Курс лекций, страница 3

Гелиоцентрические прямоугольные системыкоординатЭклиптическая система координат OXYZZ1. Начало в центре масс Солнца.ЭклиптикаПлоскостьэкватораЗемли2. ОсьOXнаправленавесеннегоYСолнцевточкуравноденствия(астрономическийсимволсозвездия Овен).3. OZ - по нормали к плоскостиэклиптики, в сторону Северногополюса Солнца.4.

Ось OYдополняет систему доправой.Рис. 3.129X5. Угол   2327 .Экваториальная система координатz1. Начало в центре масс Солнца.ПлоскостьэкватораЗемли2. Ось OX направлена в точкувесеннего равноденствия3. Ось OZ - по нормали к плоскостиСолнцеyOСеверного полюса4. Oсь OY дополняет систему доправой.xРис. 3.230земного экватора, в сторону3.1.2. Геоцентрические системы координатЭклиптическая система координат OЭклиптикаПлоскостьэкватораЗемлиЗемля31Рис.

3.31. Начало в центре масс Земли.2. Ось OX направлена в точкувесеннего равноденствия3. Ось OZ направлена по нормали кплоскости эклиптики инаправлена в сторону Северногополюса Земли4. Ось OY дополняет систему доправой. УголЭкваториальная (абсолютная, звездная, невращающаяся) система координат(ЭСК2)ZПлоскостьэкватораЗемлиzrYyxXO1. Начало в центре масс Земли О.2. Ось OX направлена в точкувесеннего равноденствия γ3.

Ось OZ совпадает с осьювращения Земли и направлена наСеверный полюс Земли Р4. Ось OY дополняет систему доправой.Положение КА в геоцентрическойэкваториальной системе координат, кромепрямоугольных декартовых проекций x,y,z(этиРис. 3.4проекциирадиуса-вектораявляютсякомпонентамиr   x, y, z ),можетхарактеризоваться сферическими координатами r ,  ,  . Угол  междурадиусом-вектором КАсклонением32r     .2 2и экваториальной плоскостью называетсяУгол  между осью OX и проекцией радиуса-вектора наназываетсяплоскостьпрямымэкватораOXYвосхождением       Гринвичская система координат1.

Начало в центре масс Земли О.zГ2. Ось OX направлена в точку пересеченияПлоскостьэкватораЗемлигринвичского нулевого меридиана сAэкваторомr3. Ось OZ совпадает с осью вращенияЗемли и направлена на Северный полюсyГЗемлиOX4. Ось OY дополняет систему до правой.Геоцентрическая широта – угол междуxГрадиусом-вектором КА и плоскостью экватора.Рис. 3.5    2 2Отметим, что геоцентрическая широтаи склонение равны между собой     .Долгота – двугранный угол междумеридиональной плоскостью, в которой находитсяКА33иплоскостью       .гринвичскогомеридиана3.1.2. Орбитальная системы координат1.

Начало орбитальной системыкоординат в ц.м. КА (точка О).2. Ось Or направлена по радиусувектору КА и называетсярадиалью.3. Ось On перпендикулярна ,принадлежитплоскоститраектории КА и направлена всторону его движения иназывается трансверсалью.4. Ось Ob дополняет систему допрямоугольной правой. ОнаназываетсянормальюиРис. 3.6коллинеарнавекторукинетического момента движения КА  (вектор интеграла площадей).Плоскость Onb называется плоскостью местного горизонта.)343.1.3.

Связанная системы координатY1PX101xOц. м.Z1Рис. 3.7351. Начало орбитальной системыкоординат в ц.м. КА (точка О).2. Ось ОХ1 (продольная ось)направлена от хвостовой кносовой части КА.3. Ось ОY1 (нормальная ось)перпендикулярна оси ОХ1,находитсявплоскостисимметрии(продольнойплоскости) КА и направленавверх.4. Ось ОZ1 (поперечная ось)дополняет систему до правой.4. Задача двух телПостановка задачи:Существует только два взаимно притягивающих небесных тела M и m,причем первое из них часто имеет большую массу (M >> m) и является шаром сосферическим распределением плотности.

Малое тело m можно рассматривать вкачестве материальной точки.Материальную точку с большей массой (М) обычно называютпритягивающим центром. Если речь идет о теле М, то его называютцентральным телом.Меньшее тело (или материальную точку) m часто для краткостиназывают спутником или КА.364. 1. Уравнения движения4.1.1.

