V1323. Вычисляется р по соотношению (4):p  r1    r3  r2   14. Вычисляется вспомогательный модуль: p  r3   r1   p  r1   r3 V0   p  r3   x1   p  r1   x3 2   p  r3   y1   p  r1   y3     p  r3   z1   p  r1   z3 25. Вычисляется е по соотношению (5): e V0V136. Определяется Ω и i из решения системы: y1  z3  z1  y3  V13  cos   sin i, z1  x3  x1  z3  V13  cos   sin i, x  y  y  x  V  cos i 1 3 1 3 137. Определяется угол φ между векторами r1 и r3 :167V13sinr1  r3cos   1   x  x  y  y  z  z 131313r1  r328.

Определяется истинная аномалия 1 :p  1p esin1ctg  1 1r 1 r3 sin e  cos  p  11r19. Определяется аргумент широты u1 :z1r1  sin u1 sin ir1  cos u1  x1  cos   y1  sin 10. Определяется аргумент перицентра:   u1  111. Определяется эксцентрическая аномалия Е1:tgE11 e tg 121 e212. Определяется средняя аномалия М1:M1  E1    sin E113. Определяется момент прохождения перицентра tπ:t  t1  M 1 168a3 t1  M 1 p3  1  e2 36.3.3 Определение орбиты по трем засечкам положения визвестные моменты времени.zP3jkP2Aix169P1y1707 Движение КА в поле тяготениянескольких небесных тел7.1 Дифференциальные уравнениядвижения КА в инерциальнойсистеме координат171zA2  m2 F21A1  m1 Уравнение движения тела А1:d 2 1m1  2  F1  F21  F31dt 231  2F31kF21 – Сила с которой тело А2притягивает тело А1yixF31 – Сила с которой тело А3A3  m3 3j(1)притягивает тело А1На основании второго закона всемирноготяготения:F21   f m1  m2123  12   f m1  m2123 1   2(2) 12 – вектор положения тела А1 относительно тела А2F21   f m1  m2312  2  1F31   f (3)m1  m3313  3  1(4)Подставляя (3) и (4) в (1) получим:m mm md 2 1m1  2  f   1 3 2   2   1  1 3 3   3   1 dt13 12172(5)Аналогично можно записать векторные уравнения двух других тел: m1m3d2 2f12323dt 2233  21(6) m1m2d 2 3f13233dt 2323 31(7)Уравнение (5) в проекции на оси инерциальной СК примет вид: d 2 x1 m2m3 2  3   x2  x1   3   x3  x1  ,1213 dt d 2 ym3m21 2  3   y2  y1   3   y3  y1  ,1213 dtd 2zmm 21  32   z2  z1   33   z3  z1  ,1213 dtгде: 12   x2  x1    y2  y1    z2  z1 213 2 x3  x1    y3  y1    z3  z1 22(8)22Систему векторных уравнений движения (5)-(7) можно записать:173d 2 m  2  F ,  1,3dt(9)Потенциал силового поля системы трех небесных тел U выражается формулой:m m m m m m U  f  1 2  1 3  2 3 1323  12(10)Тогда каждая сила в системе уравнений (9) может быть вычислена через потенциалсилового поля:F UUUi  jkxyz(11)где: i, j, k- единичные орты соответствующих осей координат.Если тело А3 много меньше тел А1 и А2 уравнения (5)-(7) примут вид:d 2 1 2 3   2  1 ,dt 212(12)d 2  2 1 3  1   2 ,dt 2 21(13)d 2  3 12 2  3 .13dt 2 313 323(14)где: 1  f  m1, 2  f  m2 , 3  f  m3  01747.2 Первые интегралы движения вполе тяготения несколькихнебесных тел7.2.1 Интегралы движения барицентра системыЗапишем систему уравнений движения трех тел (5)-(7) в следующей форме:m1 1  F21  F31 m2  2  F12  F32 m3 3  F13  F23 (15)Сложим почленно левые и правые части уравнения (15), после чего получим:m11  m2 2  m3 3  0поскольку:(16)F21   F12 , F31   F13 , F32   F23.Проинтегрируем выражение (16), будем иметь:m11  m2 2  m3 3  aПосле интегрирования выражения (17), получим:175m11  m2 2  m33  at  b(18)(17)Положение барицентра в инерциальной системе координат определяется радиусомвектором:1c   m11  m2 2  m3 3 (19)mгде:m  m1  m2  m3 .Учитывая это, выражения (17) и (18) приведем к виду:mc  a ,mc  at  b 176(20)7.2.2 Интеграл площадейДомножим уравнения (15) векторно на 1 , 2 , 3 :m1 1  1   1  F21  1  F31 , m2  2   2    2  F12   2  F32 , m3 3  3   3  F13  3  F23 , (21)Сложим почленно левую и правую части этих уравнений:m1 1  1   m2 2  2   m3 3  3  (22) 1  F21  1  F31  2  F12  2  F32  3  F13  3  F23Поскольку 12 коллинеарен вектору силы F21:1  F21  2  F12   1  2   F21  12  F21  0Аналогично:1  F31  3  F13   1  3   F31  13  F31  02  F32  3  F23   2  3   F32  23  F32  0Тогда выражение (22) приводится к виду:177или:m1  1  1   m2  2  2   m3  3  3   0dm1    1  m2  2  2  m3  3  3   0dtИнтегрируя его, получим:3m1  1  1  m2  2  2  m3  3  3   mi  i  i    const(23)i 17.2.2 Интеграл энергииИз формул (9) И (11) следует, что:m    F UUUi jk,xyz  1,3(24)Домножим правые и левые части уравнений (24) на:dxdydzi    j   kdtdtdtскалярно и сложим почленно, тогда получим:m1  1  1  m2   2   2  m3  3  3 U dx1 U dy1 U dz1x1 dt y1 dt z1 dtU dx2 U dy2 U dz2x2 dt y2 dt z2 dt178U dx3 U dy3 U dz3x3 dt y3 dt z3 dt(25)Поскольку:f d f  , dtdtто в правой части (25) имеемdUdtтогда:222m3  3  dUm2  2d  m1  1dt  222 dtИнтегрируя, получим окончательно выражение, носящее название интегралаэнергии,1(26)  m1  12  m2  2 2  m3  32   U  h2Где h – константа энергии, определяемая из начальных условий.