Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003), страница 9

2.23 дает наглядное представление о результатах очистки с помощью порогов minimax и rigrsure. Рекомендуется поэкспериментировать с раз63Рис. 2.23личными: среднеквадратичскими значениями σ шума, уровнями декомпозиции lev , типами порога (‘s’ или ‘h’) и правилами выбора порога ( ' rigrsure ' ,' heursure ' , ' sqtwo log' , 'min i max i ' ).64Глава 3Двумерноевейвлет-преобразование.Обработка изображений3.1. Двумерные вейвлетыДо сих пор рассматривался одномерный сигнал.

При обработке изображений приходится иметь дело с двумернымимассивами S ( x, y ) . Пусть они, как и прежде, задаются в пространстве V = {x, y} ∈ R 2 , но теперь как функции двух переменных x и y . В этом случае вместо выражения для одномернойвейвлет-функции вида (1.11) можно воспользоваться двумерныманалогом⎛ x − b1 x − b2 ⎞ψ⎜,⎟,a2 ⎠a1a2 ⎝ a11(3.1)где a1 и a2 , b1 и b2 – значения a и b по каждому измерению.Для двумерного диадного ВП непрерывных сигналов:a = 2m , b = k 2m = ka ,ϕm,k = 2− m / 2 ϕ(2− m V − k ) ,ψ m,k = 2− m / 2 ψ(2− m V − k ) .

(3.2)Для ВП дискретных изображений и построения быстрых алгоритмов обработки следует исходить из двумерного КМА.65Общий подход к определению КМА для многомерного случаярассмотрен в [ 3].Однако на практике поступают проще. Многомерный и, вчастности, двумерный КМА строят как тензорное произведениеодномерных КМА. При таком подходе отцовский и материнский вейвлеты будут сформированы следующим образом:φ( x, y ) = ϕ( x)ϕ( y ) ,(3.3)ψ LH ( x, y ) = ϕ( x)ψ( y ) , ψ HL ( x, y ) = ψ( x)ϕ( y ) ,ψ HH ( x, y ) = ψ ( x)ψ ( y ) ,(3.4)где индексы H и L означают реализацию фильтров ВЧ и НЧсоставляющих.Тогда двумерные вейвлеты запишутся в виде:2− m ϕ(2− m x − k )ϕ(2m y − l ), 2− m ϕ(2− m x − k )ψ (2m y − l ), ⎫⎪⎬ (3.5)2− m ψ(2− m x − k )ϕ(2m y − l ), 2− m ψ (2− m x − k )ψ (2m y − l ).⎭⎪Таким образом, на двумерной плоскости происходит анализ погоризонтали, вертикали и диагонали с одинаковым разрешениемв соответствии с тремя приведенными выше вейвлетами.Рассмотрение многомерных вейвлетов (мультивейвлетов)возможно и с позиций блоков мультифильтров.

Такой подходдан в [1].3.2. Двумерное ДВПФормулы ДВП двумерных сигналов и изображений, сконструированные с учетом приведенных выше соотношений (3.5),использованы в инструмен-тальных пакетах существующихСКМ, включая Wavelet Toolbox.На основе частотного подхода к ВП, рассмотренного в п. 2.6,прямое ВП изображения происходит следующим образом.Предположим, что имеем изображение размером N × N(рис. 3.1, а). Первоначально каждая из N строк изображенияделится (фильтруется) на низкочастотную (НЧ) и высокочастотную (ВЧ) половины.

В результате получается два изображения размером N × N / 2 (рис. 3.1, б). Далее каждый столбец делится точно также, в итоге получается четыре изображенияразмером N / 2 × N / 2 (рис. 3.1, в): НЧ по горизонтали и верти66кали (НЧНЧ1), ВЧ по горизонтали и вертикали (ВЧВЧ1), НЧ погоризонтали и ВЧ по вертикали (НЧВЧ1) и ВЧ по горизонтали иНЧ по вертикали (ВЧНЧ1). Первое из указанных выше изображений делится аналогичным образом на следующем шаге(уровне) преобразования (рис. 3.1, г) и т.д.ИсходноеизображениеразмеромN ×NN ×N /2аN × N /2бНЧНЧ ВЧНЧВЧНЧ1НЧНЧ1ВЧНЧ1НЧВЧ НЧВЧНЧВЧ1НЧВЧ1ВЧВЧ1ВЧВЧ1гвРис.

