Изучение математических дисциплин в компьютерной среде, страница 7

Структура компьютерного курса «Задачи нелинейногопрограммирования при отсутствии ограничений»Глава 1. «Задачи нелинейного программирования при отсутствииограничений» является ключевой для овладения курсом «Теория оптимизации» в объеме учебной программы технического вуза. Местоэтой главы в общей структуре дисциплины представлено на рис. 4.1.3738Усвоение материала главы 1 включает знание трех разделов:1. Постановка задачи нелинейного программирования (НП) приотсутствии ограничений;2.

Аппарат необходимых и достаточных условий экстремума функции многих переменных (ФМП) при отсутствии ограничений;3. Численные методы решения задачи НП при отсутствии ограничений.КК «Задачи НП при отсутствии ограничений» содержит 7 тем дляизучения:Тема 1. «Задачи оптимизации и их классификация» (разд. 1);Тема 2. «Основные понятия и определения» (разд. 1);Тема 3. «Необходимые и достаточные условия минимума ФМПпри отсутствии ограничений» (разд. 2)Тема 4.

«Прямые методы минимизации ФМП при отсутствии ограничений (разд. 3);Тема 5. «Градиентные методы 1-го порядка» (разд. 3);Тема 6. «Градиентные методы 2-го порядка» (разд. 3);Тема 7. «Методы, не требующие вычисления производных»(разд. 3).Темы 2 и 4 являются вспомогательными, содержащийся в них материал позволяет понимать содержание тем 1, 3, 5, 6, 7.Знание материала любой из тем предполагает:1.

Владение информацией и способность установить место любогофрагмента информации в общем объеме материала курса;2. Понимание информации, заключающееся в способности обучаемого применить информацию к решению типовых упражнений и задач;3. Умение применять алгоритмы численных методов к построениюи реализации вычислительной процедуры решения задач безусловнойминимизации ФМП и анализировать полученный результат.Работа обучаемого по формированию знаний включает 3 этапа:1. Овладение информацией;2.

Выработка понимания;3. Выработка умения,каждый из которых поддерживается соответствующим модулем КК.Этап «Овладение информацией» поддерживается теоретико-справочным модулем (ТСМ), работая с которым студент может просмотреть и накопить информацию, осуществляя доступ к ней по введенному понятию, по алфавитному указателю, по структурной модели темы,которая одновременно дает возможность установить место данногофрагмента информации в общем объеме темы. Если изучаемый фрагмент информации содержит дополнительные понятия, то доступ к информации об этих понятиях осуществляется по «световому пятну».39Работа по накоплению информации заканчивается ответом на контрольные вопросы, когда студент должен вставить из числа заданныхтерминов недостающие в предлагаемые формулировки понятий, алгоритмов и теорем.

При наличии ошибок студент получает рекомендации по дальнейшей работе с ТСМ.Этап «Выработка понимания» поддерживается вопросно-разъяснительным модулем (ВРМ). Выработка понимания осуществляется сиспользованием следующих приемов:1. Постановка вопросов самоконтроля с целью установления текущего уровня понимания;2.

Разъяснение непонятных мест в курсе путем предоставленияинформации при ответе студента «нет» на вопрос самоконтроля;3. Постановка проверочных вопросов с целью выяснения, насколько глубоко студент овладел материалом после разъяснений и дополнительной проверки уровня его понимания;4. Постановка контрольных вопросов с целью окончательной проверки уровня понимания;5. Предоставление возможности самостоятельного решения типовых и контрольных упражнений, когда обучаемый должен с клавиатуры ПЭВМ ввести результат решения;6. Обучение решению упражнений с анализом ошибок и их причин. \На основании работы с ВРМ обучаемый получает рекомендации подальнейшей работе с материалом темы.Этап «Выработка умения» поддерживается работой с лабораторным практикумом, который позволяет:— научиться практической работе по использованию численныхметодов 1-го, 2-го и нулевого порядков для решения задач безусловной минимизации ФМП на примере двух функций:f l ( x , y ) = Ах 2 + By 2 + Сху + Dx + Еу + G —> тат ,f 2 (x,y) = А (у-х 2 ) 2 + В ( 1 - х )2—>min,х.,упараметры функций А, В, С, D, E, G считаются заданными;— провести сравнительный анализ эффективности методов в зависимости от структуры линий уровня функций с уравнениемf(x) = const ;— выработать рекомендации по выбору параметров численных методов в зависимости от числовых параметров функций;40— научиться выбирать численный метод для решения конкретнойзадачи.В процессе работы с лабораторным практикумом студент должен:1.

