Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003), страница 4

К особенностям этого сигнала относятсяеще три характерные точки: средняя точка с разрывом первойпроизводной (переход от нарастания к спаду) и две концевыеточки, за пределами которых сигнал не определен. Эти особенности нашли отражение на спектрограмме и на линиях локализации экстремумов (нижний график).В приводимых ниже примерах прямое ВП реализуетсяфункцией cwt, которая может быть представлена в несколькихформах (см.П.2.2), например:COEF = cwt(S, SCALES, ‘wname’ PLOTMODE, XLIM),где строка S – сигнал, строка SKALES – задание диапазона и шага изменения параметра a , строка ‘wname’ – имя (тип) вейвлета,23Рис. 1.11строка PLOTMODE – настройка цвета: ‘lvl’ – окраска шаг за шагом, ‘glb’ – окраска с учетом всех коэффициентов, ‘absvil’ или‘lvlabs’ – окраска шаг за шагом с использованием абсолютныхзначений коэффициентов, строка XLIM – строка переменныхнастройки.Пример 1.4.

Гармоническое колебаниеfunction garmt = 0:0.00001:0.0004; A1 = 1; F1 = 10000; a1 = 45;s = A1*soc(2*pi*F1*t+a1);figure (1); plot(t,s); axis([0 0.0004 -3 3]); grid on;subplot(211), plot(t,s); title('Сигнал S(t)')subplot(212), c = cwt(s, 1:2:32, 'mexh', 'abs1vl', [0 10]);title('Вейвлет-спектр '); xlabel('Временной сдвиг, b');ylabel('Временной масштаб, a');endИ хотя спектрограмма гармонического колебания, представленнаяна рис.

1.12, особой выразительностью не отличается, на ней отчетливо видныпереходы сигнала через нуль (темный тон) и экстремальные точки (светлыйтон).24Рис. 1.12Пример 1.5. Сумма двух гармонических колебанийСигнал S (t ) представляет собой сумму двух гармонических колебаний скратными частотами:function binart = 0:0.000001:0.0004;A1 = 1; A2 = 1; F1 = 10000; F2 = 2*F1; a = 90; b = 90;a1 = a*0.0174533; a2 = b*0.0174533;s = A1*sin(2*pi*F1*t-a1) + A2*sin(2*pi*F2*t-a2);figure (1); plot(t,s); axis([0 0.0004 -3 3]); grid on;subplot(211), plot(t,s); title('Сигнал S(t)')Рис. 1.1325subplot(212), c = cwt(s,1:2:50,'mexh','abs1v',[0 1]);title('Вейвлет-спектр сигнала S(t)');xlabel('Временной сдвиг, b');ylabel('Временной масштаб, a');endВременная диаграмма S (t ) и спектральная диаграмма сигнала W (a, b)приведены на рис.

1.13. В нижней части спектрограммы хорошо просматривается структура второй гармоники, а с ростом a – первой; при этом отчетливофиксируются темным тоном переходы сигнала через нуль, а светлым тоном –экстремумы.Пример 1.6. Бигармонический сигнал с шумомСигнал x(t ) представляет собой сумму бигармонического сигнала S (t ) ибелого гауссова шума n(t ) с математическим ожиданием m = 0 и среднеквадратическим отклонением g .function bigarm_raucht = 0:0.000001:0.001;A1 = 1; A2 = 1; F1 = 10000; F2 = 2*F1; a = 90; b = 90;a1 = a*0.0174533; a2 = b*0.0174533;s1(1:200) = 0; t2 = 0.0002:0.000001:0.0007;s2 = A1*sin(2*pi*F1*t2-a1) + A2*sin(2*pi*F2*t2-a2);s3(1:300) = 0; s = [s1 s2 s3];randn('state',0); g = 0.5; n =g *randn(size(t)); x = s+n;figure (1); subplot(211), plot(t,x,'k'); title('Сигнал x(t)'); grid on;gtext('F=10кГц,А1=А2=1В,g=0.5 B');Рис.