3.1На рис. 3.2 даны реальное изображение (слева) и результатпервого уровня его вейвлет-анализа, т.е. четыре изображения(слева направо, сверху вниз): НЧНЧ1, ВЧНЧ1, НЧВЧ1 и ВЧВЧ1.Рис. 3.267Ряд примеров по анализу и реконструкции изображений, ихкомпрессии и очистке от шума дан в разделе GUI Wavelet Toolbox, который активизируется кнопкой Wavelet-2D.Рис. 3.3На рис. 3.3 приведен один из этих примеров: в верхнем левом углу приведено реальное изображение (гамадрил); в нижнем правом углу дано его вейвлет-разложение (dwt2) на прямоугольные сегменты на уровне 2; в левом нижнем углу –реконструкция изображения (idwt2); в правом верхнем углу иллюстрируется участок декомпозиции изображения (для этогодостаточно выделить мышью фрагмент декомпозиции изображения и щелкнуть ей на кнопке Visualize; кнопки Full Sitze и Reconstruct позволяют вывести в максимальном размере соответственно декомпозицию и реконструкцию изображения).Для двумерного ВП могут также успешно использоватьсяпакетные вейвлеты.

Рис. 3.4 демонстрирует пример такого рода.В левой части окна приведены четыре изображения: вейвлетдерева первого уровня (верх слева), анализируемого изображения (верх справа), изображения в узле (1,0) (низ слева) и пакетного разложения (низ справа). Меню в правой части окна позво68ляет выбирать различные типы дерева, проводить анализ (декомпозицию), очистку от шума и компрессию изображения.(0,0)(1,0)(1,1)(2,1)(2,2)Рис. 3.4Еще некоторые примеры двумерного ВП (рис.

П.8 и П.9) даны в прил. П.1. Функции двумерных ДВП и пакетных вейвлеталгоритмов, предназначенные для практического примененияобработки сигналов и изображений, приведены в прил. 2(П.2.4 – П.2.6).3.3. Удаление шумови компрессия изображенийРешения этих задач осуществляется аналогично случаюодномерных сигналов (см. п.2.8). Осуществляется пороговоеограничение уровня детализирующих коэффициентов. Задавопределенный порог и «отсекая» коэффициенты ниже этого порога, можно значительно снизить уровень шума и сжать изображение.69На рис.3.5.

приведен пример очистки от шума изображения,взятый из графического интерфейса пользователя GUI (Wavelet2-D). В левом верхнем углу дано зашумленное изображение, а вправом верхнем – очищенное. Ниже даны гистограммы детализирующих коэффициентов по горизонтали, диагонали и вертикали, там же штриховыми линиями указаны выставленные пороги. Использован самый простой вейвлет – db2. Результаточистки очевиден.Рис. 3.5Рассмотрим примеры очистки и сжатия изображений приработе MATLAB в командном режиме.Пример 3.1. Очистка изображения от шумаНиже приведен фрагмент программы очистки изображения, которое загружено из файла neissi2d.

При этом использованы функции wpbmpen (установка глобального порога) и wpdencmp (удаление шумов и сжатие изображений) (см. прил. П.2.7):load noissi2d; nbc = size(map,1); wname = 'db8';lev = 2; tree = wpdec2(X,lev,wname);det1 = [wpcoef(tree,2) wpcoef(tree,3) wpcoef(tree,4)];sigma = median(abs(det1(:)))/0.6745; alpha = 1.1;70thr = wpbmpen(tree,sigma,alpha); keepapp = 1;xd = wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);colormap(pink(nbc));subplot(221), image(wcodemat(X,nbc)); title('Исходное изображение')subplot(222), image(wcodemat(xd,nbc)); title('Очищенное изображение')endНа рис. 3.6 приведены исходное (слева) и очищенное от шума (справа)изображения, полученные при исполнении программы.Рис.

