Изучение математических дисциплин в компьютерной среде, страница 9

f(x) = 2х\ + Ах х х \ - \Ъх х х 2 + х\ —> min, x° == (-1.2 , -1.2 ) т . Будет ли успешным градиентный спуск при решении задачи? Найдите решение задачи из заданной начальной точки.Задача 11. fix)=3x\+2x2+x i -x \x2-2x \Хз+х$. Найдитенаправление d 2 , Л-сопряженное направлению Й 1 = ( 1 , 1 , 1 ) т в точке*U(0,0,0)TЗадача 12. f(x) = 4xf + Ъх2-Ах \Х2+х \ —> min. Являются линаправления d° = (-l,0)THrf1 = (- 0.25,0) * Я-сопряженными в точкех° = ( 0,0) т ?Задание 2.Пользуясь лабораторным практикумом КК, проведите следующиеисследования.1.

Используя градиентные методы 1-го порядка, решите задачу:= А х \ Вх\minВарианты заданий параметров функций/(л:), параметров методовточности £ , точности по дихотомии £ i, шага t о, а также JC ° приведеныв табл. 4.3.2. Оцените зависимость:—• числа итераций N, необходимого для достижения точности, отстепени овражности функции / (х);— числа итераций N от выбора начальной точки;—скорости сходимости градиентных методов 1-го порядка от выбора величин *о и tк, к=1,2,...

. Дайте рекомендации по выбору t^50Таблица 4.3Номервариантаеfix)'оАВс11110.10.0010.5(2,3)'211010.10.0010.5(2,3)'3110010.10.0010.5(2,3)'41110.10.0010.5(0,3)'51110.1 "0.0010.5(2,0)'611010.10.0010.1(2,3)'7110010.10.0010.1(2,3)'81110.050.0011(2,3)'911010.050.0011(2,3)'3. Используя градиентные методы 1-го порядка, решите задачуf(x) = А(х2-х\)2 + В ( 1 - х{)2— > minи оцените зависимость скорости сходимости методов от значений А иЪ.

Дайте рекомендации по выбору шага tk, к = 0,1,... из условия достижения максимальной скорости сходимости в методах градиентногои наискорейшего спуска. Варианты заданий приведены в табл. 4.4.Таблица 4.4Номервариантаеfix)'ох°ел)Сххх2 —из условия достижения максимальной скорости сходимости в методахградиентного и наискорейшего спуска.АВ1110.10.0010.5(2,3.)'21010.10.0010.5(2,3)т310010.10.0010.5(2,3)'41100.10.0010.5(0,3)'511000.10.0010.5(2,0)т51Задание 3.1.

Назовите градиентные методы 2-го порядка и проверьте правильность ответа по структурной модели КК.2. Проверьте знание алгоритмов градиентных методов 2-го порядка и умение использовать для решения упражнений и задач.3. Запишите способы выбора величины шага t k в методах:— Ньютона;— Ньютона—Рафсона;— Марквардта;— Дэви дона—Флетчера—Пауэла (Д—Ф—П).4. Охарактеризуйте последовательность матриц {Ак} в методеД—Ф—П.5. Докажите, что в алгоритме Д—Ф—П в-точках последовател]ности {х } функция/(дс) убывает с ростом к.

*6. Вычислите Ит.Ак в методе Д—Ф—П.к—>°<>7. При каких условиях метод Марквардта становится методом градиентного спуска?8. В точке х матрица Н(х к) вырождена. Как вычислить точкук +1х•, применяя метод Ньютона?9. Объясните эффективность использования метода Ньютона валгоритме градиентного метода 2-го порядка.10. Каким образом используются свойства квадратичной функциипри формировании алгоритма Д—Ф—П?11. Можно ли, используя метод Ньютона, найти максимум функции?12. При каких ограничениях на постановку задачи последовательность {* }, к = 0,1,..., построенная по методу Ньютона, сойдется кточке минимума функции с квадратичной скоростью?13. Может ли пределом последовательности {хк }, Jt-»°°, оказаться седловая точка функции, если эта последовательность построена по методу Ньютона?14.

