Курс лекций (1246134), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Но с другой2hrrr 0 V (4.44)rОбозначив r=rкр - радиус круговой орбиты, окончательно запишем:V  Vкр  rкр  rкр(4.45)Эта скорость называется местной круговой скоростью.642. Пусть константа энергииh0, т.е. КА может неограниченно удаляться отпритягивающего центра.При выполнении строгого равенства h=0 скорость на бесконечность V  0 , т.к.h  V2. В этом случае e=1, а такую орбиту называют параболической. Для неескорость определяется формулой:2 h0r2 2 V 2 V  Vпар  r rrV2 (4.46)Эта скорость называется местной параболической скоростью.Из сравнения круговой скорости движения (4.44), (4.45) с параболической (4.46)видно, что:65Vпар  2 Vкр(4.47)3. Если h=0, то е=1, и орбита является гиперболическойИз интеграла энергии V 2 22  h  0 то V 2 rr2 22Запишем этот же интеграл иначе VГ r h  V или V2 r(4.48)2VГ2  Vпар r   V2С учетом (4.49) V2 называют гиперболическим избытком скорости.66(4.49)Из проведенного выше анализа можно сделать следующие выводы:1.

Чтобы определить форму орбиты, нужно известную скорость КА на заданномрасстоянии от притягивающего центра сравнить с местной параболической иликруговой:2 - гиперболическая орбита;r- параболическая орбита;V  Vпар V  VпарV  Vпар - эллиптическая орбита;V  Vкр r- круговая орбита.2. Форму орбиты можно определить и по знаку константы энергии:h  0 - орбита гиперболическая ;h  0 - орбита параболическая ;h  0 - орбита эллиптическая или круговая.67Первой космической скоростью VI относительно данного небесного теланазывают круговую скорость у поверхности этого небесного тела.Второй космической скоростьюVIIотносительно данного небесноготела называют параболическую скорость у поверхности этого небесного тела.Очевидно: VI r0, VII 2 , VII  2 VIr0(4.50)Период обращения спутника Т – время между двумя последовательнымипрохождениями через одну и ту же точку орбиты.Нулевой спутник планеты – гипотетический спутник, который двигалсябы по окружности в непосредственности близости от поверхности небесного телапри допущении, что это тело – идеальный шар.684.

5. Основные характеристикиорбит. Связь времени сположением на орбитеНевозмущенное движение КА в центральном поле притяжения частоназывают кеплеровским движением.Первый закон Кеплера:Движение планет происходит по эллипсу, в одном из фокусов которого находитсяСолнце.Более общая формулировка этого закона выглядит следующим образом:Орбита представляет кривую второго порядка, в одном из фокусов которойнаходится притягивающий центр.690VrV00r0VnFЕдиничная нормаль к плоскости движения:  0 r0  V0r0  V0Начальный угол наклона траектории (т.е.

угол между вектором скоростиместным горизонтом в начальной точке) определяется по формуле:0 2 2 arccosr0 V0r0 V0Зная теперь величины V0 , r0 ,0, можно с помощью формул:  r0 V0  sin   r0 V0  cos  02p70V0 иВычислить параметр орбиты: p Где:0 r0V02 20V2крV r0 r02 V02  cos 2 0 r0  0  cos 2 0- безразмерный параметр, характеризующий уровенькинетической энергии КА.С помощью интеграла энергии2 V hr0202и формулы: e  1  h  2Определим эксцентриситет орбиты: 2 2    r02  V02  cos 2  0e  1   V0 2r0 (4.51) 1   0  2   0  cos 2  0Если  0  1 ,то в этом случае по формуле (4.51) имеем: e  sin 0Если одновременно выполняется условиякруговой (е=0), если же  0  1 и0 1 и0  0 , то орбита является0  0 , то орбита оказывается эллиптической0<e<1.При  0  2 начальная скорость равна местной параболической : V0  Vnap  r0  2 r0,аe=1.

В этом случае величина  0 не имеет существенного значения, а КА движется71по параболической орбите.V0  Vnap  r0  При  0  2 (e>1) скорость КА превышает параболическую:2 r0и он движется по гиперболической орбите.Из интеграла площадей можно получить:dr2r    dt   ddt2(4.52)Проинтегрируем уравнение (4.52) от точки орбиты, соответствующей перицентру,где t  t и   0 , до некоторой произвольной точки, где КА находится в моментвремени t, а величина истинной аномалии при этом равна  .tТогда:1 dt     rtt  t 2 d01Учитывая     p и r   r 2  dp, поэтому:1  e  cos t  t 72(4.53)0p320d1  e  cos  2(4.54)4.5.1 Эллиптическая орбитаyMЭллиптического орбита: (h<0, 0<e<1).aBOENF2 abF1 MAr pcxЭллипспредставляетгеометрическоеместособойточек,которых сумма расстояний отРис.

