Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003)

Министерство образования Российской ФедерацииНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТА.Н. ЯКОВЛЕВВВЕДЕНИЕВ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯУтверждено Редакционно-издательским советомв качестве учебного пособияНОВОСИБИРСК2003УДК 621.372(075.8)+004.92(075.8)Я 474Рецензенты:Кафедра радиотехнических системСибирского государственного ун-тателекоммуникаций и информатики (СибГУТИ)Д-р техн. наук, проф. В.Н. Васюков (НГТУ),канд. техн. наук, доц.

Г.Х. Гарсков (СибГУТИ)Работа выполнена на кафедре теоретических основрадиотехники (ТОР)Яковлев А.Н.Я 474 Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. –Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 104 с.ISBN 5-7782-0405-1В сжатой и доступной форме рассмотрена новейшая технология обработки информации – непрерывное (глава 1), дискретное и быстроевейвлет-преобразования (глава 2) сигналов, а также двумерное вейвлетпреобразование и обработка изображений (глава 3) .

Приведены примеры применения ВП для анализа, фильтрации и сжатия сигналов и изображений. В приложениях дан «инструментарий» по ВП в системе компьютерной математики Wavelet Toolbox для MATLAB 6.Для студентов, магистрантов, аспирантов, преподавателей и лиц,занимающихся обработкой сигналов, изображений и временных рядов вразличных областях науки и техники.УДК 621.372(075.8)+004.92(075.8)ISBN 5-7782-0405-1© Новосибирский государственныйтехнический университет, 2003© Яковлев А. Н. , 2003250-летию НГТУ (НЭТИ) посвящаюАвторВведениеВ конце прошлого века возникло и успешно развивается новое и важное направление в теории и технике обработки сигналов, изображений и временных рядов, получившее названиевейвлет-преобразование (ВП), которое хорошо приспособленодля изучения структуры неоднородных процессов.Термин вейвлет (wavelet) ввели в своей статье Гроссманн(Grossmann) и Морле (Morlet) в середине 80-х годов XX века всвязи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов.

Их работа послужила началом интенсивного исследованиявейвлетов в последующее десятилетие рядом ученых таких, какДобеши (Dobechies), Мейер (Meyer), Малл (Mallat), Фарж(Farge), Чуи (Chui) и др.Вейвлеты представляют собой особые функции в виде коротких волн (всплесков) с нулевым интегральным значением и слокализацией по оси независимой переменной (t или x), способных к сдвигу по этой оси и масштабированию (растяжению/сжатию).

Любой из наиболее часто используемых типоввейвлетов порождает полную ортогональную систему функций.В случае вейвлет-анализа (декомпозиции) процесса (сигнала) всвязи с изменением масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса вразличных точках на всем исследуемом интервале. Именно благодаря свойству полноты этой системы, можно осуществитьвосстановление (реконструкцию или синтез) процесса посредством обратного ВП.Из анализа литературы, в частности, приводимой в концепособия, следует, что ВП широко применяется для исследования нестационарных сигналов, неоднородных полей и изображений различной природы и временных рядов, для распознава3ния образов и для решения многих задач в радиотехнике, связи,электронике, ядерной физике, сейсмоакустике, метеорологии,биологии, экономике и других областях науки и техники.За рубежом к настоящему времени по ВП опубликованысотни книг и тысячи статей.

В западных университетах читаются многочасовые курсы по теоретическим и практическим аспектам ВП, проводятся международные научные конференции исеминары.Подтверждением значимости ВП является и тот факт, чтоалгоритмы ВП представлены в широко распространенных системах компьютерной математики (СКМ), таких как Mathcad,MATLAB, Mathematica.

Международные стандарты JPEC-200,MPEG-4 и графические программные средства Corel DRAW9/10 широко используют ВП для обработки изображений и, вчастности, для сжатия изображений для каналов с ограниченнойпропускной способностью, например, для Интернет. Кроме того, фирмой Analog Devices разработаны и выпускаются однокристальные дешевые микропроцессоры ADV6xx (ADV601,ADV601LC, ADV611, ADV612), основанные на ВП и предназначенные для сжатия и восстановления видеоинформации вреальном масштабе времени.В России первые немногочисленные работы по применениюВП были опубликованы примерно с десятилетней задержкой. Восновном они носили обзорный характер по материалам зарубежных публикаций [15, 19, 20, 26].В последние несколько лет интерес к ВП у нас резко возрос.Появились учебные пособия [1–3], монография [4], переведенына русский фундаментальные теоретические книги И.

Добеши[5] и Т. Чуи [6], вейвлетам посвящены разделы и главы в учебниках [10–14]. Несмотря на приличную стоимость (от 100 до300 рублей), книги мгновенно исчезли с прилавков магазинов.Кроме малого тиража и высокой стоимости книги по вейвлетам имеют существенные недостатки – слабую практическуюреализацию ВП, отсутствие практических примеров и описаниясовременного компьютерного «инструментария» для практического использования ВП.В справочной книге [7], написанной В.П.