Одинакова ли эффективность градиентных методов 2-го порядка при минимизации овражных функций?15. Обязательна ли проверка достаточных условий экстремумафункции в точке х * , полученной градиентными методами 2-го порядка?16. Используя градиентные методы 2-го порядка, решите следующие задачи и проверьте правильность их решения по табл. 4.5.52Таблица 4.5НомерОТВЕТзадачи12х 1 = (-0.125,0 ) т,Г 0325~ [ 0.40.4 1Л0.8 J3t\ = 5/ 16, х 2 = ( - 3/ 1 6,- 1 / 8 ) т4..2\5х * — седловая точка/ (х)6+ l/2*(d°,#(jt o )rf°) ,„-1, *ч.2Г 3/161/8 1/41/8 1H(x°) = [^V/(xo)=(-6,2)T7Линии уровня 4>ункции/ (d °) — гиперболы8х * = (0.5 , - 0.8 )т — точка минимума9х * — седловая точка10При любых значениях а, b , о 0, точка х * — седло11Точках ' будет иметь одинаковые координаты12Метод НьютонаЗадача 1.

/(x) = 4jcf + Ъх\-4х\Х 2 +х \ —> min, JC ° = ( O , O ) T .Методом Д-Ф-П найдите точку х ,Задача 2. Для задачи 1 определите матрицу А * в методе Д-Ф-П.Задача 3. В задаче 1 определите шаг t \ и постройте точку х .Задача 4. f(x) = 4x \ + Ъх\-Ах х х 2 +хх—> min, x° = ( 0 , 0 ) T .Задача решается методом Д-Ф-П. Можно ли утверждать, что матрицаА 2 = Н~1 (% * ) ? Найдите матрицу А2.Задача 5.f(x) = ( 1/2) *х т Qx + (Ъ ,х) —> extr.

Матрица Q знаконеопределена. Что можно сказать о точке х *, найденной методомНьютона?53Задача 6. f(x) = 2x\3 + 4xlx2-10xlx2+x2 .Аппроксимируйте /(х) квадратичной формой f ( d ) в точке д с = ( О , 1 ) т .Задача 7. В задаче 6 определить тип линии уровня/(*/0) = (?.Задача 8. f(x)=x\+х\-ххх2-2хх + 3х2-4->extr, х° = ( 0 , 0 ) т .Используя градиентный метод 2-го порядка, определите точку х * иклассифицируйте эту точку.Задача 9.f(x)=x2 + 2*2-3x3-6* ix2 + 8x ix3-4x2x3->extr.Задача решается методом Ньютона. Определите тип точки х *.Задача 10.

При каких условиях на коэффициенты а , Ь ,с задачаf(x) = 2ax хх 2+2Ьх2 х3 +2сх х х 3 -» extr, может быть решена методомНьютона? Определите тип точки х *.Задача 11. Решается задача/(*) = —> min методами наискорейшего спуска и Д-Ф-П. Будут ли одинаковы координаты точки х 1, если спуск осуществляется из одной и той же начальной точки?Задача 12.f(x)—>min, функция f(x) — сильно выпуклая.

Задача решается методами Д-Ф-П и Ньютона. Какой из методов сойдется к точке минимума функции с квадратичной скоростью из любойначальной точки.17. Повторите теоремы сходимости градиентных методов 2-го порядка, обратив внимание на условия сходимости и оценки скоростисходимости.18. Укажите общие черты и отличия метода Ньютона и квазиньютоновских методов.Задание 4.Пользуясь лабораторным практикумом КК проделайте следующееисследование:f(x) = Ах 2 + Вх\ + Сх х х 2 —> min .1.

Решите задачу, используя методы Ньютона и Д-Ф-П. Вариантызаданий приведены в табл. 4.6.2. Оцените зависимость скорости сходимости методов от параметров функции.3. Укажите случаи, когда метод Ньютона позволяет решить задачу, а метод Д-Ф-П не дает решения. Объясните причину.4. Сформулируйте рекомендации в методе Д-Ф-П по выбору шага из условия максимальной скорости сходимости.5. Используя методы Ньютона, Марквардта и Д-Ф-П, решите задачуf{x) = А(х 2 -х 2 ) 2В ( \ - х х ) 2 — > min54Варианты заданий приведены в таблице 4.7.Таблица 4.6Номерварианта/(*)ех°АВс11110.10.001(4,10)"211010.10.001(4,10)"311100.10.001(4,10)"41100100.10.001(4,10)"Таблица 4.7Номервариантаеfix)х°АВ1110.10.001(2,3)"21010.10.001(2,3)"310010.10.001(2,3)"41100.10.001(0,3)"6.

