Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003), страница 3

Для просмотра же вейвлетов достаточно исполнить команду wavemenu и в появившемся окне сосписком разделов ВП нажать кнопку Wavelet Display. Нажатиеэтой кнопки выводит окно просмотра вейвлетов, в котором имеется возможность просмотра: общей информации о вейвлетах,выбранного вейвлета (с именем ‘Name’) и информации о нем.14На рис. П.1 дано окно просмотра Wavelet Display с данными овейвлете Добеши db4.Сведения по сравнению вейвлетов различного типа приведены в [8, разд. 2.9].Выбор конкретного материнского вейвлета (будь то непрерывный или дискретный) целиком зависит от характера поставленной задачи и от конкретного анализируемого сигнала. Разные сигналы удается анализировать тем или иным способом, икритерием успеха обычно служит простота получаемого разложения.

При этом решающим фактором оказываются интуиция ипрактический опыт исследователя.1.5. Непрерывноевейвлет-преобразованиеНепрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование(НВП или СWT – continuous wavelet transform).Сконструируем базис ψ ab (t ) с помощью непрерывных масштабных преобразований ( a ) и переносов ( b ) материнскоговейвлета ψ(t ) с произвольными значениями базисных параметров a и b в формуле (1.11).Тогда по определению прямое (анализ) и обратное (синтез)HВП (т.е. ПНВП и ОНВП) сигнала S (t ) запишутся:Ws (a, b) = ( S (t ), ψ ab (t ) ) =1S (t ) =Cψ∞⎛t −b⎞S (t )ψ ⎜⎟ dt ,a −∞⎝ a ⎠1∞ ∞∫∫ ∫ Ws (a, b)ψ ab (t )−∞ −∞dadba2,(1.16)(1.17)где Cψ – нормирующий коэффициентСψ =∞∫2Ψ (ω) ω−1dω < ∞ ,−∞(⋅, ⋅) – скалярное произведение соответствующих сомножителей,Ψ (ω) – фурье-преобразование вейвлета ψ(t ) .

Для ортонормированных вейвлетов Cψ = 1.15Из (1.16) следует, что вейвлет-спектр Ws (a, b) (wavelet spectrum, или time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) вотличие от фурье-спектра (single spectrum) является функциейдвух аргументов: первый аргумент а (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, т.е.

обратен частоте, а второй b –аналогичен смещению сигнала по оси времени.Следует отметить, что Ws (b, a0 ) характеризует временнуюзависимость (при a = a0 ), тогда как зависимости Ws (a, b0 ) можно поставить в соответствие частотную зависимость (приb = b0 ).Если исследуемый сигнал S (t ) представляет собой одиночный импульс длительностью τu , сосредоточенный в окрестности t = t0 , то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрестности точки с координатами a = τu , b = t0 .Способы представления (визуализации) Ws (a, b) могут бытьразличными.

Спектр Ws (a, b) является поверхностью в трехмерном пространстве (см. рис. 1.5). Однако часто вместо изображения поверхности представляют её проекцию на плоскостьab с изоуровнями (рис. 1.6), позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд ВП на разных масштабах (а) иво времени ( b ). Кроме того, изображают картины линий локальных экстремумов этих поверхностей, так называемый скелетон (sceleton), который выявляет структуру анализируемогосигнала.1.6.

Свойства вейвлет-анализаПрямое ВП содержит комбинированную информацию обанализируемом сигнале и анализирующем вейвлете. Несмотряна это, ВП позволяет получить объективную информацию осигнале, потому что некоторые свойства ВП не зависят от выбора анализирующего вейвлета. Независимость от вейвлета делаетэти простые свойства очень важными.Линейность. Она следует из скалярного произведения (1.16):W [αS1 (t ) + β S2 (t )] = αW1 (a, b) + β W2 (a, b) .16Сдвиг. Смещение сигнала во временной области на b0 ведетк сдвигу вейвлет-образа также на b0 :W [ S (t − b0 )] = W [a, b − b0 ] .Масштабирование. Растяжение (сжатие) сигнала приводиттакже к растяжению (сжатию) его в области W (a, b) :W [ S (t a0 )] =1 ⎡a b⎤W ⎢ , ⎥.a0 ⎣ a0 a0 ⎦Дифференцирование:W [dtm S ] = (−1) m∞∫S (t )dtm [ψ ab (t )]dt ,−∞где dtm = d m [...]/ dt m , m ≥ 1 .