1.1426subplot(212), c = cwt(x,1:124,'mexh','absglb',[0 50]);title('Вейвлет-спектр W(a,b)'); xlabel('Временной сдвиг, b');ylabel('Временной масштаб, a');endНа рис. 1.14 приведены диаграмма сигнала и его спектрограмма. В нижней части спектрограммы хорошо видна сложная структура вейвлет-спектрашума ( a : 1 − 5 ), с ростом параметра a просматривается структура второйгармоники, а затем – первой; при этом отчетливо фиксируются начало и конецимпульса. По-прежнему темным тоном фиксируются переходы сигнала черезнуль, а светлым тоном – экстремумы.Пример 1.7. Прямоугольный импульс с шумомfunction pr_rauch_wavt = 0:0.000001:0.000300; A1 = 2; F1 = 0; s1(1:75) = 0;t2 = 0.000075:0.000001:0.000175; s2 = A1*cos(2*pi*F1*t2);s3(1:125) = 0; s = [s1 s2 s3];randn('state',0); g = 0.5; n = g*randn(size(t));x = s + n; figure (1);subplot(211), plot(t,x,'k'); title('Сигнал x(t)'); grid on;subplot(212), c = cwt(x,1:27,'mexh','absglb',[0 10]);title('Вейвлет-спектр'); xlabel('Временной сдвиг, b');ylabel('Временной масштаб, a');endВ нижней части спектрограммы (рис.

1.15) видна весьма сложная структура спектра шума, верхняя часть спектрограммы ( a > 20 ) отчетливо показываетналичие разрывов. Этот пример является наглядным свидетельством высокойразрешающей способности вейвлетов при выявлении локальной (тонкой)структуры сигналов.Рис. 1.1527Пример 1.8. Звуковой сигналЗагрузим звуковой сигнал из файла mtlb с выборкой в 200 отсчетов:function ssload mtlb; v=mtlb(1:200); lv = length(v);subplot(211), plot(v); title('Звуковой сигнал');set(gca, 'Xlim',[0 200]); [c,l] = wavedec(v,5,'sym2');cfd = zeros(5,lv); subplot(212) ccfs = cwt(v,1:128,'sym4','plot');title('Вейвлет-спектр') colormap(pink(32)); xlabel('Временной сдвиг, b');ylabel('Временной масштаб,a');endРис.

1.16Вейвлет-спектрограмма (рис. 1.16) демонстрирует мельчайшие деталичастотного образа сигнала: в нижней части отчетливо видны высокочастотныекомпоненты, а в верхней – низкочастотные (где изменения яркости менее частые, чем в нижней части).Как следует из приведенных примеров, применение вейвлетанализа наиболее целесообразно для изучения локальных изменений сигналов (выявления тонкой структуры сигналов, содержащих скачки, резкие переходы производных через нуль и т.п.).281.8. Сопоставлениес преобразованием ФурьеКлассическое преобразование Фурье (ПФ) является традиционным математическим аппаратом для анализа стационарных процессов.

При этом сигналы разлагаются в базисе косинусов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисныефункции простираются вдоль всей оси времени.С практической точки зрения и с позиций точного представления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений инедостатков. Обладая хорошей локализацией по частоте, ононе обладает временным разрешением. ПФ даже для одной заданной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, нои в будущем, а это – теоретическая абстракция. Обусловлено этотем, что базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое колебание, которое математически определено на временном интервале от – ∞ до + ∞ . ПФ не учитывает,что частота колебания может изменяться во времени.

Локальныеособенности сигнала (разрывы, ступеньки, пики и т.п.) дают едва заметные составляющие спектра, по которым обнаружить этиособенности, и тем более их место и характер, практически невозможно. В этом случае невозможно и точное восстановлениесигнала из-за появления эффекта Гиббса. Для получения о сигнале высокочастотной информации с хорошей точностью следует извлекать ее из относительно малых временных интервалов, ане из всего сигнала, а для низкочастотной спектральной информации – наоборот.

Кроме того, на практике не все сигналы стационарны, а для нестационарных сигналов трудности ПФ возрастают многократно.Часть указанных трудностей преодолевается при использовании оконного ПФ:S (ω, b) =∞∫S (t ) w(t − b)e − jωt dt ,−∞в котором применяется предварительная операция умножениясигнала S (t ) на «окно» w(t − b) ; при этом окном является локальная во времени функция (например, прямоугольная, т.е.w(t ) = 1 при 0 ≤ t ≤ τ и w(t ) = 0 при t < 0 и t > τ ), перемещаемая вдоль оси времени t (рис. 1.17) для вычисления ПФ в раз29ных позициях b . В результате получается текущий спектр, т.е.частотно-временное описание сигнала.s+tW(t–b)окно0btb+τРис. 1.17Если окно, показанное на рис. 1.17, перемещать скачками(через τ ) вдоль всего времени существования сигнала S (t ) , тоза некоторое число таких перемещений возможен «просмотр»всего сигнала. Так что вместо обычной спектрограммы получится набор спектрограмм, схематично представленный в видепрямоугольников на рис.

