Курс лекций

Курс лекцийМеханика полета КАА.В. ФомичевП.В. МжельскийОбщие сведенияПростейшая математическая модель состоит в замене небесного тела точкой, вкоторой сосредоточена вся масса тела.В теоретической механике:Силовая функция U  x, y, z  – это такая функция градиент которой определяетвектор силы: F  grad U .В физике:Потенциал функции П  x, y, z , которая отличается от силовой функции знакомП  x, y, z   U  x, y, z 22.1. Закон всемирного тяготения2.1.1.

Взаимное притяжение двух материальных точек.Движение естественных небесных тел и свободное движениеискусственных небесных тел (спутников, космических аппаратов,автоматических межпланетных станций и др.) происходит под действиемглавным образом сил притяжения, или гравитационных сил.Пусть M и m – массы двух материальных точек. Согласно законувсемирного тяготения всякая материальная точка притягивает другуюматериальную точку с силой, пропорциональной произведению масс этихточек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.r0MFrРис.

2.13mM mF fr2rf  6.670 1  0.0007  10(2.1)11м3кг  с 2x’y’z’ – произвольно ориентированная декартовасистема прямоугольных координат с началом вточке МM m xM m yM m zX f;Yf;Zf222rrrrrrzzmrMFxxРис. 2.2yyЕсли в каждой точке пространства определенанекоторая сила F  x, y, z  , то говорят, что заданосиловое поле.

Поле определяемое условием (2.1),называют центральным или ньютоновским.Силапритяженияконсервативна(работаконсервативной силы не зависит от формытраектории, а зависит только от начальной иконечной точки приложения силы), поэтому онаимеет потенциал: U ( x, y, z)  f M (2.2)UM rM x  f  2    f  2   X согласно равенству:r  x 2  y 2  z 2xr xr rrr 12 xx 1x 2 x 2  y 2  z 2 2 rаналогично:4UM y f  2  Yyr rUM zf  2  Zzr rГеометрическое место точек пространства, в которых потенциал принимаетпостоянное значение, то есть, называется поверхностью уровня илиизопотенциальной поверхностью.элементарная работа: dA  F  dr или dA  Fx  dx  Fy  dy  Fz  dzДля потенциального силового поля: dA  dU , откуда dU  F  drРабота силового поля: A   F  drr1r2Работа потенциального поля: A   dU  A  U  r2   U  r1 r1r2Работа центрального ньютоновского поля: A  f Если r1→r2, а r1→∞, тогда A  f MMfr2r1M U  x, y , z rПотенциальная функция, которая определяет потенциальную энергию врассматриваемой точке гравитационного поля, для центрального ньютоновскогополя имеет вид: П  x, y, z    f 5Mr2.1.2.

Силовое поле системы материальных точек.z2z*M1m1 F1 rm с координатами x*,y*,z*r2kF2 FkMkkFnnOx*xi  1, n Mi, с координатами xi , yi , ziM2y*rknРасстояние между точками Мi и m: x *  xi    y *  yi    z *  zi ri 22Составляющие силы Fi :M x *  xi,ri 2riMnXi   f yYi   f M y *  yi,ri 2riZi   f M z *  zi.ri 2riРис. 2.3Равнодействующая:nni 1i 1X   Xi   f nni 1i 1Y   Yi   f M i   x *  xi ,ri3M i   y *  yi ,ri3nnM i   z *  zi i 1i 1ri3Z   Zi   f 62.Эти составляющие можно представить в виде частных производных отnпотенциала: U  f i 1rij Mirix  x   y  y  z  z 2ij2ijij2- расстояние между произвольными точками Мi и MjСоставляющие равнодействующей силпритяжения:В этом случае имеем потенциал поля:Частные производные по координатампроизвольной точки Мi :7U i 1xi  x jX i   f   M i M jrij3 j 1nMMj i 1ijxi  x j ,rij3 n i 1yi  y jyi  y j Yi   f    M i M jMM,ijrij3rij3 j i 1 j 1n i 1zi  z jzi  z j Zi   f   M i M jMM.ij33rrj i 1ijij j 1n M M 1 n  i 1 M i M jijf  2 i 1  j 1 rijrij j i 1(2.3)UUU Xi , Yi , Zi ,xiyizii  1, n 2.2.

