Курс лекций (1246134)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курс лекцийМеханика полета КАА.В. ФомичевП.В. МжельскийОбщие сведенияПростейшая математическая модель состоит в замене небесного тела точкой, вкоторой сосредоточена вся масса тела.В теоретической механике:Силовая функция U  x, y, z  – это такая функция градиент которой определяетвектор силы: F  grad U .В физике:Потенциал функции П  x, y, z , которая отличается от силовой функции знакомП  x, y, z   U  x, y, z 22.1. Закон всемирного тяготения2.1.1.

Взаимное притяжение двух материальных точек.Движение естественных небесных тел и свободное движениеискусственных небесных тел (спутников, космических аппаратов,автоматических межпланетных станций и др.) происходит под действиемглавным образом сил притяжения, или гравитационных сил.Пусть M и m – массы двух материальных точек. Согласно законувсемирного тяготения всякая материальная точка притягивает другуюматериальную точку с силой, пропорциональной произведению масс этихточек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.r0MFrРис.

2.13mM mF fr2rf  6.670 1  0.0007  10(2.1)11м3кг  с 2x’y’z’ – произвольно ориентированная декартовасистема прямоугольных координат с началом вточке МM m xM m yM m zX f;Yf;Zf222rrrrrrzzmrMFxxРис. 2.2yyЕсли в каждой точке пространства определенанекоторая сила F  x, y, z  , то говорят, что заданосиловое поле.

Поле определяемое условием (2.1),называют центральным или ньютоновским.Силапритяженияконсервативна(работаконсервативной силы не зависит от формытраектории, а зависит только от начальной иконечной точки приложения силы), поэтому онаимеет потенциал: U ( x, y, z)  f M (2.2)UM rM x  f  2    f  2   X согласно равенству:r  x 2  y 2  z 2xr xr rrr 12 xx 1x 2 x 2  y 2  z 2 2 rаналогично:4UM y f  2  Yyr rUM zf  2  Zzr rГеометрическое место точек пространства, в которых потенциал принимаетпостоянное значение, то есть, называется поверхностью уровня илиизопотенциальной поверхностью.элементарная работа: dA  F  dr или dA  Fx  dx  Fy  dy  Fz  dzДля потенциального силового поля: dA  dU , откуда dU  F  drРабота силового поля: A   F  drr1r2Работа потенциального поля: A   dU  A  U  r2   U  r1 r1r2Работа центрального ньютоновского поля: A  f Если r1→r2, а r1→∞, тогда A  f MMfr2r1M U  x, y , z rПотенциальная функция, которая определяет потенциальную энергию врассматриваемой точке гравитационного поля, для центрального ньютоновскогополя имеет вид: П  x, y, z    f 5Mr2.1.2.

Силовое поле системы материальных точек.z2z*M1m1 F1 rm с координатами x*,y*,z*r2kF2 FkMkkFnnOx*xi  1, n Mi, с координатами xi , yi , ziM2y*rknРасстояние между точками Мi и m: x *  xi    y *  yi    z *  zi ri 22Составляющие силы Fi :M x *  xi,ri 2riMnXi   f yYi   f M y *  yi,ri 2riZi   f M z *  zi.ri 2riРис. 2.3Равнодействующая:nni 1i 1X   Xi   f nni 1i 1Y   Yi   f M i   x *  xi ,ri3M i   y *  yi ,ri3nnM i   z *  zi i 1i 1ri3Z   Zi   f 62.Эти составляющие можно представить в виде частных производных отnпотенциала: U  f i 1rij Mirix  x   y  y  z  z 2ij2ijij2- расстояние между произвольными точками Мi и MjСоставляющие равнодействующей силпритяжения:В этом случае имеем потенциал поля:Частные производные по координатампроизвольной точки Мi :7U i 1xi  x jX i   f   M i M jrij3 j 1nMMj i 1ijxi  x j ,rij3 n i 1yi  y jyi  y j Yi   f    M i M jMM,ijrij3rij3 j i 1 j 1n i 1zi  z jzi  z j Zi   f   M i M jMM.ij33rrj i 1ijij j 1n M M 1 n  i 1 M i M jijf  2 i 1  j 1 rijrij j i 1(2.3)UUU Xi , Yi , Zi ,xiyizii  1, n 2.2.

