Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003), страница 7

Это один из самых известных и используемых во многих практических приложениях типов. Вейвлеты порядка N (dbN) отличны от нуля лишьна интервале длиной 2N–1 и имеют 2N отличных от нуля коэффициентов фильтров hl и gl . Исключая случай N = 1 (а это естьбазис Хаара, который не регулярен), функции ϕ(t ) и ψ(t ) непрерывны и дифференцируемы.Решение уравнения (2.11) для этих вейвлетов дает [5, 8]:для n = 2 (четырехточечный фильтр Добеши):h0 = (1 + 3) /(4 2) = 0.482963, h1 = (3 + 3) /(4 2) = 0.836516,h2 = (3 − 3) /(4 2) = 0.224144, h3 = (1 − 3) /(4 2) = – 0.129409,g0 = h3 ,g1 = −h2 ,g 2 = h1 ,49g3 = −h0 ;для n = 3 (шеститочечный фильтр):h0 = 0.332670,h1 = 0.806891,h2 = 0.459877,h3 = – 0.135011,h4 = – 0.085441,h5 = 0.035227.для n = 4 (восьмиточечный фильтр):h0 = 0.230377,h1 = 0.714847,h2 = 0.630881,h3 = – 0.027984,h4 = – 0.187035,h5 = 0.030841,h6 = 0.032883,h7 = – 0.010597.На рис.

2.12 приведены отцовский ϕ(t ) (сплошной линией) иматеринский ψ(t ) вейвлеты второго, третьего и четвертого порядков, которые задаются приведенными выше коэффициентами фильтров.2.01.51.00.50-0.5-1.0-1.50.2n=2012n=30.130.200-0.1-0.1426n=40.10246Рис. 2.12Очевидно, что вейвлеты высокого порядка ( n = 3 и n = 4)более гладкие по сравнению с db 2 ; все функции ϕn и ψ n несимметричны. Порядок вейвлета определяет число нулевых моментов. В п.1.3 отмечалось, что чем большее число нулевыхмоментов содержит вейвлет (т.е. чем выше его порядок), темболее тонкую структуру сигнала он позволяет анализировать.В вейвлет-преобразованиях, осуществляемых системойMathcad, используется вейвлет db 4 .2.6.

Частотный подход к ВПДо сих пор рассмотрение ВП базировалось на временномподходе. Однако также плодотворна трактовка ВП в частотнойобласти на базе частотной фильтрации. В этом случае КМА сигнала рассматривается как поэтапная процедура фильтрации.50& (ω) вейвлета ψ(t ) можно разбитьПри этом частотный образ ψна низкочастотную и высокочастотную составляющие с частотой раздела, равной ωд / 2 , т.е. представить реализацией двухфильтров.Обратимся к схеме рис. 2.13. Сигнал S подается на низкочастотный (нижняя часть схемы) и высокочастотный фильтрыдекомпозиции Lo _ D и Hi _ D .

В них вычисляется свертка(цифровая фильтрация) по формуле:y (k ) =2 n −1∑ S (l ) q ( k − l ) ,(2.21)l =0где 2n – число отсчетов импульсной характеристики q (⋅)фильтра.В соответствии с (2.21) и (2.7) на выходе фильтров будут ВЧи НЧ компоненты сигнала:D1 = y H (k ) , A1 = yL ( k ) .Секция анализа(декомпозиции)D%1cD1y H (k )S (k )Секция синтеза(реконструкции)↑2↓2Hi _ DS% (n )Hi _ RSH ( z)S ( z)Lo _ DyL ( k )c A1↓2↑2Lo _ RA%1SL ( z)Рис.

2.13Из сопоставления (2.21) и (2.16) следует, что для вычислениякоэффициентов amk и d mk (на первом этапе m = 1 ) аргументывесовых коэффициентов фильтров h(l ) = hl и g (l ) = gl должныбыть взяты с обратным знаком (порядком следования), т.е. h−lи g −l . Такие фильтры называются транспонированными.Так как фильтры пропускают только половину всех частотных компонентов сигнала, то не попавшие в полосу прозрачности составляющие могут быть удалены. Поэтому во вторых бло51ках схемы выполняется децимация ↓ 2 , т.е.

прореживание в двараза (из-за множителя 2 при аргументе k в формулах (2.16)):cD1 = d1k , cA1 = a1k .Правая часть схемы рис. 2.13 осуществляет вейвлетреконструкцию сигнала. Эта процедура использует операцииинтерполяции и фильтрации фильтрами реконструкции Lo _ R иHi _ R . Операция интерполяции ↑ 2 , обратная децимации ↓ 2 ,осуществляется путем увеличения в два раза числа составляющих добавлением нулевых компонентов вперемежку с имеющимися. При сложении сигналов ( A%1 и D%1 ), полученных на выходе фильтров Lo _ R и Hi _ R , будем иметь сигнал S% (k ) ,близкий к исходному S (k ) , т.е.

произойдет его реконструкцияна начальном уровне.Для последующей итерации ( m = 2) используются значенияa1k с предыдущей и т.д. до m = MMAX .Схема многошаговой итерационной процедуры анализа синтеза показана на рис. 2.14, где представлены диаграммы (а) иструктура (б) многошагового алгоритма декомпозиции и реконструкции сигнала, называемого алгоритмом Малла (Mallat).Здесь для наглядности сигнал представлен 512 отсчетами( N = 2n0 , n0 = 9 ).→ cDm →↑ 2 → Hi _ R →⎪⎧→ Hi _ D →↓ 2 → cDmS→⎨(+)m→ cAm →↑ 2 → Lo _ R →⎪⎩→ Lo _ D →↓ 2 → cAmаВейвлетСекция синтезаСекция анализакоэффициенты(реконструкции)(декомпозиции)512H′↓2D1L′CD1↓2A1H′↓2↑2H↑2L128cA1L′↑2H↑2LCD1256↓2128бРис.

