Курс лекций, страница 2

Эти слагаемые обращаются в нуль на (n-k) параллелях, где sin    0 , илиили sin k  0 .k Pn16d k Pn  sin  d  sin  k 0 , и на 2k меридианах, где cos k   0Такимипараллелямиимеридианамисфераделитсяна(n+k+1)сферическую трапецию, в каждой из которых указанные слагаемыесохраняют знак. Эти слагаемые называются тессеральными гармоникамипорядка n и индекса k.3.

Если n=k, то имеем оставшиеся слагаемые второй суммы (2.19)nMfrR n  Э   Pn   sin    Cnn  cos n r MfrR n  Э   Pn   sin    Snn  sin n r nnnЗдесь sign Pn   sin    const , так какd Pn  sin  d  sin  n const отсюда видно, чтослагаемые (2.21) меняют знак только на меридианах, определяемыхусловием cos n  0 и sin n  0 .Эти условия выделяют 2n меридиональных секторов, в которыхслагаемые (2.21) сохраняют знак, поэтому их называют секторальнымигармониками n-го порядка.17Физический смысл:1. Первоеслагаемое(2.19)соответствуетшарусосферическимраспределением плотности.2. Вторая зональная гармоника J2учитывает полярное сжатие Земли(вдоль оси вращения) и является самой существенной поправкой припереходе к нецентральному полю притяжения.3. Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармоники,для которых число (n-k) нечетно, учитывают асимметрию Землиотносительно плоскости экватора, а секторальные и тессеральныегармоники – асимметрию Земли относительно оси вращения.18n=0Порядок гармоникиn=1n=2n=3n=4Зональные гармоникиТессеральныеСекториальныегармоники19Гармоникиk=1k=2k=3k=4Индекс гармоникиk=02.4.

Геоид. Сила тяжести.Если тело находится на поверхности Земли, то помимо силыпритяжения на него действует также центробежная сила инерции, порождаемаясуточным вращением Земли. Равнодействующую этих сил называют силойтяжести. Потенциалсилытяжестиравен сумме потенциалов силыпритяжения и центробежной силы: UТ  U  U ЦБГеометрическое место точек, в которых потенциал силы тяжести имеетодно и тоже значение, называют уровенной поверхностью потенциала силытяжести.

В геодезии уровенную поверхность, совпадающую со свободнойневозмущенной поверхностью океанов и продолженную под материками,принято называть геоидом (иногда в баллистике под геодом понимают неповерхность, а тело, которое ограниченно поверхностью мирового океана принекотором среднем уровне воды, свободной от возмущений).202.4.1.

Нормальный сфероид.Если: Cnk =Snk= 0ЗmТогда:FЦБ Fn RЭ M U  f   1   J n    Pn  sin   r  n2rP  mg(2.22)Потенциал центробежной силы:1U ЦБ   З2  r 2  cos2 2(2.23)Тогда уравнение уровенной поверхности:n 1 RЭ M    З2  r 2  cos 2   C0f   1   J n  Psin nr  n2 2 r Рис. 2.6MЕсли r=Rэ при φ=0, тогда: C0  f RЭилиMC0  f RЭ1  1   J n  Pn  0    q ,2  n2Тогда уравнение модели геоида:21 1 1   J n  Pn  0    З2  RЭ2 n2 2где: q З2  RЭ3f M3n r  RЭ M 12f   1   J n  Psinqcos nr  n2r2R ЭM 1  f 1   J n  Pn  0    q (2.24)RЭ  n  22 Отбросив в (2.24) слагаемые с номерами n>2, получим:32 1  r  RЭ 1 11 2 1  J 2  Psinqcos 1  J 2  P2  0    q  2r 22  RЭ  r  RЭ (2.25)При наличии осевой симметрии в распределении плотности (A=B), тогда согласно(2.16):J2 2 C   A  B C  А2  M  RЭ2M  RЭ2Учитывая P2  sin 0     3  sin 2 0  1121 CА 1 r  2  M  RЭ2преобразовываем (2.25) к виду:32 1  RЭ 1rCА1 2213sinqcos1 q2r2RR2MR2Э Э Э(2.26)Уравнение (2.26) описывает поверхность, которую называют нормальнымсфероидом (или эллипсоидом Клера).Преобразуем формулу (2.26):rRЭ22CА12  M  RЭ223 r R 12  Э   1  3  sin 2     q    cos 2 r  RЭ CА11 q22  M  RЭ 2(2.27)Отбросив в правой части (2.27) величины выше первого порядка малости,3 CА q2 M  RЭ2 2получим: r  RЭ  1    sin 2   (2.28), где   x2 y 2 z 2Уравнение эллипсоида вращения: 2  2  2  1RЭ RЭ RnzRППереходя к сферическим координатам:Rx  R  cos   cos RЭТогда:yR Рис.