Решить задачи минимизации функций/} ( х , у ) и/2(х,у) с использованием следующих численных методов:— градиентного спуска;— наискорейшего спуска;— покоординатного спуска;— Гаусса—Зейде'ля;— сопряженных градиентов (Полака—Рибьера);— переменной метрики Дэви дона—Флетчера—Пауэлла (Д—Ф—П);— Ньютона;— Марквардта;— Хука—Дживса (метод конфигураций);— Нелдера—Мида;— случайного поиска с постоянным радиусом, задав параметрыфункций, начальную точку, точность вычислений.2. Установить скорость сходимости методов при выбранных параметрах функции и метода;3. Исследовать процедуру изменения параметров численного метода при изменении параметров функций,сохраняя постоянными начальную точку и точность вычислений.Лабораторный практикум выполняется в следующем порядке:1. Выбор группы методов для решения задачи;2.

Выбор метода в группе методов;3. Выбор минимизируемой функции;4. Ввод параметров функции;5. Ввод координат начальной точки;6. Ввод начальных значений параметров выбранного метода (например, величины шага £ Q );7. Пошаговое решение задачи с возможностью коррекции параметров метода.Числовая информация, связанная с вводом задания на лабораторную работу и его выполнением, сосредоточена в левой части экранадисплея; графическая информация, содержащая рисунок линий уровня и пошаговую траекторию спуска, — в правой части экрана дисплея.Наличие динамического рисунка, отражающего результаты принятиярешения по выбору численных .значений параметров метода, способствует активизации внимания студента и побуждает его к аргументированным действиям при назначении этих параметров на каждой итерации.Работа с КК должна сочетаться с работой студента с конспектомлекций и рекомендованной литературой.414.2.

Структура требуемых знаний по разделам курса «Задачинелинейного программирования при отсутствии ограничений»Работая над изучением курса с использованием конспекта лекций,рекомендуемой литературы и КК, обучаемый должен научиться:— По разделу «Постановка задачи НП при отсутствии ограничений»1. Формулировать постановку задачи;2.

Записывать математическую постановку задачи;3. Формулировать, объяснять содержание и иллюстрировать примерами следующие понятия:— глобальный минимум функции / (х) на множестве X;— локальный минимум функции /(х) на множестве X;—- множество допустимых решений X;— выпуклое множество;— выпуклая функция; .— допустимое решение;— оптимальное решение;— наименьшее значение функции/(JC) на множестве X;— нижняя грань функции/(х) на множестве X;— функция, ограниченная снизу;— приращение функции;— разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки х— градиент функции;— матрица Гессе;— собственные числа матрицы.— По разделу «Аппарат необходимых и достаточных условий экстремума ФМП»1.

Формулировать постановку задачи;2. Формулировать и доказывать теоремы о необходимых условиях1-го и 2-го порядка минимума ФМП;3. Формулировать и доказывать теорему о достаточных условияхминимума ФМП;4. Формулировать, объяснять содержание и иллюстрировать примерами понятия, входящие в формулировки теорем о необходимых идостаточных условиях минимума, например: градиент функции, матрица Гессе и др;5. Формулировать понятие стационарной точки ФМП, уметь определять координаты стационарных точек и классифицировать их, используя аппарат необходимых и достаточных условий экстремумаФМП;426.

Решать нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений с использованием численных методов, например метода Ньютона,метода простой итерации и др.;7. Проверять выполнение достаточных условий экстремума, используя критерий Сильвестра и собственные числа матрицы Я (х *);8. Формулировать и использовать понятия:— знакоопределенная положительная (отрицательная) матрица;— знаконеопределенная матрица;— положительно (отрицательно) полуопределенная матрица;— собственные числа матрицы;9. Анализировать минимизируемую функцию/(х) на выпуклость;, 10.

Понимать и объяснять назначение теорем о необходимых и достаточных условиях минимума ФМП.— По разделу «Численные методы решения задач НП при отсутствии ограничений»1. Записывать алгоритм построения прямых методов;2. Формулировать понятия:— возможное направление;— приемлемое направление;— направление спуска;— величина шага.3. Формулировать и записывать условия для выбора величины шага t/с в зависимости от алгоритма метода;4.