2.1452⎫⎪⎬ → S%⎪⎭S% (kТаким образом, БВП во временной и частотной областях –это две стороны единой многошаговой структуры, позволяющейбыстро осуществить как декомпозицию, так и реконструкциюсигнала.Следовательно, при частотном подходе к дискретному ВПможно использовать прежние функции, например, (2.18)–(2.20),но вместо имени вейвлета (‘wname’) в качестве входного аргумента должны быть заданы соответствующие НЧ и ВЧ фильтрыразложения и восстановления: Lo _ D , Hi _ D , Lo _ R , Hi _ R .Основные функции дискретного ВП в пакете Wavelet Toolbox приведены в прил. 2.

Для просмотра коэффициентовфильтров (совместно с вейвлетом) достаточно исполнить команду «wavemenu» и в появившемся окне с описанием разделовВП нажать кнопку «Wavelet Display». Выводится следующее окно, в котором, выбрав имя, «wname», можно просмотреть коэффициенты фильтров декомпозиции ( Lo _ D – low-pass, Hi _ D –high-pass) и реконструкции ( Lo _ R , Hi _ R ). На рис. П.1 данпример для вейвлета db 4 . Количественные данные о вейвлетфильтрах можно получить в командном режиме с помощьюпростых команд, например load , wname, length (длина векторакоэффициентов), sum (сумма коэффициентов), norm (нормавектора коэффициентов) и др. Например, загружая командойload фильтр Добеши db 4 , получим:>> load db4>> db4db4 = 0.1629>> length (db4)ans = 8>>sum(db4)ans = 1.0000>>norm(db4)ans = 0.70710.5055 0.4461 – 0.0198 – 0.1323 0.0218 0.0233 – 0.0075Примечание.

Коэффициенты вейвлет-фильтраровки – множителя 1/ 2 .hl даны с учетом норми-Следующий пример командой load загружает вейвлет db 4 ,строит его график и графики вейвлет-коэффициентов hl и коэффициентов фильтров декомпозиции и реконструкции (рис. 2.16):function db4load db4; w = db4; iter = 10; wav = 'db4';[phi,psi,xval] = wavefun(wav,iter);subplot(321); plot(xval,psi); title('Wavelet');53Рис.

2.15subplot(322); stem(w); title('Original scaling filter');[Lo_D, Hi_D, Lo_R, Hi_R] = orthfilt(w);subplot(323); stem(Lo_D); title('Decomposition low-pass filter');subplot(324); stem(Hi_D); title('Decomposition high-pass filter');subplot(325); stem(Lo_R); title('Reconstruction low-pass filter');subplot(326); stem(Hi_R); title('Reconstruction high-pass filter');end2.7. Пакетные вейвлетыи вейвлет-алгоритмыПри рассмотрении БВП по алгоритму Малла на каждомшаге происходит октавополосное «расщепление» (splitting) сигнала на ВЧ и НЧ составляющие и «отсечение» ВЧ составляющей. Причина такого подхода заключена в неявном предположении, что НЧ область содержит больше информации обисходном сигнале, чем ВЧ область. В результате получается«однобокое» дерево (рис.

2.10 ). Такое предположение оправдано для многих реальных сигналов, однако для некоторых оно невыполняется.54Р. Койфман и М. Викерхаузер усовершенствовали алгоритмМалла, предложив применить процесс расщепления как для НЧ,так и ВЧ составляющих сигнала. В результате получается «полное» (бинарное или сбалансированное) дерево, представленноена рис. 2.16, а.эквивалентноH′↑2L′↑2SSA1AA2AAA3(2,0)DAA3(0,0)D1(1,0)AD2DA2(2,1)(2,2)DD2(2,3)DDD3а(0,0) D1A1(1,1)AA2(1,0)ADA3DA2(2,1)DDA3бРис. 2.16Ветвям дерева будет соответствовать набор подпространствсигнала с базисами, построенными, как и для однобокого дерева, согласно КМА.

Функции и фильтры, порождающие эти базисы, называются соответственно вейвлет-пакетами и пакетнымифильтрами.На рис. 2.17 в качестве примера приведены начальные пакетные вейвлеты для функции Добеши db 4 .Если исходные вейвлет-фильтры ортогональны, то и схемалюбой конфигурации дерева является ортогональной, посколькуона есть каскадное соединение ортогональных фильтров.На основе вводимой функции стоимости можно определитьнаилучший путь по дереву (рис.

2.16, а) с возможностью отсечения части ветвей (рис. 2.16, б). Таким образом, получаетсябазис и ВП, адаптированные к сигналу. При этом адаптация нетребует обучения или знания статистических свойств сигнала.Разработан ряд методов для выбора оптимального или квазиоптимального дерева.55Рис. 2.17В качестве функции стоимости используется энтропия. Существует много разных определений энтропии, например, определение по Шеннону (Shannon)E = −∑ Si2 log( Si2 ) ,(2.22)iили через логарифм энергииE = ∑ log( Si2 ) .iОднако суть у них одна – большая энтропия свидетельствуето «размазанности» сигнала по базисным функциям; малая энтропия имеет место тогда, когда большая часть нормы сигналасосредоточена на малом числе базисных функций.