4.10заданныхточек(фокусов)естьдлядвухвеличинапостоянная (равная 2  a , F1M  F2 M  2  a). В одномиз73фокусовпритягивающийэллипсацентр,оказывается “пустым”.точкеаF1находитсявторой фокус F2Уравнение эллипса с центром в начале координат в канонической форме:x2 y 21a 2 b2Основные параметры:r  r(4.55)2Подставим радиусы перицентра и апоцентра в (4.55), тогда:Большая полуось:a1  pp  1 p  1  e   p  1  e  1 2  ppa  2  1 e 1 e  21  e22 1  e2 1  e2Следовательно фокальный параметр:p  a 1  e2 (4.56)Найдем теперь: c  OF1  O  F1  a  r  a  pИли с учетом (4.56): c  a a  1  e2 1 e1 e a  a  1  e   a  eОтсюда эксцентриситет определяется как: e c e  1 , так как c<a.aТак как: F1M  F2 M  2  a поэтому: BF1  BF2  2  a , но так как: BF1  BF2, то BF1  ab  a 2  c 2  a  1  e2  a  p 74p1  e2Используя радиусы перицентра и апоцентра: 1  e  prОтсюда: p  r  1  e   ra  1  e 1 e pra(4.57)Если вычесть из первого уравнения второе (4.57), то получим:2e 2e p pr rap   r  r  2  r  r   r  r r  rr  r   r  r r  rr  reС учетом соотношений (4.57) преобразуем соотношения для скорости КА вперицентре и апоцентре:V V 75pp 1  e   p 1  e   p2r2rr2r2  r2  r Vкр  r  r  rr  r2  r2  r Vкр  r  r  rr  rУстановим связь между большой полуосью a и постоянной интеграла энергии h.

Сэтой целью запишем интеграл энергии для КА, находящегося в перицентре орбиты:V2 Здесь: V2 2 hr2    rи r  a  c  a  a  e  a  1  e  , поэтому:r   r  r 2    r2   2    r  r  r 2 hr   r  r  rr  rar  r  rТогда интеграл энергии принимает вид:V2 V2 2 hra2  2 1    rar aОпределим скорость КА в точке В: r  a  V 2         Vкр2  a a a a2761Чтобы вычислить интеграл (4.54): t  t новой переменной Е.p320d1  e  cos  2, необходимо перейти кПолучим уравнение эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию Е.Из рис.

4.10 видно, что координата точки М по оси Ох: x  a  cos EПодставим х в каноническое уравнение эллипса:x2 y 2a 2  cos 2 E y 21  2 1a 2 b2a2b2222 y  b  1  cos E   b  sin 2 EТо есть: y  b  sin E – координата точки М по оси Оу.Из NMF1 выразим: r 2  y 2   c  x  , где c  a  e2r 2  b2  sin 2 E   a  e  a  cos E   b2  sin 2 E  a 2  e2  2  a 2  e  cos E  a 2  cos2 E2Поскольку: b2  a2  c2  a2  a2  e2  a2  1  e2  , то:r 2  a 2  1  e2   sin 2 E  a 2  e2  2  a 2  e  cos E  a 2  cos 2 E  a 2   sin 2 E  cos 2 E   e2  1  sin 2 E   2  e  cos E  77 a 2  1  2  e  cos E  e 2  cos 2 E   a 2  1  e  cos E  r  a 1  e  cos E 2Используя это соотношение, можно получить выражения:p a  1  e  1 e2  p  a  1  e p  E    r  a  1  e  1 e  E  0  r Если r=p, то: a  1  e  cos E p   a  1  e2   cos E p  eУстановим связь между эксцентрической и истинной аномалиями.