Притяжение сферического телаЭлементарный объем имеет:длину – ldφширину – lcosφdλвысоту – dlЭлементарный объем и его масса:dM    l   l 2 cos   dl  d  d dv  l 2  cos   dl  d  d zmrdldldr l Nr  l 2 r 2  l 2  2  r  l  r 2  l 2  2  r  l  sin Потенциал шара со сферическимраспределением плотности:y  l   l 2  cos U fdl  d  d vMr 2  l 2  2  r  l  sin Вычисляя этот интеграл, получим:RU  f    l   l 2  dl x0r 2  l 2  2  r  l  sin  d   d  2Рис. 2.4R f  2      l   l 2  dl 0cos 2r  l  2  r  l  sin 22 d 2 1 f  2      l   l  dl  r 2  l 2  2  r  l  sin r l0R28cos 22rR12  f   4      l   l  dlr 022(2.4)Второй сомножитель в (2.4) равен массе притягивающего тела:Окончательно имеем: U  fMrRM  4      l   l 2  dl0ВыводыЭта формула совпадает с (2.2). Следовательно, для шара сосферическим распределением плотности потенциал на внешнююматериальную точку совпадает с потенциалом материальной точки,расположенной в центре шара и имеющей такую же массу.

Отсюда можносделать вывод, что сила, с которой такой шар притягивает внешнююматериальную точку, не изменится, если всю массу шара поместить в егоцентр.Другое важное практическое свойство, которое следует изприведенного анализа заключается в том, что два внешних по отношениюдруг к другу тела, имеющих форму шара со сферическим распределениемплотности, притягиваются взаимно как материальные точки, то есть ссилой, прямо пропорциональной их массе и обратно пропорциональнойквадрату расстояния между их центрами.92.3. Разложение потенциала в рядпо сферическим функциям2.3.1. Потенциал тела произвольной формы. r dv , где   dv  dmПотенциал: U  f zvMN  x0 , y0 , z0 M r0OxРис. 2.510lНайдем величину вектора l  r  r0ml  r 2  2  r  r0  cos  r02l r0rr l  r  1  2  0  cos   0 rrycos 2r  r0x  x0  y  y0  z  z0r  r0r  r0(2.5)Формула Родрига:hn21 d   z  1Pn  z   n2  n!dz nили формулой вида: Pn  z     1n r 022 n  2 r  z n2rn2  r !  n  r !  n  2  r !(2.6)n, если n - четное число,2где: h   n  1 , если n - нечетное число. 2Для полиномов Лежандра справедливо следующеесоотношение:11  2   z   2   n  Pn  z n 0Воспользуемся соотношением (2.7) для разложенияn в ряд по 1 l полиномам1 1  rr z  cosЛежандра: обозначая   ,то:       Pn  cos  (2.8)lr0rn 0 r0  1   r nЗатем найдем U  f        Pn  cos     dvrrvM  n 0  0 x  r  cos   cos  ,y  r  cos   sin  ,x0  r0  cos 0  cos 0 ,(2.9)z  r  sin  ,y0  r0  cos 0  sin 0 ,z0  r0  sin 0 .тогда получим: cos  cos   cos 0  cos   cos 0  cos    0  (2.10)11(2.7)Теоремой сложения для полиномов Лежандра: n  k !  P k  sin   Pk  sin   cos k    n  0n 0k 1  n  k  !nPn cos   cos 0  cos   cos 0  cos    0    Pn  sin    Pn  sin 0   2  Отсюда с учетом (2.10) и соотношения: cos k    0   cos k  cos k0  sin k sin k0 получим: n  k !  P k  sin   cos k   P k  sin   cos k  n n 00k 1  n  k  !nPn  cos   Pn  sin    Pn  sin 0   2   n  k !  P k  sin   sin k   P k  sin   sin k  2n n 00k 1  n  k  !n(2.11)Pn k  – присоединенная функция Лежандра порядка n и индекса k, которая связана сkkk 2 2 d Pn  z полиномом Лежандра условием: Pn  z   1  z  (2.12)kdzТогда: 1U  f   n 1  Pn  sin    r0n  Pn  sin 0    dv  n 0 vMr 12   n  k ! n  k k f   n 1  Pn   sin    cos k    r0  Pn  sin 0   cos k 0    dv   n  k !n  0 k 1 rvMn 12   n  k ! n  k k  f   n 1  Pn  sin    sin k    r0  Pn  sin 0   sin k 0    dv .rnk!n  0 k 1 vM12n(2.13)2.3.2.