2.7R 2  cos 2  R 2  sin 2 1RЭ2Rn2После преобразований получаем:2xz  R  sin y  R  cos   sin 1cos 2  sin 2 RЭ2Rn212 RЭ 1  22cossin RЭ2 R nRЭ22R cos 2    Э   sin 2   Rn 2R R R2Введем   Э n - сжатие эллипсоида. Тогда: 1      n  иRЭ RЭ 12sin R 2  RЭ2   cos 2  21 23 2sin 2  R  RЭ   cos  21    12(2.29)Разложим в ряд правую часть (2.29) и оставим в разложении слагаемыетолько первого порядка относительно сжатия α, тогда получим, R  RЭ  1    sin 2  которое совпадает с (2.28).В1964г.Международныйастрономическийсоюзвкачестверекомендуемой модели фигуры Земли принял общий земной эллипсоид,параметры которого с учетом более поздних уточнений имеют следующиезначения:• Экваториальный радиус, RЭ  6378137 м• Сжатие,  RЭ  Rn1RЭ298.25км3• Произведение постоянной тяготения на массу Земли, f  M  398600.4 2сИногда оказывается целесообразным повысить точность локальногоописания фигуры Земли (например, на территории одного государства) за счетиспользования так называемого референц-эллипсоида.242.4.2.

Ускорение силы тяжести.УровеннаяповерхностьgТГЭкваторn0rgТГУскорение силы тяжести: gT  gradUTgradUT UT 0nnПроекция ускорения силы тяжести нарадиус-вектор: gTr   gT  cos На поверхности сфероида: gTr  UTrr RДля принятой модели (нормального сфероида):Рис. 2.8M CАUT  f   1 r  2  M  RЭ2M  3 CАПоэтому: gT  f  2  1  R  2 M  RЭ232 RЭ 1r2213sinqcos 2 R  r Э32 RЭ 1R22  cos    1  3  sin     q  R2R Э(2.30)Подставив сюда соотношение (2.28) с заменой r=R и α:gT  f M 352 1qqsinR 2 22Ускорение силы тяжести на экваторе: gTЭ  f 25M 3 1qR 2 2 52Можно привести (2.30) к виду: gT  gTЭ  1    sin 2   (2.31), где    q  Для более сложных моделей геоида (с точностью до малых второго порядка):gT  gTЭ  1  1  sin 2   2  sin 2 2 52где: 1   q   53 q  ,1458182   q    2 .Формула Гельмерта (1901 г.

  1 298.2 ):gT  978.03  1  5.302 103  sin 2   7 106  sin 2 2 Формула для общего земного эллипсоида МАС (1964 г.   1 298.25 ):gT  978.0319  1  5.3024 103  sin 2   5.85 106  sin 2 2 Формула Аксенова (1977 г.   1298.2):gT  978.028  1  7.2 106  sin   5.364 106  sin 2   1.2 105  sin 3   6.3 105  sin 4  Формула Загребина-Резановой для трехосного эллипсоида (1969 г.

полярноесжатие   1, экваториальное сжатие   1298.2530000gT  978.0318  1  5.3024 103  sin 2  1.651105  cos 2   cos 2   15  5.85 106  sin 2 2 263. Общая теория движения КАУскорение материальной точки относительно инерциального пространства dV j  пропорционально dt суме векторов, действующих на нее сил   Fi  , а iкоэффициентом пропорциональности является масса материальной точки  m  :jmj Для центра масс КА:mУравнение сил в общемУравнение моментов:dtn  Fii 1ndvdV  Fi  m  c отн  2  m   vc отн dtdti 1ndV j  Fiвиде: m j (3.2)dti 1ndI   I    Midti 1Где I – тензор инерции (матрица):27dV j I xxI    I yx  I zx(3.3) I xyI yy I zy I xz  I yz I zz (3.1)3.1.

Системы координат дляанализа движения КАПри изучении движения КА применяются прямоугольные, криволинейныеи оскулирующие системы координат.Криволинейными координатами являются:- цилиндрические- эллипсоидные- сферические- параболоидальныеВ зависимости от места положения начала координат системы делятся на:- гелиоцентрические- геоцентрические- топоцентрические- селеноцентрическиеВ зависимости от выбора основной плоскости системы делятся наэкваториальные, эклиптические и другие. В зависимости от выбора направленияосей систем по отношению к пространственным ориентирам системы делятся навращающиеся и невращающиеся (инерциальные).283.1.1.