Притяжение сферического телаЭлементарный объем имеет:длину – ldφширину – lcosφdλвысоту – dlЭлементарный объем и его масса:dM    l   l 2 cos   dl  d  d dv  l 2  cos   dl  d  d zmrdldldr l Nr  l 2 r 2  l 2  2  r  l  r 2  l 2  2  r  l  sin Потенциал шара со сферическимраспределением плотности:y  l   l 2  cos U fdl  d  d vMr 2  l 2  2  r  l  sin Вычисляя этот интеграл, получим:RU  f    l   l 2  dl x0r 2  l 2  2  r  l  sin  d   d  2Рис. 2.4R f  2      l   l 2  dl 0cos 2r  l  2  r  l  sin 22 d 2 1 f  2      l   l  dl  r 2  l 2  2  r  l  sin r l0R28cos 22rR12  f   4      l   l  dlr 022(2.4)Второй сомножитель в (2.4) равен массе притягивающего тела:Окончательно имеем: U  fMrRM  4      l   l 2  dl0ВыводыЭта формула совпадает с (2.2). Следовательно, для шара сосферическим распределением плотности потенциал на внешнююматериальную точку совпадает с потенциалом материальной точки,расположенной в центре шара и имеющей такую же массу.

Отсюда можносделать вывод, что сила, с которой такой шар притягивает внешнююматериальную точку, не изменится, если всю массу шара поместить в егоцентр.Другое важное практическое свойство, которое следует изприведенного анализа заключается в том, что два внешних по отношениюдруг к другу тела, имеющих форму шара со сферическим распределениемплотности, притягиваются взаимно как материальные точки, то есть ссилой, прямо пропорциональной их массе и обратно пропорциональнойквадрату расстояния между их центрами.92.3. Разложение потенциала в рядпо сферическим функциям2.3.1. Потенциал тела произвольной формы. r dv , где   dv  dmПотенциал: U  f zvMN  x0 , y0 , z0 M r0OxРис. 2.510lНайдем величину вектора l  r  r0ml  r 2  2  r  r0  cos  r02l r0rr l  r  1  2  0  cos   0 rrycos 2r  r0x  x0  y  y0  z  z0r  r0r  r0(2.5)Формула Родрига:hn21 d   z  1Pn  z   n2  n!dz nили формулой вида: Pn  z     1n r 022 n  2 r  z n2rn2  r !  n  r !  n  2  r !(2.6)n, если n - четное число,2где: h   n  1 , если n - нечетное число. 2Для полиномов Лежандра справедливо следующеесоотношение:11  2   z   2   n  Pn  z n 0Воспользуемся соотношением (2.7) для разложенияn в ряд по 1 l полиномам1 1  rr z  cosЛежандра: обозначая   ,то:       Pn  cos  (2.8)lr0rn 0 r0  1   r nЗатем найдем U  f        Pn  cos     dvrrvM  n 0  0 x  r  cos   cos  ,y  r  cos   sin  ,x0  r0  cos 0  cos 0 ,(2.9)z  r  sin  ,y0  r0  cos 0  sin 0 ,z0  r0  sin 0 .тогда получим: cos  cos   cos 0  cos   cos 0  cos    0  (2.10)11(2.7)Теоремой сложения для полиномов Лежандра: n  k !  P k  sin   Pk  sin   cos k    n  0n 0k 1  n  k  !nPn cos   cos 0  cos   cos 0  cos    0    Pn  sin    Pn  sin 0   2  Отсюда с учетом (2.10) и соотношения: cos k    0   cos k  cos k0  sin k sin k0 получим: n  k !  P k  sin   cos k   P k  sin   cos k  n n 00k 1  n  k  !nPn  cos   Pn  sin    Pn  sin 0   2   n  k !  P k  sin   sin k   P k  sin   sin k  2n n 00k 1  n  k  !n(2.11)Pn k  – присоединенная функция Лежандра порядка n и индекса k, которая связана сkkk 2 2 d Pn  z полиномом Лежандра условием: Pn  z   1  z  (2.12)kdzТогда: 1U  f   n 1  Pn  sin    r0n  Pn  sin 0    dv  n 0 vMr 12   n  k ! n  k k f   n 1  Pn   sin    cos k    r0  Pn  sin 0   cos k 0    dv   n  k !n  0 k 1 rvMn 12   n  k ! n  k k  f   n 1  Pn  sin    sin k    r0  Pn  sin 0   sin k 0    dv .rnk!n  0 k 1 vM12n(2.13)2.3.2.