1.18, а. Такой спектральный анализравносилен анализу с помощью набора фильтров с постояннойшириной полосы пропускания, равной Δω ≈ 2π / τ .Очевидно, что, поскольку каждое окно выделяет свой небольшой участок во времени, точность представления и разрешающая способность (по времени) могут быть повышены. Однако ввиду известного принципа неопределенности ( Δωτ = const )невозможно получить одновременно высокое разрешение и почастоте, и по времени. Окну с узкой шириной ( τ ) во временибудет соответствовать плохое разрешение по частоте (большаявеличина Δω ).Недостаток оконного ПФ состоит в том, что используетсяфиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования (рис.

1.18, а), которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.ВП имеет существенное преимущество перед ПФ преждевсего за счет свойства локальности у вейвлетов. В вейвлет-преобразовании операция умножения на окно как бы содержится всамой базисной функции, которая сужает и расширяет окно(рис. 1.18, б): с ростом параметра a увеличивается разрешениепо частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением этого параметра уменьшается разрешение по частоте иувеличивается по времени. Отсюда появляется возможность30адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижноечастотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Этосвойство ВП дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.ffψab(t)ttttаtбРис. 1.18Возможно локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенногомасштаба.

Если вейвлет-коэффициенты подвержены случайнымошибкам, они будут действовать на реконструируемый сигналлокально вблизи положения возмущения, а ПФ распространяетошибки по всему восстанавливаемому сигналу.Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала, принципиально отсутствующему у ПФ, ВП нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений, для их сжатия и очистки от шума, что важно иполезно в радиотехнике, электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других областях науки и техники. При этом стоит отметить, что ВП ни в коем случае не является заменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет его достоинстви значимости при работе со стационарными процессами и когданет необходимости исследовать локальную структуру сигналов.ВП просто иное и позволяет посмотреть на исследуемый процесс с иной точки зрения.31Глава 2Разложение сигналовв ряд по вейвлетам2.1.

Диадное вейвлет-преобразованиеПри непрерывном изменении параметров a и b для расчета вейвлет-спектра необходимы большие вычислительные затраты. Множество функций ψ ab (t ) избыточно. Необходимадискретизация этих параметров при сохранении возможностивосстановления сигнала из его преобразования.

Дискретизация,как правило, осуществляется через степени двойки [1–3]:1 ⎛t −b⎞1−ma = 2m , b = k ⋅ 2m , ψ mk (t ) =ψ⎜⎟ = m ψ (2 t − k ) , (2.1)a ⎝ a ⎠2где m и k – целые числа. В этом случае плоскость a, b превращается в соответствующую сетку m, k . Параметр m называетсяпараметром масштаба.Рассмотренная дискретизация наиболее распространена.Сетка дискретизации называется диадной и соответственноепреобразование – диадным (dyadic) ВП.Рис. 2.1 на примере вейвлета Хаара иллюстрирует дискретизацию a, b .

При фиксированном параметре m вейвлеты имеютодинаковые масштабы и лишь смещаются во времени. При увеличении параметра m на 1 масштаб увеличивается вдвое ивейвлеты вдвое растягиваются. Для различных значений m ширина ψ mk (t ) различна и выбор b = k ⋅ 2m гарантирует, что растянутые вейвлеты на уровне m «покрывают» ось времени так же,как это делают исходные вейвлеты на уровне m = 0 .321ψ30(t)01242ψ10(t)18t68tψ21(t)ψ20(t)064ψ11(t)02ψ(t)ψ01(t)02ψ13(t)468t8tψ07(t)1.46−1.Рис. 2.1Прямое и обратное диадное ВП непрерывных сигналов запишутся в виде:cmk = ( S (t ), ψ mk (t ) ) =∞∫ S (t )ψ mk (t )dt ,(2.2)−∞S (t ) = ∑ cmk ψ mk (t ) .m,k33(2.3)Проводя аналогию с преобразованием Фурье, коэффициентыcmk разложения (2.3) можно определить через непрерывное ВПWs (a, b)()cmk = W 2m , k ⋅ 2m .(2.4)Обращаясь к (2.2) и (2.4), видим, что вейвлет-спектр cmkможно представить как «лес» из вертикальных отрезков, размещенных над m, k – плоскостью (сеткой); при этом целочисленные координаты m и k указывают соответственно на скоростьизменения сигнала и положение вдоль оси времени.Из (2.3) следует, что сигнал S (t ) может быть представленсуммой «вейвлетных волн» с коэффициентами cmk .