Курс лекций, страница 8
Описание файла
PDF-файл из архива "Курс лекций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика полета космических летательных аппаратов" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
2 Теорема Ламберта5.2.1 Теорема Ламберта для эллиптических орбитКоординаты вектора r можно выразить через Е:jyr1OEFcx a cos E e т.к. x a cos E c, c ae y b sin E a 1 e 2 sin EТо есть: r a cos E e i a 1 e2 sin E j129xiQr2PFr12Тогда: c2 r2 r1 r22 r12 2 r1 r2С учетом:r1 a 1 cos E1 ; r2 a 1 e cos E2 ;r1 r2 x2 x1 y2 y1 a 2 cos E1 e cos E2 e a 2 1 e 2 sin E2 sin E1 2 a cos E2 cos E1 sin E2 sin E1 e cos E2 cos E1 e 1 sin E2 sin E1 cos E2 E1 2То:c 2 a 2 1 2 e cos E2 e2 cos2 E2 1 2 e cos E1 e2 cos2 E1 2 a 2 cos E2 E1 e cos E2 cos E1 e 2 1 sin E2 sin E1 Приводя подобные получим:130E E1 22c 2 a 2 4 sin 2 2 e sin E2 sin E1 2 E2 E1 E2 E1 sin 2 2 С учетом: sin E2 sin E1 2 cos E E1 22 E2 E1 c 2 4 a 2 sin 2 2 1 e cos 2 2 Тогда:(1)В то же время: r2 r1 a 1 e cos E2 1 e cos E1 a 2 e cos E2 cos E1 E E1 E2 E1 cos E2 cos E1 2 cos 2cos 2 2 Тогда: r2 r1 2 a 1 e cos E2 E1 cos E2 E1 Из уравнения Кеплера:или2a32(2) t2 t1 E2 E1 e sin E2 sin E1 E E1 E E1 E2 E1 2 2 e cos 2 sin a 2 2 23(3)Рассматривая уравнения (1), (2), (3) как систему, можно исключить значения е, E2 E1иE2 E122, и тогда время перелета между точками P и Q зависит только от а, с исуммы r2 r1131(Теорема Ламберта)F*F *1Q2Q3F*cr1FF scFPsF*c2ar2132rP 2 r1 FQF PF r1 r2QF PF cВычтем и сложим.
Тогда:2 PF r1 r2 c 2 S c 2 QF r1 r2 c 2 S PF S cQF SИз интеграла энергии мы знаем:dr2 1 dtr a 2 1 dr V r a dt 22Мы можем интегрировать это выражение в форме:коор . т . Q t2 t1 SS cкоор . т . PЗаменим переменную:r drr22r ar a 1 cos dr a sin dr22 r 2 a 2 a cos a 2 a cos a cos 2 a sin 2 a133r22 r a sinaТогда выражение принимает вид:3 22 t2 t1 c 1 cos d1Так как:(*) a 1 cos 1 r1 S c 2 a sin 2 1 S c 2a 1 cos 2 r2 SПричем: 2 a sin 2 1 S 2 sin 1 2 S c2aS sin 2 2a 2 Обозначим: S c sin ,2a2S sin 2a2(С) и аналогично: 1 , 2 (по Лагранжу)Тогда, интегрируя (*) получаем:32 t2 t1 a sin sin SS C где, sin , sin 22a 21342a(а)Теперь рассмотрим случай, когда орбита охватывает “пустой” фокус F, тогда к нашемуинтегралу (*) следует добавить член:2 1 cos d 2 sin F То есть для данного случая формула Ламберта имеет вид:32 t2 t1 a 2 sin sin QPF 135(b)Обе эти траектории сконструированы для угла перелета 180F*QQr2F*Fr2r1Pr1Fa136bPЕсли же угол перелета 180 , то уравнения принимают вид:Для случая, когда фокус F* не охвачен:Для случая, когда фокус F* охвачен:32 t2 t1 a sin sin 32 t2 t1 a 2 sin sin Тогда параметр для случая (а) и (d)p4 a S r1 S r2 2 sinc2 2 Тогда параметр для случая (а) и (d)p1374 a S r1 S r2 sin 2 2c 2 (с)(d)F*r1FPr2QF*r2r1FQc138dPГеометрический смысл углов и : в форме ЛамбертаsQF*PFscc2aRa 2 1F*139Qs aa s c PFS sin 2a2 S2 sin 2 2 aS1 cos aaScos a cos a SaАналогичноa cos a S c F *при движениипо F* из P в QF*QF*QQPPпри движениипо F из P в QPF140FFУравнение Ламберта не имеет аналитического решения (если заданно времяполета t2 t1 , установить большую полуось орбиты аналитическим путем не удастся).В этом случае могут использоваться приближенные методы.