Вычисление коэффициентов разложения.Введем безразмерные коэффициенты:Jn  1 r n  Pn  sin 0     dv,n  0M  Rэ vMCnk 2   n  k ! n  k 1r0  Pn  sin 0   cos k 0    dv,n M  Rэ vM  n  k  !Snk 2   n  k ! n  k 1r  P  sin 0   sin k 0    dv.M  Rэn  n  k ! 0 nvM(2.14)Полином Лежандра 0-го порядка при любом значении аргумента равен единице,следовательно, P0  sin 0   1. Кроме того,   dv  M, отсюда имеем J0=-1.vMПолином Лежандра 1-го порядка равен своему аргументу, то есть P1  sin 0   sin 0.Учитывая это, вычислим по формуле (2.12) присоединенную функцию Лежандра 1го порядка и первого индекса: P11  sin 0   cos 0 .Тогда:13J1  z11  r0  sin 0    dv    z0  dm   M ,M  Rэ vMM  Rэ vMRЭC11 x11  r0  cos 0  cos 0    dv    x0  dm  M ,M  Rэ vMM  Rэ vMRЭS11 y11  r0  cos 0  sin k 0    dv    y0  dm  M ,M  Rэ vMM  Rэ vMRЭПолином Лежандра 2-го порядка:1P2  sin 0     3  sin 2 0  12P2   sin 0   3  cos 0  sin 0Присоединенную функцию Лежандра 2-го1порядка и индексами k = 1, 2:Тогда:J2  P22 sin 0   3  cos2 02C   A  B122r13sindv,0022  M  RЭ2 2MRЭvMC21 1E2rcossincosdv,00002  M  RЭ2 2  M  RЭ2vMS21 1D r 2  cos 0  sin 0  sin 0    dv ,2  02  M  RЭ vM2  M  RЭ2C22 1B A r 2  cos 2 0  cos 20    dv .2  02  M  RЭ vM2  M  RЭ2S21 1F r 2  cos 2 0  sin 20    dv ,2  02  M  RЭ vM2  M  RЭ2(2.16)Осевые моменты инерции:A    y02  z02   dm, B    x02  z02   dm, C    x02  y02   dmvMvMvMЦентробежные моменты инерции:D   y0 z0  dm, E   x0 z0  dm, F   x0 y0  dmvM14vMvM(2.18)(2.17)Окончательно получим:nn n RЭ  RЭ M k U  f   1   J n  PsinPsinCcoskSsink n nnknkr  n2r n  2 k 1  r 15(2.16)2.3.2.

Зональные, секторальные и секториальныегармоники.В разложении потенциала (2.19) обычно различают составляющие трех типов:n1. Рассмотрим сначала слагаемыеMR вида f  r  J n   rЭ   Pn  sin  (2.20) собранныев первую сумму. Знак (2.20) зависит от знакаPn  sin   . Поскольку полиномЛежандра n-го порядка имеет n действительных различных корней (причемкаждый по абсолютной величине < 1), функция Pn  sin   будет менять знак наn широтах.

Следовательно, сфера разделится на (n+1) широтную зону, вкоторых слагаемые вида (2.20) принимают попеременно положительные иотрицательные значения. Поэтому слагаемые вида (2.20) называютзональными гармониками n-го порядка.2. Рассмотрим теперь из второй суммы(2.19) слагаемые вида:MfrnR k  Э   Pn   sin    Cnk  cos k  r nM R kf    Э   Pn   sin    S nk  sin k r  r где 1 ≤ k ≤ n.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов реферата