Абсолютное и относительное движение.Сила притяжения: F   f zM2Ньютона уравнения абсоютного движенияматериальных точек с массами М и m:r0r Fm1yxРис. 4.1M m 0rr2d 2 1M mm 2   f  2 r 0dtrd 2 1M 0frdt 2r2Или:d 2 2M mM  2  f  2 r 0dtrd 2 2m 0frdt 2r2(4.1)1  2  r (4.2)Вычтем из первого уравнения (4.1)d 2 1 d 2 2MmM mвторое: 2  2   f  2  r 0  f  2  r 0   f  2  r 0dtdtrrrУчтем:Получим:d 2 1 d 2 2 d 2 r 2  2dt 2dtdtd 2rM m 0f r илиdt 2r2d 2r*  2 r 02dtrГде: *  f  M  m 37(4.3)Уравнение (4.3) в координатной форме:38d 2x*x dt 23r 2*d y 2  3 yr dtd 2z*z 23dtr(4.4)4.1.2.

Движение непритягивающего КА.Если m<<M, а начало ИСК совмещено с ц.м. тела М:d 2rM mm 2   f  2 r 0dtrИлиd 2rM 0frrdt 2r2r339(4.5)4. 2. Интегралы уравненийдвиженияДвижение КА относительно притягивающего центра описываетсясистемой дифференциальных уравнений 6-го порядка (4.4). Общий интеграл этойсистемы есть совокупность 6-ти независимых между собой первых интегралов.404.2.1. Интеграл энергии.Умножим скалярно векторное уравнение движения (4.5) на 2  r :2 Получим: 2  r  r   3  r  rrНо r 2  V 2  V 2 иилиd r 2 dt2 d r r3dtr 2  r 2 ; поэтому можно записать:d V 2 dt2 d r r3dtd V 2 А затем:dt2   drd 1  2    2rdtdt  r d  2  dt  r d  2 2  V 0dt r Отсюда следует интеграл энергии: V 2 2 hr(4.6)Где h – постоянная интеграла энергии, которая может быть найдена поначальным условиям: h  V02 2r0m m V 2   m h  mУмножим обе части выражения (4.6) на:2r22Получим: E  Eк  Еп 41hm const2Из анализа выражения интеграла энергии (4.6) следует что:1.

Расстояние КА от притягивающего центра ограничено, если h<0, и можетувеличиваться неограниченно, если h≥0 Действительно, предположим, чтоКА может неограниченно удаляться от притягивающего центра, то естьr  , V  V . Тогда из интеграла энергии получим в пределе: V2  h (4.7)Это условие имеет смысл только при h>0, так как слева стоит квадратскорости на бесконечности. В рассматриваемом случае условием (4.7)определяется физический смысл постоянной интеграла энергии. Если жеh<0, то исходное предположение о возможности неограниченного удаленияКА от притягивающего центра оказывается неверным.1.

При удалении КА от притягивающего центра его скорость уменьшается, а вслучае приближения увеличивается. В этом проявляется гравитационноедействие притягивающего центра.424.2.2. Интеграл площадей.Предположим, что векторы r и V неколлинеарны (не параллельны), тоесть r V  0. Умножим уравнение движения (4.5) слева и справа векторно на r .rТогда: r  r   3  r  r(4.8)Вычислим далее: dt  r  r   r  r  r  r  r  rd0С учетом этого соотношения можно представить (4.8) в виде:dr  r   0dtилиd r V   0dtОтсюда находим векторный интеграл площадей: r V   (4.9)Выражение (4.9) справедливо для каждого момента времени, что можно записатьв явном виде: r  t  V  t   Если r0 V0 , то   0 и выражение (4.9) принимает вид: r V  0Входящие в (4.9) вектора можно выразить:r   x, y, z V  Vx ,Vy ,Vz    x, y, z Тогда:43   x ,  y ,  z V  xi  y j  zk   x  i   y  j   z  k r  xi  y j  zk(4.10)ijkr V  xyz   y  z  z  y i  z  x  x  z j  x  y  y  xkxyzИз (4.10) и (4.11) следует:yz  z y x zx  xz y x y  yx z (4.11)(4.12)Из анализа интеграла площадей следует (при   0), что движение КА вцентральном гравитационном поле тяготения происходит всегда в одной и той жеплоскости, то еть плоскость орбиты аппарата в пространстве неподвижна иназывается неизменяемой плоскостью Лапласа.Уравнение плоскости орбиты можно получить, если умножить левую иправую часть уравнения (4.9) скалярно наr .

Тогда:r  r V  r V   r  r   0  r   0(4.13)КруговаяперестановкавектаровУмножим уравнения (4.12) соответственно на x, y, z и сложим.Тогда получим:  x  x   y  y   z  z  044(4.14)Вектор  можно также определить,задав его величину  и три угла  ,  , ZПлоскостьорбитыcos2   cos2   cos2   1VОбычно рассматривают угол irOYiПлоскостьэкватораВосходящийузелXРис.

4.2между плоскостью Лапласа и основнойкоординатной плоскостью (например,плоскость экватора) и угол Ω – долготувосходящего узла, отсчитываемую отусловногонулевого(например,наточкунаправлениявесеннегоравноденствия) до линии пересечения плоскости движения КА с плоскостьюэкватора (Рис.