Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования (2003), страница 2

Ряд (1.2) называется в этом случае сходящимся в среднеквадратическом.Относительная ошибка μ синтеза определяется по формулеμ = ε/Э ,(1.7)где Э – энергия сигнала (на сопротивлении 1 Ом), численно равная квадрату нормы сигнала S (t ) , т.е.Э= S2t2= ∫ [ S (t )]2 dt .(1.8)t1Формула (1.8) с учетом ряда (1.2) может быть записанаЭ=t2∞t1n =022∫ [ S (t )] dt = ∑ Cnϕn2,(1.9)а при использовании ортонормированной системы функций{ϕn (t )}Э=∞∑ Cn2 .n=0Очевидно, что средняя за период T = t2 − t1 мощность сигналаPсp =Э 1=Т Тt2∫ [ S (t )]2t1dt =1 ∞∑ Cn ϕ nТ n =02.(1.10)Выражение вида (1.9) или (1.10) называется равенствомПарсеваля.О выборе рациональной системы ортогональных функций. Решение этого вопроса зависит от поставленной задачи.Так при анализе и синтезе сигналов, воздействующих на линейные цепи, наибольшее распространение получила системагармонических функций.

Во-первых, гармонические колебанияв отличие от других сохраняют свою форму при прохождениичерез эти цепи; изменяются лишь амплитуда и начальная фаза.Во-вторых, широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Представление сигналов в базисе гармонических функций традиционно рассматривается врадиотехнических курсах, например в [13, 14].8Из множества других задач наиболее важной является задачаприближенного разложения сложных сигналов, при которойтребуемая точность обеспечивается при минимуме членов ряда.Для представления непрерывных сигналов применяются полиномы и функции Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита и др.Для представления сигналов с точками разрыва используютсякусочно-постоянные функции Уолша, Хаара, Радемахера [14].Для дискретизации непрерывных сигналов во времени используется ортогональный ряд Котельникова [13, 14].В последние годы широко используются базисные функциитипа вейвлетов, которым и посвящено это учебное пособие.1.2. Вейвлеты.

Общие замечанияАнглийское слово wavelet (от французского «ondelette»)дословно переводится как «короткая (маленькая) волна». В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются еще термины: «всплеск», «всплесковая функция», «маловолновая функция», «волночка» и др.Вейвлет-преобразование (ВП) одномерного сигнала – это егопредставление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурьепо системе базисных функцийψ ab (t ) =1 ⎛t −b⎞ψ⎜⎟,a ⎝ a ⎠(1.11)сконструированных из материнского (исходного) вейвлета ψ(t ) ,обладающего определенными свойствами за счет операцийсдвига во времени ( b ) и изменения временного масштаба ( a )(рис. 1.2).

Множитель 1/ a обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа a .Итак, для заданных значений параметров a и b функцияψ ab (t ) и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетомψ (t ) .На рис. 1.2 в качестве примера приведены вейвлет «мексиканская шляпа» (а) и модуль его спектральной плотности (б).Малые значения а соответствуют мелкому масштабу ψ ab (t )или высоким частотам ( ω ~ 1/ a ), большие параметры a –9абРис. 1.2крупному масштабу ψ ab (t ) , т.е. растяжению материнскоговейвлета ψ(t ) и сжатию его спектра.Таким образом, в частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески (волночки) с пиком на частоте ω0 и полосойΔω , т.е.

имеют вид полосового фильтра; при этом ω0 и Δωуменьшаются с ростом параметра a .Следовательно, вейвлеты локализованы как во временной,так и частотной областях.аа1а2Δωэτэа3bb0Рис. 1.3В соответствии с принципом неопределенности произведение эффективной длительности ( τэ ) и эффективной шириныспектра ( Δωэ ) функции ψ ab (t ) (площадь прямоугольников нарис.

1.3) остается неизменным. Кроме того, из-за масштабирования и временного сдвига ( b / a = Δ = const ) сохраняется относительная «плотность» расположения базисных функций по оси t.10Следует отметить, что спектральное представление (образ)вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразованииФурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Этослужит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов.

Поэтому нетрудно понять, что спомощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала S (t ) (функции S ( x) ).1.3. Главные признаки вейвлетаВ качестве базисных функций, образующих ортогональный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов.Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы статьвейвлетом. Приведем здесь основные из них.Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:ψ2∞=∫2ψ(t ) dt < ∞ .(1.12)−∞Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, ипо частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:ψ (t ) ≤ C (1 + t )−1−ε и SΨ (ω) ≤ C (1 + ω ) −1−ε , при ε > 0 . (1.13)Например, дельта-функция δ(t ) и гармоническая функция неудовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.Нулевое среднее.