Таким образом, вчастности, удается установить зависимость t2 t1 f a . Она качественная и имеетследующий вид: t2 t1 эллипическиеорбитыпараболическиеорбитыгиперболическиеорбитыam141aЕсли иметь в виду класс эллиптических траекторий, то конкретная формакривой зависит от угла . В частности, если иметь в виду перигей на Марсе, то дляразличных зависимости имеют вид:t2 t1 год 3N 1 515 475 43521t1N 011421.1a11.21.3 155 115 751.4 а а.е.Отметим также существование для заданных r1 r2 , , c эллипса минимальной энергии.В этом случае второй фокус лежит на хорде с и следовательно: 2 am SPF Fm * P 2 am Fm * P 2 am r1QF Fm * Q 2 am Fm * Q 2 am r2Fm * P Fm * Q 4 am r1 r2 c 2 am r1 r2 c 2 am S2Фокальный параметр: pm 2 r1 r2 sin 2 2И следовательно tm : f r1 r2 , c , причем в этом случае все уравнения (a, b) и (c, d)дают одинаковый результат, так как32m sin m 1 2 tm a m sin m S c sin m m S 2 sin m 0– формула Ламберта.Для числа полных оборотов КА вокруг Солнца N 1 в квадратных скобкахуравнения Ламберта добавляется слагаемое 2 N .
Например для N 1 и случая (b):14332 t2 t1 a 4 sin sin 5.2.2 Теорема Ламберта для гиперболических орбитАналитическое выражение для времени движения по гиперболической орбитеполучается аналогичным методом.1r drSr22r aS cВспомогательная подстановка: r a ch 1S c2aНа нижнем пределе: 1 , где sh 2 На верхнем пределе: 2 , где sh 2a2S )Результат интегрирования дает (для случаяЕсли свободный фокус F * , то144a3 sh sh 2S c0r dr2r r2aТогдаa3 sh sh 5.2.2 Теорема Ламберта для параболических орбитПараболические орбиты можно рассматривать как предельный случайэллиптическихилигиперболическихпристремлениибольшойполуосибесконечности.
Непосредственный предельный переход от общего соотношения:S1S cS1S cr dr(эллипс)r22r ar dr(гипербола)r22r aПри a дает один и тот же результат:И, наконец:1451SS c13r dr112 r 2 dr r22r2 S c2 331 2 321 S S c 2 3 31 2 321 S S c 2 3 Sдля для SS cк5.2.3 Сводная таблица формул Ламберта QF*pa3 2 N sin sin 4a2 SrSrsin21c2 2 Где:r2SS c sin , sin 2a2a221S r1 r2 c , c= r12 r22 2 r1 r2 cos 2 0Fr1 m146PF*Qpr2F m147r1Pa3 2 N 1 sin sin 4a2 SrSrsin21c2 2 QPr2r1F13 p1482 3 S S c2 S r2 S r1 c23SS c 2F*Qr2Fr1P 0pa3 sh sh 4 ac2 S r2 S r1 sh 2 2 Где: sh S , sh S c2 a2 a22149 Qr2F*Fr1 mPp150a3 2 N sin sin 4a S r2 S r1 sin 2 2c 2 mF*Fr2r1QPp151a3 2 N 1 sin sin 4a S r2 S r1 sin 2 2c 2 PFr1r2Q13 2 3 S S c2p 2 S r2 S r1 c1523SS c 2F*Fr1Pr2Qp153a3 sh sh 4 ac2 S r2 S r1 sh 2 2 SS c sh , sh 2 a2 a226 Определение орбиты6.1 Астрономические элементыорбитыziyx154iлиния узлов6.2 Определение положения КАпо известным элементам орбиты.Для начала рассмотрим переход от ЭСК2 к СК связанной с орбитой:z , z1z2xiy2y1iyx1 , x2 cos sin 0 A1 sin cos 0 001 1.