Из этого свойства следует, что проигнорировать, например, крупномасштабные составляющие ипроанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала S (t ) можно дифференцированием нужное число раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Еслиучесть, что часто сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий вейвлет–формулой, то это свойство весьма полезное.Масштабно-временная локализация. Она обусловлена тем,что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.За счет изменения масштаба (увеличение a приводит к сужению фурье-спектра функции ψ ab (t ) ) вейвлеты способны выявлять различие в характеристиках на разных шкалах (частотах),а за счет сдвига проанализировать свойства сигнала в разныхточках на всем исследуемом интервале.

Поэтому при анализенестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлетов получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемаяпри этом система функций (комплексная экспонента или синусыи косинусы) определена на бесконечном интервале.Поэтому неслучайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом». Это название хорошо отражает замечательные свойства метода сохранять хоро17шее разрешение на разных масштабах. Параметр сдвига b фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент a – увеличение, и, наконец, выбором материнского вейвлетаψ определяют оптические качества микроскопа.

Способностьэтого микроскопа обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного процесса и изучать его локальные свойствапродемонстрирована на многих примерах (см., например, [1]).1.7. Примеры непрерывныхвейвлет-преобразованийНепрерывное ВП нашло широкое применение в обработке сигналов. В частности, вейвлет-анализ (ВА) дает уникальныевозможности распознавать локальные и «тонкие» особенностисигналов (функций), что важно во многих областях радиотехники, связи, радиоэлектроники, геофизики и других отраслях науки и техники.Рассмотрим эту возможность на некоторых простейшихпримерах.1.7.1.

Определение вейвлет-спектрана основе «мексиканской шляпы»в системе MathcadПрограммирование ВП базируется на соотношениях(1.11), (1.16), (1.17).Хорошо известная распространенная у нас система компьютерной математики Mathcad очень удобна для ознакомления стехникой ВП. Общение пользователя с этой системой осуществляется с помощью простого математически ориентированногоязыка.

Вычисление интегралов выполняется стандартным оператором интегрирования.Следует отметить, что на практике невозможно проводитьвычисления с непрерывными значениями a и b ; так или иначеприходится задавать их дискретные значения и, в частности, дляграфического представления результата вычислений, что и сделано в приводимых ниже примерах. Выбор значений a и b сделан таким, чтобы вейвлет-спектрограммы выглядели детально инаглядно.18Пример 1.1. Гармоническое колебаниеs (t ) = A sin(ωt − ϕ) ,где A = 1 В, ω = 2π / T = 2π / 50 , ϕ = 0 .Вейвлетобразующая функция:N := 256 , MHAT (t ) :=ψ ( a , b, t ) =Вейвлеты:d2dt2exp(−t 2 / 2) .1⎛t −b⎞MHAT ⎜⎟.a⎝ a ⎠Вейвлет-спектр:Na := 1..30 ,b := 0..50 ,W (a, b) :=∫ ψ(a, b, t )s(t )dt ,N ab := W (a, b)−NГрафик двухпараметрического спектра N ab = W ( a, b) выведен на рис.

1.5в виде поверхности в трехмерном пространстве, а на рис. 1.6 – в виде привычныхдля ВП изоуровней на плоскости (a,b). Следует отметить, что сечение W (a, b)для временного масштаба a = a0 характеризует исходное колебание s(t ) ; приэтом амплитуда его максимальна при a0 : 1/ ω . Зависимости W (a, b0 ) можнопоставить в соответствие текущий спектр колебания при b = b0 .Рис. 1.519Рис. 1.6Пример 1.2.