График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени(см. рис. 1.2) и иметь нулевую площадь∞∫ ψ(t )dt = 0 .(1.14)−∞Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» – маленькая волна.11Равенство нулю площади функции ψ(t ) , т.е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование Sψ (ω) этойфункции равно нулю при ω = 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях a это будет набор полосовыхфильтров.Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не тольконулевой, но и все первые n моментов были равны нулю∞∫tnψ(t ) dt = 0 .(1.15)−∞Вейвлеты n -го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленноизменяющиеся его составляющие.Автомодельность.

Характерным признаком ВП является егосамоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства ψ ab (t )имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлетψ(t ) , поскольку получены из него посредством масштабныхпреобразований ( a ) и сдвига ( b ).1.4. Примеры материнских вейвлетовОсновные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 1.1.Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе производных функции Гаусса( g 0 (t ) = exp( −t 2 / 2)) . Это обусловлено тем обстоятельством, чтофункция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации какво временной, так и в частотной областях.На рис.

1.4 показаны вейвлеты первых четырех порядков имодули их спектральной плотности. При n = 1 получаем вейвлетпервого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулюнулевым моментом. При n = 2 получаем MHAT-вейвлет, называемый «мексиканская шляпа» (mexican hat – похож на сомбреро). У него нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеетлучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет.Свойства гауссовых вейвлетов подробно описаны в [13]. Вработе [30] показано, что совместное использование вейвлетов12g1 − g 4 для ВП существенно повышает точность вейвлетанализа.Т а б л и ц а 1.1ВейвлетыАналитическая запись Спектральная плотностьψ(t )ψ (ω)Вещественные непрерывные базисыГауссовы:– первого порядка, илиWAVE-вейвлет,– второго порядка, илиMHAT-вейвлет «мексиканcкая шляпа» –mexican hat),– n-го порядка,DOG – difference ofgaussiansLP-Littlewood & PaleyHAAR-вейвлетFHAT-вейвлет, или«французская шляпа»(French hat – похож нацилиндр)Морле (Morlet)Пауля(Paul)(чембольше n, тем большенулевых моментов имеет вейвлет)−t exp(−t 2 / 2)(iω) 2π exp(−ω2 / 2)(1 − t 2 )exp(−t 2 / 2)(iω)2 2π exp( −ω2 / 2)(−1) ndn ⎡exp(−t 2 / 2) ⎤ (−1) n (iω) n 2π exp(−ω2 / 2)⎦dt n ⎣e −t22− 0,5e −t222π (e−ω/8(πt ) −1 (sin 2πt − sin πt )eiω0t e −tГ (n + 1)2/2in(1 − n) n +12− e −2ω)−1/ 2, π ≤ t ≤ 2π,⎪⎧(2π)⎨⎪⎩0, в противном случаеВещественные дискретные⎧ 1, 0 ≤ t ≤ 1/ 2,⎪≥ ⎨ −1, 1/ 2 ≤ t ≤ 1,⎪ 0, t < 0, t > 0.⎩⎧ 1, t ≤ 1/ 3,⎪≥ ⎨ −1/ 2, 1/ 3 ≤ t ≤ 1,⎪⎩ 0, t > 1.Комплексные/2ieiω / 2sin 2 ω / 4ω/ 44 sin 3 ω / 33 ω/ 3σ(ω) 2π e−(ω−ω0 )2/2σ(ω) 2π (ω) n e −ωНаиболее простой пример дискретного вейвлета – этоHAAR-вейвлет.

Недостатком его являются несимметричностьформы и негладкость – резкие границы в t-области, вследствие132g1(t)1Sg1(ω)g2(t)0Sg2(ω)g3(t)1Sg3(ω)g4(t)Sg4(ω)234 3 2 1 0 1 2 3 465.554.543.532.521.510.500 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4ωttРис. 1.4чего возникает бесконечное чередование «лепестков» в частотной области, хотя и убывающих как 1/ ω .LR − вейвлет, имеющий, наоборот, резкие границы в ω-области, можно считать другим предельным случаем.Среди комплексных вейвлетов наиболее часто используется базис, основанный на хорошо локализованном и во временной и в частотной областях вейвлете Морле. Характерныйпараметр ω0 позволяет изменять избирательность базиса. Вещественная и мнимая части ψ(t ) – это амплитудно-модулированные колебания.Выше был представлен небольшой перечень типов вейвлетов, описываемых аналитически в явном виде.

Однако большинство типов вейвлетов не имеют аналитического описания в видеодной формулы, а задаются итерационными выражениями, легко вычисляемыми компьютерами. Примером таких вейвлетовявляются функции Добеши (Daubechies), одна из которых (db4)используется в качестве встроенной для ВП в Mathcad.В настоящее время выбор вейвлетов довольно обширен.Только в пакете Wavelet Toolbox 2.0/2.1 (MATLAB 6) представлено полтора десятка материнских вейвлетов; при этом дляряда из них дано ещё множество вариантов. Для получениясправки по какому-либо типу вейвлета при работе в командномрежиме MATLAB достаточно исполнить команду waveinfo(‘type’), указав тип вейвлета.