Вычисление коэффициентов разложения.Введем безразмерные коэффициенты:Jn  1 r n  Pn  sin 0     dv,n  0M  Rэ vMCnk 2   n  k ! n  k 1r0  Pn  sin 0   cos k 0    dv,n M  Rэ vM  n  k  !Snk 2   n  k ! n  k 1r  P  sin 0   sin k 0    dv.M  Rэn  n  k ! 0 nvM(2.14)Полином Лежандра 0-го порядка при любом значении аргумента равен единице,следовательно, P0  sin 0   1. Кроме того,   dv  M, отсюда имеем J0=-1.vMПолином Лежандра 1-го порядка равен своему аргументу, то есть P1  sin 0   sin 0.Учитывая это, вычислим по формуле (2.12) присоединенную функцию Лежандра 1го порядка и первого индекса: P11  sin 0   cos 0 .Тогда:13J1  z11  r0  sin 0    dv    z0  dm   M ,M  Rэ vMM  Rэ vMRЭC11 x11  r0  cos 0  cos 0    dv    x0  dm  M ,M  Rэ vMM  Rэ vMRЭS11 y11  r0  cos 0  sin k 0    dv    y0  dm  M ,M  Rэ vMM  Rэ vMRЭПолином Лежандра 2-го порядка:1P2  sin 0     3  sin 2 0  12P2   sin 0   3  cos 0  sin 0Присоединенную функцию Лежандра 2-го1порядка и индексами k = 1, 2:Тогда:J2  P22 sin 0   3  cos2 02C   A  B122r13sindv,0022  M  RЭ2 2MRЭvMC21 1E2rcossincosdv,00002  M  RЭ2 2  M  RЭ2vMS21 1D r 2  cos 0  sin 0  sin 0    dv ,2  02  M  RЭ vM2  M  RЭ2C22 1B A r 2  cos 2 0  cos 20    dv .2  02  M  RЭ vM2  M  RЭ2S21 1F r 2  cos 2 0  sin 20    dv ,2  02  M  RЭ vM2  M  RЭ2(2.16)Осевые моменты инерции:A    y02  z02   dm, B    x02  z02   dm, C    x02  y02   dmvMvMvMЦентробежные моменты инерции:D   y0 z0  dm, E   x0 z0  dm, F   x0 y0  dmvM14vMvM(2.18)(2.17)Окончательно получим:nn n RЭ  RЭ M k U  f   1   J n  PsinPsinCcoskSsink n nnknkr  n2r n  2 k 1  r 15(2.16)2.3.2.

Зональные, секторальные и секториальныегармоники.В разложении потенциала (2.19) обычно различают составляющие трех типов:n1. Рассмотрим сначала слагаемыеMR вида f  r  J n   rЭ   Pn  sin  (2.20) собранныев первую сумму. Знак (2.20) зависит от знакаPn  sin   . Поскольку полиномЛежандра n-го порядка имеет n действительных различных корней (причемкаждый по абсолютной величине < 1), функция Pn  sin   будет менять знак наn широтах.

Следовательно, сфера разделится на (n+1) широтную зону, вкоторых слагаемые вида (2.20) принимают попеременно положительные иотрицательные значения. Поэтому слагаемые вида (2.20) называютзональными гармониками n-го порядка.2. Рассмотрим теперь из второй суммы(2.19) слагаемые вида:MfrnR k  Э   Pn   sin    Cnk  cos k  r nM R kf    Э   Pn   sin    S nk  sin k r  r где 1 ≤ k ≤ n.