Дьяконовым иИ.В. Абраменковой и изданной в 2002 г. (тираж 5000 экз.,38 п.л., цена 160 руб.), авторами сделана попытка преодолетьпоследние из указанных выше недостатков. Справочник содержит сведения по современным средствам обработки и фильтрации сигналов и изображений, входящим в пакет MATLAB46.0/6.1. В последующей книге [8] (тираж 3000, 28 п.л., цена270 руб.) впервые, наряду с теоретическими сведениями о вейвлетах, детально описаны известные пакеты по вейвлетам –Wavelet Toolbox, Wavelet Extension Pack и Wavelet Explorer, используемые новейшими массовыми системами компьютернойматематики (СКМ) MATLAB 6.0/6.1, Mathcad 2001 и Mathematica 4.

Однако пользователь должен иметь сведения и навыкипо этим СКМ хотя бы в рамках книг, опубликованных В.П. Дьяконовым в 2001–2002 гг.В Санкт-Петербурге благодаря энтузиазму профессорскопреподавательского состава СПбГУ, СПбГТУ и других вузоврегулярно действует городской семинар «Wavelet Seminar –вейвлеты (всплески) и их приложение». На Интернет-сайте этого семинара можно получить сведения о русскоязычных публикациях по вейвлетам, о зарубежных вейвлет-ресурсах, о новыхкнигах и просто полезные советы.Защищен ряд диссертаций по теории и практике ВП и, в частности [22, 25].И тем не менее ВП еще мало известно широкому кругу отечественных студентов, инженеров и исследователей. С сожалением приходится констатировать тот факт, что лишь немногиеспециалисты в радиотехнике и других областях науки и техникизнают, что такое вейвлеты и как можно применять ВП.Все изложенное выше послужило причиной написания настоящего пособия и включения основ ВП в программу курса«Радиотехнические цепи и сигналы».

Автор попытался найтикомпромиссное решение между теоретическим и практическимописанием вейвлетов и ВП и доступностью, ясностью и объемом (и, следовательно, стоимостью) настоящего учебного пособия.Автор надеется, что именно такой характер пособия сделает его востребованным студентами, магистрантами, аспирантами, преподавателями и широким кругом специалистов, связанных с обработкой сигналов, изображений и временныхрядов как в радиотехнике, так и в других различных областяхнауки и техники.Автор выражает глубокую благодарность рецензентам д-рутехн. наук проф. В.Н. Васюкову и канд. техн. наук. доц.Г.Х. Гарскову за полезные советы и критические замечания, атакже специалисту по программированию Ю.В.

Морозову законсультации при запуске программ в системе MATLAB.5Глава 1Непрерывноевейвлет-преобразование1.1. Обобщенный ряд ФурьеИзвестно [13, 14], что произвольный сигнал S (t ) , для которого выполняется условиеt22∫ [ S (t )]dt < ∞ ,(1.1)t1может быть представлен ортогональной системой функций{ϕn (t )} , т.е.S (t ) = C0 ϕ0 (t ) + .... + Cn ϕn (t ) + ... =∞∑ Cnϕn (t ) ,(1.2)n=0коэффициенты которой определяются из соотношенияCn =гдеt21ϕn2∫ S (t )ϕn (t )dt ,(1.3)t1t2|| ϕn ||2 = ∫ ϕn2 (t )dt(1.4)t1– квадрат нормы, или энергия базисной функции ϕn (t ) .

Приэтом предполагается, что никакая из базисных функций не равна6тождественно нулю и на интервале ортогональности [t1 , t2 ] выполняется условиеt2⎪⎧|| ϕ ||2 , k = n,(1.5)∫ ϕk (t )ϕn (t )dt = ⎨⎪ 0n , k ≠ n.⎩t1Базисная функция ϕn (t ) , для которой квадрат нормы равенединице ( || ϕn ||2 = 1 ), называется нормированной (нормальной), ався система функций {ϕn (t )} – ортонормированной или ортонормальной. В этом случае говорят, что задан ортонормированный базис.Ряд (1.2), в котором коэффициенты Cn определяются поформуле (1.3), называется обобщенным рядом Фурье.Произведение вида Cn ϕn (t ) , входящее в ряд (1.2), представляет собой спектральную составляющую сигнала S (t ) , а совокупность коэффициентов {C0 ,.., Cn ,..} называется с п е к т р о мсигнала.

Графическое изображение {C0 ,.., Cn ,..} в виде вертикальных отрезков, называемое спектральной диаграммой, даетнаглядное представление о спектре сигнаCnла (рис. 1.1).Суть спектрального анализа сигналаS (t ) состоит в определении коэффициен- C C1 C2 Ci0тов Cn (экспериментально или аналитически) в соответствии с (1.3).0i1 2nНа основе ряда (1.2) возможен синтезРис. 1.1(аппроксимация) сигналов при фиксированном числе N рядаSІ(t ) = C0 ϕ0 (t ) + ... + C N ϕ N (t ) =N∑ Cn ϕn (t ) .(1.2’)n =0При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важнымсвойством: при заданной системе базисных функций {ϕn (t )} ичисле слагаемых N он обеспечивает наилучший синтез (аппроксимацию), давая минимум среднеквадратической ошибкиε , под которой понимается величина2t2t2N2⎡⎤ε = ∫ ⎡⎣ S (t ) − SІ(t ) ⎤⎦ dt = ∫ ⎢ S (t ) − ∑ Cn ϕn (t ) ⎥ dt .n =0⎦t1t1 ⎣7(1.6)Ортогональная система называется полной, если увеличением N можно сделать ε сколь угодно малой.