Из рис. 4.10видно, что: ON  NF1  OF1  c  a  e , где: ON  a  cos E , NF1  r  cos  . Поэтому:a  e  a  cos E  r  cosИ после подстановки: r p  cos p a   cos E  e . Получим:1  e  cos 1  e  cos Отсюда:p cos    cos E  e   1  e  cos     cos E  e   e   cos E  e   cos  a  cos E  e    e  cos E  e2   cos 78Преобразовывая далее:Поскольку: p  a  1  e2 pcos     e2  e  cos E   cos E  eacos E  ecos  p 2 e  e  cos Eap 1  e2 . Поэтому:acos  cos E  e1  e2  e2  e  cos Ecos E  e1  e  cos E(4.58)Далее найдем: sin   1  cos2 M N  a  sin EMN  r  sin На основании свойств эллипса и формулы: b  a  1  e2  b  1  e2 , запишем:aMNb  1  e2M N a79или2r  sin  b  1  e2 .

Откуда: r  sin   a  1  e  sin Ea  sin E aПодставим r из уравнения орбиты, а cos  заменим соотношением (4.58), тогда:sin  aa 1  e 2  sin E   1  e 2  1  e  cos    sin E rp e   cos E  e  a 1  e 2  1   sin E p1  e  cos E 1  e 2 1  e  cos E  e  cos E  e 2   sin E 1  e  cos E1  e2  1  e 2  sin E1  e  cos EТеперь вычислим:sin 1  e2  sin E1  e  cos E tg   1  e  cos E 1  e  cos E  cos E  e 2  1  cos 1  e 2  sin E1  e   1  cos E В результате:801 e Etg    tg  1 e221  e   1  e E tg  1     1  e   2 (4.60)(4.59)Произведем теперь замену переменной  на Е в интеграле (4.54).Предварительно, дифференцируя соотношение:cos   d  1  e 2 1 e 2 1  e2 1  e2  sin Esin  1  e  cos Ecos E  1  e  cos E   e  sin 2 E1  e  cos E cos E  e  cos 2 E  e  sin 2 E1  e  cos E cos E  e1  e  cos E 222найдем: dE  dE  dEИ, используя (4.58), запишем:cos E  ecos E  e d  1  e2 1  e  cos E1  e  cos E 1  e2d dE1  e  cos E2dE(4.61)С учетом соотношений (4.58) и (4.61) выражение: t  t 81p320d1  e  cos  2Примет следующий вид:t  t t  t Интегрируя, получим:Учитывая, что:t  t p31  e2E0p1  e  cos E 31  e 2 2 dEE2  1  e1  e cos E  2232  1  e  cos E   dE03 p  2   E  e  sin E   1  e2 1p a , окончательно запишем:1  e2t  t a32  E  e  sin E (4.62)Введем теперь понятие средней аномалии:Ma3  t  t Тогда соотношение (4.62) можно преобразовать в уравнение Кеплера:E  e  sin E  M82(4.63)M12  0.500Рис.

4.11832EВ выражении для средней аномалии величинуназываютaдвижением.3nсреднимЕсли требуется вычислить время движения КА между двумя точками эллиптическойорбиты, истинные аномалии которых и известны 1 и2 , то сначала по формуле:1 eE tg    tg   , определим эксцентрические аномалии1 e22E1 иE2 , а затем,используя уравнение (4.62), вычислим время движения:t2  t1 a3  E  E     sin E2  sin E1    2 1Если КА совершает полный оборот по орбите  E2  E1  2    , то полученная формулабудет определять период обращения:T  2  3-й закон Кеплера:a32 n(4.64)квадраты периодов обращения двух КА (с пренебрежимомалыми массами) вокруг одного и того же притягивающегоцентра относятся как кубы больших полуосей их орбит.84T12 a13T22 a23(4.65)4.5.2 Гиперболическая орбитаyMr2r1pDBпрLQNРис 4.1285xaF11OполнbcF2Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которыхразность расстояний до двух заданных точек (фокусов: F1  c,0 , F2  c,0  ) есть величинапостоянная.Пусть КА находится в перицентре орбиты Тогда разность расстоянийспутника до фокусов F1  c, 0  и F2  c, 0  есть: F2   F1   F2   F2    2  aТочки для которых: r1  r2  2  a r1  MF1 r2  MF2 , принадлежат левой ветви гиперболы,а точки для которых: r2  r1  2  a принадлежат правой ветви гиперболы.Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совпадают с осями гиперболы)имеет вид:86x2 y 21a 2 b2Значение истинной аномалии, при котором  r   , а знаменатель в уравнении орбитыrpобращается в нуль, называется предельным пр  .

Характеристики

Список файлов реферата