Оцените зависимость скорости сходимости метода Марквардтаот выбора числа |Х. Оцените зависимость скорости сходимости методаД-Ф-П от задания левой границы интервала для поиска величиныtк. Оцените характер точки х * . Какой из трех методов является наиболее эффективным в каждом из вариантов задания и почему?Задание 5.1. Перечислите методы решения задачи f(x)—>min, x = (х i , x 2 , .. .

) т , не требующие вычисления производных.2. Проверьте знание алгоритмов этих методов и умения применятьих к решению упражнений и задач, используя КК.3. Проведите сравнительных анализ эффективности алгоритмовметодов, не требующих вычисления производных.4. Проведите анализ сходимости алгоритмов методов, не требующих вычисления производных, и их надежности.5. Объясните, почему направления поиска, которые используютсяв алгоритме Хука—Дживса, должны быть независимы? Сколько направлений следует использовать?556.

При решении задачи/ (х) —>min пять шагов, предшествующихокончанию счета, были проведены с использованием операции редукции. Можно ли считать, что найдена точка минимума/(л:) и почему?7. Известно, что линии уровня функции/(*) = const имеют острыеуглы. Можно ли гарантировать поиск точки минимума функции методом Хука—Дживса из любой начальной точки?8.

Запишите алгоритм случайного поиска с покоординатным обучением и объясните, каким образом осуществляется «обучение» в алгоритме.9. Является ли алгоритм случайного поиска с постоянным радиусом реализаций алгоритма наилучшей пробы?10. Решите следующие задачи и проверьте правильность их выполнения по табл. 4.8.Таблица 4.8НомерзадачиОТВЕТ1х 1 - (15 , 0.5)т2тх = (05 , -0.5 ) , поиск по образцу удачен3x l ( 2 ) = x \ ( l ) , х2(2) = ( 4 , 8 ) т , х3(2) = * 3 ( 1 )4** = ( 1 , 0 ) т , / ( х * ) = 2; х* = ( 0 , 1 ) т , / ( х * ) = 2^Задача Lf(x) = 3x2 + 5x2 l — > min, *° = (2,1 ) т , Ах = ( 0.5, 0.5)т. Методом Хука—Дживса постройте новый базис х 1.Задача 2.

Для задачи 1 из точки х проведите поиск по образцус шагом 11=2 и установите, насколько удачен этот поиск.Задача 3. = 4(x l -5) 2 + (x 2 -6) 2 —>min, х 1 (1 ) = (8, 9)х 2 (1) = (10,11) т, х 3 (1) = (8,11) т. Методом НэлдераМида, используя а = 1, у=2, построить систему точек х 1 (2),х 2 (2), х 3 (2).Задача 4.= (x2+x2>-l)2 + (xi+x2~l)2—>min, x° == ( 4 ~1/<э, 4 ~1/3 ) т. Будет ли удачным решение задачи методом Хука—Дживса и почему?Задание 6.Используя лабораторный практикум КК, проведите следующиеисследования.1.

Найдите минимум и максимумначиная решение из следующих начальных точек:х° = (0.25, 2.5)\*° = (2.5, 2.5) т ,тJC ° = (-0.25, -2.5) .Сравни*е результаты решения, полученные методами ХукаДживса, Нэлдера—Мида, случайного поиска.2. Задавая коэффициенты квадратичной функцииf(x) - Ах2 Вх\ + CxYx2изусловияСильвестра и изменяя овражностьфункции за счет увеличения коэффициента В при постоянных А и С,найти точку минимума функции методом Хука—Дживса и Нэлдера—Мида при £ = 0.1.3.f(x)=A(x2-xj)2 Задавая-> mma)A»B>0, Ъ) A«B>0,решить задачу методами случайного поиска, Хука—Дживса, Нэлдера—Мида при 6 = 0.1.