3.6С этим примером рекомендуется поэкспериментировать. В частности,можно задать выходные параметры в полной форме и найти нормы восстановления и сжатия изображения.Пример 3.2. Компрессия изображения - отпечатка пальцаЭтот пример применения сжатия стал классическим. В свое время ФБРиспользовало ВП для сжатия информации, в результате этого удалось хранитьбольшой объем отпечатков пальцев в простых компьютерах с небольшим объемом памяти, что сэкономило значительные средства.Ниже приведена упрощенная программная реализация, в которой использованы функции порога двумерного вейвлета ( wdcbm 2 ) и удаления шума исжатия ( wdencmp ):function detfingrload detfingr; nbc = size(map,1); wname = 'sym4'; lev = 3;[c,s] = wavedec2(X,lev,wname); alpha =1.5; m = 2.7*prod(s(1,:));[thr,nkeep] = wdcbm2(c,s,alpha,m);[xd,cxd,sxd,perf0,perfl2] = wdencmp('lvd',c,s,wname,lev,thr,'h');colormap(pink(nbc)); subplot(221), image(wcodemat(X,nbc)),title('Исходное изображение'); subplot (222),image(wcodemat(xd,nbc)),title('Сжатое изображение'); xlabl = ['2-norm rec.

:', num2str(perfl2)];xlab2 = [' % - zero cfs: ',num2str(perf0), '%']; xlabel([xlabl xlabl2])endНа рис. 3.7 приведены исходный и сжатый отпечатки пальца; при этом более 94 % коэффициентов обнулено, а в оставшихся сосредоточено 98 % отэнергии всех коэффициентов разложения. Несмотря на то, что сжатие осуще71ствлено в десятки раз, качество изображения остается вполне хорошим. Поэтому объем архива отпечатков пальцев для криминалистических отделов может быть существенно уменьшен.Рис.

3.7Аналогично можно сжимать снимки в картографии, медицине, геологии идругих областях.К сжатию изображений проявляется значительный интересво всем мире. Это обусловлено стремительным развитием цифровой техники обработки изображений, цветных принтеров,графических мониторов, цифровых фото- и видеокамер и т.п.Изображение, представленное в цифровом виде, имеет довольнобольшой объем в битах. Например, цветное изображение размером 512х512 требует для своего хранения 768 кбайт, а если передавать видеопоследовательность таких изображений со скоростью 25 кадров в секунду, то требуемая скорость составит188 Мбит/с.Кроме ситуации, рассмотренной в примере 3.2, когда требуется хранить большой объем информации в компьютере с ограниченной памятью, возможны еще другие ситуации.Например, требуется сохранить качество изображения (фотографии или фильма) таким, чтобы даже экспертиза не отличила сжатую копию от оригинала.

В этом случае компрессияокажется небольшой (коэффициент сжатия от 3 до 5). Это режим сжатия почти без потерь.В другой ситуации может потребоваться, наоборот, большаякомпрессия, когда сигнал или изображение передаются по каналу с ограниченной пропускной способностью, либо когда всяпроцедура анализа и синтеза информации должна быть осуществлена за кратчайшее время и результат должен быть передан72немедленно и по возможности дешевле. Это режим сжатия сдопустимыми потерями, при котором коэффициент сжатия может достигать сотен и даже тысяч.Поэтому в разных ситуациях надлежит выбирать соответствующие вейвлеты для оптимизации всей процедуры ВП (анализа и синтеза) [24].

Тем не менее, для любой из этих ситуаций ВПимеет преимущество по сравнению с методами кодирования,использующими оконное преобразование Фурье, при этом количественные показатели такого выигрыша зависят от поставленной задачи [19].И еще следует отметить, что принципиальное отличие процедуры компрессии с помощью ДВП от широко распространенногосжатия по стандарту JPEG состоит в том, что она работает совсем изображением, в то время как в JPEG изображение разбивается на блоки, которые сжимаются независимо.