Сумма двух гармонических колебанийСигнал имеет вид: s (t ) := A1 sin(ω1t ) + A2 sin(ω2t ) ,где A1 = A2 = 1 В, ω1 = 2π /T1 , ω2 = 2π /T2 , T1 = 50 с, T2 = 10 с.21.510.50s ( t)0.511.5−2 2202550751000125150175200225MHAT (t ) :=d 2 ⎡ −t 2 / 2 ⎤e,⎦⎥dt 2 ⎣⎢250250tN:=256,N⎛t −b⎞ψ (a, b, t ) := MHAT ⎜⎟,⎝ a ⎠W (a, b) :=∫ ψ(a, b, t ) f (t )dt ,−Na := 1…30, b : = 0…50,N ab := W (a, b) .График двухпараметрического спектра W (a, b) выведен на рис. 1.7 в видеповерхности в трехмерном пространстве, а на рис. 1.8 в виде изоуровней наплоскости (a,b).Рис.

1.720Рис. 1.8На рис. 1.9, а приведены «сечения» вейвлет-спектра для двух значенийпараметра а . При относительно небольшом параметре временного масштабаa , т.е. при a1 = 2 ( a1 : 1/ ω2 ), сечение спектра несет информацию только овысокочастотной составляющей сигнала, отфильтровывая (подавляя) его низкочастотный компонент.

С ростом a происходит растяжение базисной функции ψ[(t − b) / a ] и, следовательно, сужение ее спектра, т.е. уменьшение полосы частотного «окна». В результате при a2 = 15 ( a2 : 1/ ω1 ) сечение спектрапредставляет собой лишь низкочастотный компонент сигнала. При дальнейшем увеличении a полоса окна еще уменьшается и уровень этого низкочастотного компонента убывает до постоянной составляющей (при a > 25 ), равной нулю для анализируемого сигнала.абРис.

1.921На рис 1.9, б даны сечения вейвлет-спектра W (a, b) , характеризующиетекущий спектр сигнала при b1 = 13 и b2 = 17 .Итак, очевидно, что спектр рассматриваемого сигнала в отличие от гармонического (см. пример 1.1) содержит еще высокочастотный компонент в области малых значений временного масштаба a ( a : 1..3 ), который соответствует второй составляющей сигнала, т.е. A2 sin(ω2t ) .Пример 1.3. Прямоугольный импульсU := 5s ( t) :=t0 := 20 τ := 60U if t0 ≤ t ≤ t0 + τ0 otherwise⎛ − t2 ⎞⎟exp ⎜MHAT ( t) :=2⎝ 2 ⎠dtd2s ( t)N :=12865432101020406080 100 120t⎛t −b⎞ψ (a, b, t ) := MHAT ⎜⎟,⎝ a ⎠a := 1..50 , b := 0..100 ,NW (a, b) :=∫ ψ(a, b, t ) f (t )dt ,−NNba := W (a, b) .Рис.

1.1022Вейвлет-спектры приведены на рис. 1.10.Как видно из рис. 1.10, вейвлет-спектр хорошо передает тонкие особенности сигнала – его скачки на отсчетах b = 20 и b = 80 (при a : 1..5 ).Следует отметить, что выполнение непрерывного ВП вMathcad требует больших вычислительных затрат. Это обусловлено довольно медленным методом интегрирования. На ПК спроцессором Intel Celeron (667 МГц и оперативной памятью в128 Мбайт) время вычислений составляет до 5 минут. Гораздоболее эффективен ВА в системе MATLAB.1.7.2. Вейвлет-анализ в системе MATLABПакет Wavelet Toolbox системы MATLAB располагаетсредствами для построения вейвлет-спектров сигналов с улучшенной визуализацией. Спектрограммы представляют значениявейвлет-коэффициентов в плоскости масштаб–время; при этомвнизу спектрограммы расположены малые значения масштаба(малые номера коэффициентов), представляющие детальнуюкартину сигнала, а вверху – большие значения a , дающие огрубленную картину.

Значения коэффициентов определяют цветсоответствующей области вейвлет-спектрограммы.В разделах «Continuous Wavelet 1-D» и «Complex ContinuousWavelet 1-D» пакета Wavelet Toolbox даны примеры на выявление и анализ тонкой структуры сигналов.На рис. 1.11 приведен результат вейвлет-анализа одного издемонстрационных примеров – треугольного сигнала, имеющего в середине стадий нарастания и спада едва заметные горизонтальные «полочки».